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第三章　指數函數和對數函數 §1　正整數指數函數 §2　指數擴充及其運算性質 1．正整數指數函數 函數y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指數函數；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函數稱為________函數． 2．分數指數冪 (1)分數指數冪的定義：給定正實數a，對于任意給定的整數m，n(m，n互素)，存在唯一的正實數b，使得bn＝am，我們把b叫作a的次冪，記作b＝； (2)正分數指數冪寫成根式形式：＝(a>0)； (3)規(guī)定正數的負分數指數冪的意義是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)； (4)0的正分數指數冪等于____，0的負分數指數冪__________． 3．有理數指數冪的運算性質 (1)aman＝________(a>0)；(2)(am)n＝________(a>0)；(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)． 一、選擇題 1．下列說法中：①16的4次方根是2；②的運算結果是±2；③當n為大于1的奇數時，對任意a∈R都有意義；④當n為大于1的偶數時，只有當a≥0時才有意義．其中正確的是(　　) A．①③④ B．②③④ C．②③ D．③④ 2．若20)； ③函數y＝－(3x－7)0的定義域是(2，＋∞)； ④若100a＝5,10b＝2，則2a＋b＝1. A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空題 7.－＋的值為________． 8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，則＝________. 9．若x>0，則(2＋)(2－)－4·(x－)＝________. 三、解答題 10．(1)化簡：··(xy)－1(xy≠0)； (2)計算：＋＋－·. 11．設－30，y>0，且x－－2y＝0，求的值． §3　指數函數(一) 1．指數函數的概念 一般地，________________叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是____． 2．指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖像和性質 a>1 00時，______； 當x<0時，________ 當x>0時，________； 當x<0時，________ 單調性 是R上的________ 是R上的________ 一、選擇題 1．下列以x為自變量的函數中，是指數函數的是(　　) A．y＝(－4)x B．y＝πx C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1) 2．函數f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指數函數，則有(　　) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 3．函數y＝a|x|(a>1)的圖像是(　　) 4．已知f(x)為R上的奇函數，當x<0時，f(x)＝3x，那么f(2)的值為(　　) A．－9 B. C．－ D．9 5．如圖是指數函數①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的圖像，則a、b、c、d與1的大小關系是(　　) A．a0，a≠1)的圖像不經過第二象限，則a，b必滿足條件________． 9．函數y＝8－23－x(x≥0)的值域是________． 三、解答題 10．比較下列各組數中兩個值的大?。? (1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)和； (3)2－1.5和30.2. 11．2000年10月18日，美國某城市的日報以醒目標題刊登了一條消息：“市政委員會今天宣布：本市垃圾的體積達到50 000 m3”，副標題是：“垃圾的體積每三年增加一倍”．如果把3年作為垃圾體積加倍的周期，請你根據下面關于垃圾的體積V(m3)與垃圾體積的加倍的周期(3年)數n的關系的表格，回答下列問題． 周期數n 體積V(m3) 0 50 000×20 1 50 000×2 2 50 000×22 … … n 50 000×2n (1)設想城市垃圾的體積每3年繼續(xù)加倍，問24年后該市垃圾的體積是多少？ (2)根據報紙所述的信息，你估計3年前垃圾的體積是多少？ (3)如果n＝－2，這時的n，V表示什么信息？ (4)寫出n與V的函數關系式，并畫出函數圖像(橫軸取n軸)． (5)曲線可能與橫軸相交嗎？為什么？ 能力提升 12．定義運算a⊕b＝，則函數f(x)＝1⊕2x的圖像是(　　) 13．定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數f(x)滿足對任意的實數x，y都有f(xy)＝y(tǒng)f(x)． (1)求f(1)的值； (2)若f()>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a為常數)． §3　指數函數(二) 1．下列一定是指數函數的是(　　) A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1) C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－)x 2．指數函數y＝ax與y＝bx的圖像如圖，則(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．01 D．02 C．－10時，f(x)＝1－2－x，則不等式f(x)<－的解集是________________． 9．函數y＝的單調遞增區(qū)間是________． 三、解答題 10．(1)設f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的單調增函數，試判斷f(x)的單調性； (2)求函數y＝的單調區(qū)間． 11．函數f(x)＝4x－2x＋1＋3的定義域為[－，]． (1)設t＝2x，求t的取值范圍； (2)求函數f(x)的值域． 能力提升 12．函數y＝2x－x2的圖像大致是(　　) 13．已知函數f(x)＝. (1)求f[f(0)＋4]的值； (2)求證：f(x)在R上是增函數； (3)解不等式：01，b>0 B．a>1，b<0 C．00 D．00，且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值． 能力提升 12．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)，討論f(x)的單調性． 13．根據函數y＝|2x－1|的圖像，判斷當實數m為何值時，方程|2x－1|＝m無解？有一解？有兩解？ §4　對數(一) 1．對數的概念 如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么數b叫做______________，記作__________，其中a叫做__________，N叫做________． 2．常用對數與自然對數 通常將以10為底的對數叫做__________，以e為底的對數叫做__________，log10N可簡記為________，logeN簡記為________． 3．對數與指數的關系 若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝____. 對數恒等式：＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)． 4．對數的性質 (1)1的對數為____； (2)底的對數為____； (3)零和負數________． 一、選擇題 1．有下列說法： ①零和負數沒有對數； ②任何一個指數式都可以化成對數式； ③以10為底的對數叫做常用對數； ④以e為底的對數叫做自然對數． 