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第七章第七節(jié)空間向量及其運算[理]

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第七章第七節(jié)空間向量及其運算[理]

第七章 第七節(jié) 空間向量及其運算[理] 1.△ABC的頂點分別為A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AC邊上的高BD等于 (  ) A.5        B. C.4 D.2 2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出以下向量表達式: ①(-)-; ②()-;③()-2;④(+)+. 其中能夠化簡為向量的是 (  ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.在四面體O-ABC中,=a,=b,=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則可表示為(用a,b、c表示). (  ) A.a+b+c B.a+b-c C.a+b+c D.a-b+c 4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為上底面A1C1的中心,若+x,則x、y的值分別為 (  ) A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x=,y= D.x=,y=1 5.正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF是異面直線AC與A1D的公垂線,則EF與BD1所成的角是 (  ) A.90° B.60° C.30° D.0° 6.已知空間四邊形ABCD中,M、G分別為BC、CD的中點,則+()等于 (  ) A. B. C. D. 7.在空間四邊形ABCD中,=________. 8.已知點A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,則| |的值是________. 9.(2009·平頂山模擬)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是A1B1和BB1的中點,那么直線AM和CN所成角的余弦值為________. 10.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E為側(cè)面AB1的中心,F(xiàn)為A1D1的中點.試計算: (1);(2) . 11.在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB和CD成60°角(見下圖).求B、D間的距離. 12.直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分別為AB、BB′的中點. (1)求證:CE⊥A′D;(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值. 1.A 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A 7,0 8. 9. 10.解:如圖,設=a,=b,=c,則|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1) ·=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16; (2) ·=[(c-a)+b]·(b+a)=(-a+b+c)·(b+a)=-|a|2+|b|2=2. 11.解:∵∠ACD=90°,∴=0.同理=0. ∵AB和CD成60°角,∴〈〉=60°或120°. ∵, ∴ ==3+2×1×1×cos〈〉= ∴| |=2或,即B、D間的距離為2或. 12.解:(1)證明:設=a,=b,=c, 根據(jù)題意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,∴=b+c,=-c+b-a. ∴·=-c2+b2=0. ∴⊥,即CE⊥A′D. (2) =-a+c,∴| |=|a|,| |=|a|. ·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2, ∴cos〈,〉==. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 1.解析:設=λ,又=(0,4,-3). 則=(0,4λ,-3λ). =(4,-5,0), =(-4,4λ+5,-3λ), 由·=0, 得λ=-,∴=(-4,,),∴||=5. 答案:A 2.解析:①; ②; ③; ④, 綜上①②符合題意. 答案:A 3.解析:×() =×() =++=a+b+c. 答案:A 4.解析:如圖, ++(). 答案:C 5.解析:可求得∥,即BD1∥EF. 答案:D 6.解析:如圖所示:()=,+=. 答案:A 7,解析:設=b,=c,=d, 則=d-c,=d-b,=c-b. 原式=b·(d-c)+d·(c-b)-c(d-b)=0. 答案:0 8.解析:設P(x,y,z),∴=(x-1,y-2,z-1). =(-1-x,3-y,4-z) 由=2得點P坐標為(-,,3), 又D(1,1,1),∴| |=. 答案: 9.解析:建系可求得cosθ=. 答案: 10.解:如圖,設=a, =b,=c, 則|a|=|c|=2,|b|=4, a·b=b·c=c·a=0. (1) · =b·[(c-a)+b] =|b|2=42=16; (2) ·=[(c-a)+b]·(b+a) =(-a+b+c)·(b+a) =-|a|2+|b|2 =2. 11.解:∵∠ACD=90°,∴=0. 同理=0. ∵AB和CD成60°角,∴〈〉=60°或120°. ∵, ∴ = =3+2×1×1×cos〈〉 = ∴| |=2或,即B、D間的距離為2或. 12.解:(1)證明:設=a, =b,=c, 根據(jù)題意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0, ∴=b+c,=-c+b-a. ∴·=-c2+b2=0. ∴⊥,即CE⊥A′D. (2) =-a+c,∴| |=|a|,| |=|a|. ·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2, ∴cos〈,〉==. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 第七章 第七節(jié) 空間向量及其運算[理] 課下練兵場 命 題 報 告 難度及題號 知識點 容易題 (題號) 中等題(題號) 稍難題(題號) 空間向量的線性運算 2、3 6 共線向量、共面 向量定理的應用 4 5、8 數(shù)量積的應用 1、7 9、10 11、12 一、選擇題 1.△ABC的頂點分別為A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AC邊上的高 BD等于 (  ) A.5        B. C.4 D.2 解析:設=λ,又=(0,4,-3). 則=(0,4λ,-3λ). =(4,-5,0), =(-4,4λ+5,-3λ), 由·=0, 得λ=-,∴=(-4,,),∴||=5. 答案:A 2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出以下向量表達式: ①(-)-; ②()-; ③()-2; ④(+)+. 其中能夠化簡為向量的是 (  ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解析:①; ②; ③; ④, 綜上①②符合題意. 答案:A 3.在四面體O-ABC中,=a,=b,=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則可表示為(用a,b、c表示). (  ) A.a+b+c B.a+b-c C.a+b+c D.a-b+c 解析:×() =×() =++=a+b+c. 答案:A 4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為上底面A1C1的中心,若+x ,則x、y的值分別為 (  ) A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x=,y= D.x=,y=1 解析:如圖, ++(). 答案:C 5.正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF是異面直線AC與A1D的公垂線,則EF與BD1所成的角是 (  ) A.90° B.60° C.30° D.0° 解析:可求得∥,即BD1∥EF. 答案:D 6.已知空間四邊形ABCD中,M、G分別為BC、CD的中點,則+()等于(  ) A. B. C. D. 解析:如圖所示:()=,+=. 答案:A 二、填空題 7.在空間四邊形ABCD中,=________. 解析:設=b,=c,=d, 則=d-c,=d-b,=c-b. 原式=b·(d-c)+d·(c-b)-c(d-b)=0. 答案:0 8.已知點A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,則| |的值是________. 解析:設P(x,y,z),∴=(x-1,y-2,z-1). =(-1-x,3-y,4-z) 由=2得點P坐標為(-,,3), 又D(1,1,1),∴| |=. 答案: 9.(2009·平頂山模擬)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是A1B1和BB1的中點,那么直線AM和CN所成角的余弦值為________. 解析:建系可求得cosθ=. 答案: 三、解答題 10.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E為側(cè)面AB1的中心,F(xiàn)為A1D1的中點.試計算: (1); (2) . 解:如圖,設=a, =b,=c, 則|a|=|c|=2,|b|=4, a·b=b·c=c·a=0. (1) · =b·[(c-a)+b] =|b|2=42=16; (2) ·=[(c-a)+b]·(b+a) =(-a+b+c)·(b+a) =-|a|2+|b|2 =2. 11.在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB和CD成60°角(見下圖).求B、D間的距離. 解:∵∠ACD=90°,∴=0. 同理=0. ∵AB和CD成60°角,∴〈〉=60°或120°. ∵, ∴ = =3+2×1×1×cos〈〉 = ∴| |=2或,即B、D間的距離為2或. 12.直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分別為AB、BB′的中點. (1)求證:CE⊥A′D; (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值. 解:(1)證明:設=a, =b,=c, 根據(jù)題意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0, ∴=b+c,=-c+b-a. ∴·=-c2+b2=0. ∴⊥,即CE⊥A′D. (2) =-a+c,∴| |=|a|,| |=|a|. ·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2, ∴cos〈,〉==. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.

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