第七章 第七節(jié) 空間向量及其運算[理] 1．△ABC的頂點分別為A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則AC邊上的高BD等于 (　　) A．5　　　　　 　 B. C．4 D．2 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，給出以下向量表達式： ①(－)－； ②()－；③()－2；④(＋)＋. 其中能夠化簡為向量的是 (　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．在四面體O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則可表示為(用a，b、c表示)． (　　) A.a＋b＋c B.a＋b－c C.a＋b＋c D.a－b＋c 4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若＋x，則x、y的值分別為 (　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1 5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF是異面直線AC與A1D的公垂線，則EF與BD1所成的角是 (　　) A．90° B．60° C．30° D．0° 6．已知空間四邊形ABCD中，M、G分別為BC、CD的中點，則＋()等于 (　　) A． B． C． D. 7．在空間四邊形ABCD中，＝________. 8．已知點A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，則| |的值是________． 9．(2009·平頂山模擬)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM和CN所成角的余弦值為________． 10．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．試計算： (1)；(2) . 11．在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB和CD成60°角(見下圖)．求B、D間的距離． 12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點． (1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． 1．A 2．A 3．A 4．C 5．D 6．A 7，0 8． 9． 10．解：如圖，設＝a，＝b，＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1) ·＝b·[(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16； (2) ·＝[(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－|a|2＋|b|2＝2. 11．解：∵∠ACD=90°，∴＝0.同理＝0. ∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°. ∵， ∴ ＝＝3＋2×1×1×cos〈〉＝ ∴| |＝2或，即B、D間的距離為2或. 12．解：(1)證明：設＝a，＝b，＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D. (2) ＝－a＋c，∴| |＝|a|，| |＝|a|. ·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 1．解析：設＝λ，又＝(0,4，－3)． 則＝(0,4λ，－3λ)． ＝(4，－5,0)， ＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 由·＝0， 得λ＝－，∴＝(－4，，)，∴||＝5. 答案：A 2．解析：①； ②； ③； ④， 綜上①②符合題意． 答案：A 3．解析：×() ＝×() ＝＋＋＝a＋b＋c. 答案：A 4．解析：如圖， ＋＋()． 答案：C 5．解析：可求得∥，即BD1∥EF. 答案：D 6．解析：如圖所示：()＝，＋＝. 答案：A 7，解析：設＝b，＝c，＝d， 則＝d－c，＝d－b，＝c－b. 原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0. 答案：0 8．解析：設P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)． ＝(－1－x,3－y,4－z) 由＝2得點P坐標為(－，，3)， 又D(1,1,1)，∴| |＝. 答案： 9．解析：建系可求得cosθ=. 答案： 10．解：如圖，設＝a， ＝b，＝c， 則|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. (1) · ＝b·[(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16； (2) ·＝[(c－a)＋b]·(b＋a) ＝(－a＋b＋c)·(b＋a) ＝－|a|2＋|b|2 ＝2. 11．解：∵∠ACD=90°，∴＝0. 同理＝0. ∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°. ∵， ∴ ＝ ＝3＋2×1×1×cos〈〉 ＝ ∴| |＝2或，即B、D間的距離為2或. 12．解：(1)證明：設＝a， ＝b，＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D. (2) ＝－a＋c，∴| |＝|a|，| |＝|a|. ·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 第七章 第七節(jié) 空間向量及其運算[理] 課下練兵場 命 題 報 告 難度及題號 知識點 容易題 (題號) 中等題(題號) 稍難題(題號) 空間向量的線性運算 2、3 6 共線向量、共面 向量定理的應用 4 5、8 數(shù)量積的應用 1、7 9、10 11、12 一、選擇題 1．△ABC的頂點分別為A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則AC邊上的高 BD等于 (　　) A．5　　　　　 　 B. C．4 D．2 解析：設＝λ，又＝(0,4，－3)． 則＝(0,4λ，－3λ)． ＝(4，－5,0)， ＝(－4,4λ＋5，－3λ)， 由·＝0， 得λ＝－，∴＝(－4，，)，∴||＝5. 答案：A 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，給出以下向量表達式： ①(－)－； ②()－； ③()－2； ④(＋)＋. 其中能夠化簡為向量的是 (　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：①； ②； ③； ④， 綜上①②符合題意． 答案：A 3．在四面體O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則可表示為(用a，b、c表示)． (　　) A.a＋b＋c B.a＋b－c C.a＋b＋c D.a－b＋c 解析：×() ＝×() ＝＋＋＝a＋b＋c. 答案：A 4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若＋x ，則x、y的值分別為 (　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1 解析：如圖， ＋＋()． 答案：C 5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF是異面直線AC與A1D的公垂線，則EF與BD1所成的角是 (　　) A．90° B．60° C．30° D．0° 解析：可求得∥，即BD1∥EF. 答案：D 6．已知空間四邊形ABCD中，M、G分別為BC、CD的中點，則＋()等于(　　) A． B． C． D. 解析：如圖所示：()＝，＋＝. 答案：A 二、填空題 7．在空間四邊形ABCD中，＝________. 解析：設＝b，＝c，＝d， 則＝d－c，＝d－b，＝c－b. 原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0. 答案：0 8．已知點A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，則| |的值是________． 解析：設P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)． ＝(－1－x,3－y,4－z) 由＝2得點P坐標為(－，，3)， 又D(1,1,1)，∴| |＝. 答案： 9．(2009·平頂山模擬)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM和CN所成角的余弦值為________． 解析：建系可求得cosθ=. 答案： 三、解答題 10．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．試計算： (1)； (2) . 解：如圖，設＝a， ＝b，＝c， 則|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. (1) · ＝b·[(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16； (2) ·＝[(c－a)＋b]·(b＋a) ＝(－a＋b＋c)·(b＋a) ＝－|a|2＋|b|2 ＝2. 11．在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB和CD成60°角(見下圖)．求B、D間的距離． 解：∵∠ACD=90°，∴＝0. 同理＝0. ∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°. ∵， ∴ ＝ ＝3＋2×1×1×cos〈〉 ＝ ∴| |＝2或，即B、D間的距離為2或. 12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點． (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． 解：(1)證明：設＝a， ＝b，＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D. (2) ＝－a＋c，∴| |＝|a|，| |＝|a|. ·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.