其中正確命題的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．有以下四個結論：①lg(lg10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，則x＝100；④若e＝ln x，則x＝e2.其中正確的是(　　) A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 3．在b＝log(a－2)(5－a)中，實數a的取值范圍是(　　) A．a>5或a<2 B．20，且a≠1，M>0，N>0，則： (1)loga(MN)＝________________； (2)loga＝________； (3)logaMn＝__________(n∈R)． 2．對數換底公式 logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)； 特別地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)． 一、選擇題 1．下列式子中成立的是(假定各式均有意義)(　　) A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax C.＝loga D.＝logax－logay 2．計算：log916·log881的值為(　　) A．18 B. C. D. 3．若log5·log36·log6x＝2，則x等于(　　) A．9 B. C．25 D. 4．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，則A等于(　　) A．15 B. C．± D．225 5．已知log89＝a，log25＝b，則lg 3等于(　　) A. B. C. D. 6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則(lg)2的值等于(　　) A．2 B. C．4 D. 二、填空題 7．2log510＋log50.25＋(－)÷＝______________. 8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 9．2008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級特大地震，給人民的生命財產造成了巨大的損失．里氏地震的等級最早是在1935年由美國加州理工學院的地震學家里特判定的．它與震源中心釋放的能量(熱能和動能)大小有關．震級M＝lg E－3.2，其中E(焦耳)為以地震波的形式釋放出的能量．如果里氏6.0級地震釋放的能量相當于1顆美國在二戰(zhàn)時投放在廣島的原子彈的能量，那么汶川大地震所釋放的能量相當于________顆廣島原子彈． 三、解答題 10．(1)計算：lg－lg＋lg 12.5－log89·log34； (2)已知3a＝4b＝36，求＋的值． 11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的兩個實根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值． 能力提升 12．下列給出了x與10x的七組近似對應值： 組號 一 二 三 四 五 六 七 x 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18 10x 2 3 5 6 8 10 12 假設在上表的各組對應值中，有且僅有一組是錯誤的，它是第________組．(　　) A．二 B．四 C．五 D．七 13．一種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年的剩余質量約是原來的75%，估計約經過多少年，該物質的剩余量是原來的？(結果保留1位有效數字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) §5　對數函數(一) 1．對數函數的定義：一般地，我們把______________________________叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是________．________為常用對數函數；y＝________為自然對數函數. 2．對數函數的圖像與性質 定義 y＝logax (a>0，且a≠1) 底數 a>1 00且a≠1)和指數函數____________________互為反函數． 一、選擇題 1．函數y＝的定義域是(　　) A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 2．設集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，則集合M∪N是(　　) A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1) 3．已知函數f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，則α等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4．函數f(x)＝|log3x|的圖像是(　　) 5．已知對數函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且過點(9,2)，f(x)的反函數記為y＝g(x)，則g(x)的解析式是(　　) A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x 6．若loga<1，則a的取值范圍是(　　) A．(0，) B．(，＋∞) C．(，1) D．(0，)∪(1，＋∞) 二、填空題 7．如果函數f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增減性相同，則a的取值范圍是________． 8．已知函數y＝loga(x－3)－1的圖像恒過定點P，則點P的坐標是________． 9．給出函數，則f(log23)＝________. 三、解答題 10．求下列函數的定義域與值域： (1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)． 11．已知函數f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)． (1)設a＝2，函數f(x)的定義域為[3,63]，求函數f(x)的最值． (2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范圍． 能力提升 12．已知圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是函數y＝x，y＝x，y＝x，y＝x的圖像，則a1，a2，a3，a4的大小關系是(　　) A．a40且a≠1)的圖像經過(－1,0)和(0,1)兩點，則f(2)＝________. 6．函數y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒過定點______________________________ __________________________________________． 一、選擇題 1．設a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則(　　) A．a0且a≠1)且f(8)＝3，則有(　　) A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2) C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4) 4．函數f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值與最小值之和為a，則a的值為(　　) A. B. C．2 D．4 5．已知函數f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于(　　) A．b B．－b C. D．－ 6．函數y＝3x(－1≤x<0)的反函數是(　　) A．y＝x(x>0) B．y＝log3x(x>0) C．y＝log3x(≤x<1) D．y＝x(≤x<1) 二、填空題 7．函數f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1時，f(x)≥0恒成立，則b應滿足的條件是________． 8．函數y＝logax當x>2時恒有|y|>1，則a的取值范圍是________． 9．若loga2<2，則實數a的取值范圍是______________． 三、解答題 10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上單調遞減，求a的取值范圍． 11．已知函數f(x)＝的圖像關于原點對稱，其中a為常數． (1)求a的值； (2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)＋(x－1)log0.52.8 B．log34>log65 C．log34>log56 D．logπe>logeπ 2．若log37·log29·log49m＝log4，則m等于(　　) A. B. C. D．4 3．設函數若f(3)＝2，f(－2)＝0，則b等于(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 4．若函數f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在區(qū)間(0，)內恒有f(x)>0，則f(x)的單調遞增區(qū)間為(　　) A．(－∞，－) B．(－，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，－) 5．若函數若f(a)>f(－a)，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 6．已知f(x)是定義在R上的奇函數，f(x)在(0，＋∞)上是增函數，且f()＝0，則不等式f(x)<0的解集為(　　) A．(0，) B．(，＋∞) C．(，1)∪(2，＋∞) D．(0，)∪(2，＋∞) 二、填空題 7．已知loga(ab)＝，則logab＝________. 8．若log236＝a，log210＝b，則log215＝________. 9．設函數若f(a)＝，則f(a＋6)＝________. 三、解答題 10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝?，求實數a的取值范圍． 11．抽氣機每次抽出容器內空氣的60%，要使容器內的空氣少于原來的0.1%，則至少要抽幾次？(lg 2≈0.301 0) 能力提升 12．設a>0，a≠1，函數f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集． 13．已知函數f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1. (1)比較[f(0)＋f(1)]與f()的大??； (2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)對任意x1>0，x2>0恒成立． §6　指數函數、冪函數、對數函數增長的比較 1．當a>1時，指數函數y＝ax是________，并且當a越大時，其函數值增長越____． 2．當a>1時，對數函數y＝logax(x>0)是________，并且當a越小時，其函數值________． 3．當x>0，n>1時，冪函數y＝xn是________，并且當x>1時，n越大，其函數值__________． 一、選擇題 1．今有一組數據如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.40 7.5 12 18.01 現準備了如下四個答案，哪個函數最接近這組數據(　　) A．v＝log2t B．v＝t C．v＝ D．v＝2t－2 2．從山頂到山下的招待所的距離為20千米．某人從山頂以4千米/時的速度到山下的招待所，他與招待所的距離s(千米)與時間t(小時)的函數關系用圖像表示為(　　) 3．某公司為了適應市場需求對產品結構做了重大調整，調整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當的函數模型來反映該公司調整后利潤y與時間x的關系，可選用(　　) A．一次函數 B．二次函數 C．指數型函數 D．對數型函數 4．某自行車存車處在某天的存車量為4 000輛次，存車費為：變速車0.3元/輛次，普通車0.2元/輛次．若當天普通車存車數為x輛次，存車費總收入為y元，則y關于x的函數關系式為(　　) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，則有(　　) A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx) C．f(bx)0，下面四個等式中： ①lg(ab)＝lg a＋lg b； ②lg＝lg a－lg b； ③lg()2＝lg ； ④lg(ab)＝. 其中正確的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 9．為了得到函數y＝lg的圖像，只需把函數y＝lg x的圖像上所有的點(　　) A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 10．函數y＝2x與y＝x2的圖像的交點個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 11．設偶函數f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}等于(　　) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 12．函數f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域為[1，＋∞)，則f(－4)與f(1)的關系是(　　) A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1) C．f(－4)0且a≠1)，f(2)＝3，則f(－2)的值為________． 15．函數y＝(x2－3x＋2)的單調遞增區(qū)間為______________． 16．設0≤x≤2，則函數y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)已知指數函數f(x)＝ax(a>0且a≠1)． (1)求f(x)的反函數g(x)的解析式； (2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)． 18．(12分)已知函數f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)當a＝1時，求函數f(x)在x∈[－3,0]的值域； (2)若關于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范圍． 19．(12分)已知x>1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，試比較f(x)與g(x)的大?。? 20．(12分)設函數f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4， (1)若t＝log2x，求t的取值范圍； (2)求f(x)的最值，并寫出最值時對應的x的值． 21．(12分)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)． (1)求f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明； (3)求使f(x)>0的x的取值范圍． 22．(12分)已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數． (1)求b的值； (2)判斷函數f(x)的單調性； (3)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．