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1對1個性化教案 學生 學 科 數(shù)學 年 級 七年級 教師 李瑞芳 授課日期 授課時段 課題 有理數(shù)知識點總結(jié)與培優(yōu) 教 學 內(nèi) 容 1、 正數(shù) 2、 負數(shù)、相反數(shù) 3、 有理數(shù) 4、 數(shù)軸及原點 5、 絕對值 6、 幾個負數(shù)比較大小 7、 有理數(shù)加法法則 8、 有理數(shù)乘法、除法法則 9、 乘方 10、 科學計數(shù)法 11、 近似數(shù)、有效數(shù)字 一、【知識點歸納】 （1）負數(shù)的應用，有理數(shù)的分類 1、負數(shù)的意義：引入負數(shù)是我們實際的需要，我們通常用正、負來表示一對相反意義的量。Eg1. 上升1m表示為＋1m，則下降2m表示為 。生活中有很多這樣的相反的量：前進－后退，向東－向西，等等。 Eg2：“某種機器零件規(guī)定其直徑誤差不得超過0.8mm”這是什么意思？ 2、 和 統(tǒng)稱為有理數(shù)。 按數(shù)的符號，我們將有理數(shù)分為： 有理數(shù) 按有理數(shù)定義，我們將有理數(shù)分為： 有理數(shù) 注意：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都屬于有理數(shù)。 例1.將下列各數(shù)填到相應的括號內(nèi)： －7.2，，－9，1.4，0，3.14，，12，－2.5，20％ 整數(shù)集合： 正分數(shù)集合： 非負數(shù)集合： 分數(shù)集合： 例2. a一定是正數(shù)，－a一定是負數(shù)嗎？回答并舉例： （2）數(shù)軸 1、數(shù)軸的三要素： 、 、 。在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。 最小的正整數(shù)是 ，最大的負整數(shù)是 。 2、△相反數(shù)：兩個數(shù)只有符號不同，我們稱一個是另一個的相反數(shù)。Eg。2和－2，a和－a。 本質(zhì)：只有符號不同，其它不變。特別的：0的相反數(shù)是 。 ※ x＋y的相反數(shù)是（ ），a－b的相反數(shù)是（ ）。 牢記：正數(shù)的相反數(shù)是 ，負數(shù)的相反數(shù)是 ，相反數(shù)等于它本身的數(shù)是 。 3、相反數(shù)的代數(shù)意義：a>0時，－a 0； a<0時，－a 0； a＝0時，－a 0.（a可以代表任意有理數(shù)） 0 -2 2 相反數(shù)的幾何意義： 表示互為相反數(shù)的兩個點位于原點的 ，且到原點的 相等。 4、會進行符號的化簡： 例：－（－2）＝ ；＋[－（＋2）]＝ ；－（x＋y）＝ ； 特別提醒：相反數(shù)的學習對絕對值的化簡至關(guān)重要。一定要把握住相反數(shù)的本質(zhì)。 △※（3）絕對值 1、概念：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點到原點的 叫做該數(shù)的絕對值。記作： △任何數(shù)的絕對值一定 0，即：|a| 0. 2、代數(shù)意義： ( a>0) 正數(shù)的絕對值等于 |a|= (a=0) 0的絕對值是 (a<0) 負數(shù)的絕對值等于 例：絕對值等于本身的數(shù)是 ；絕對值等于它的相反數(shù)的數(shù)是 ； 0 a |a| 3、幾何意義： 一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示a的點到原點的距離。記作：|a| △絕對值等于正數(shù)的數(shù)有兩個，它們 。 例：|x|=3,則x＝ 4、利用絕對值比較大?。簝蓚€負數(shù)，絕對值大的反而小。 例：－ －， － － △※5、絕對值化簡：即去絕對值號。把握一個原則：先判斷絕對值號內(nèi)的數(shù)的符號，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義來化簡去絕對值號。 Eg。已知x<0,y>0,化簡|x-y|+|x|+|y|. (4)有理數(shù)的加、減法 有理數(shù)的加法法則： 有理數(shù)的減法法則： 。 a－b＝a＋ 。 有理數(shù)的運算律：a＋b＝ ；（a＋b）＋c＝ ；a－（b＋c＋d）＝ 。 一定要注意：運算中，負數(shù)一定要加括號。括號外面是減號（負號）時，去括號括號里面的各項都變號。 （5）有理數(shù)的乘、除法 有理數(shù)的乘法法則： 多個有理數(shù)相乘，積的符號由 來決定， 為正， 為負，并把絕對值 。 乘法運算法則：ab＝ ；(ab)c= ；a(b+c+d)= . 有理數(shù)的除法法則： 互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積為 。 除以一個數(shù)，等于乘以 。 判斷：0除以任何數(shù)都得0。 （ ） (6)有理數(shù)的乘方 1、n個相同的數(shù)a的乘積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做 冪 。記作an，其中，a為 ，n為 。 2、正數(shù)的任何次冪都是 ；負數(shù)的 。 特別的，-1的奇數(shù)冪是 。 -1的偶次冪是 。 做乘方運算時，一定要注意：分數(shù)、和負數(shù)的乘方要 ，要明確區(qū)分有無括號的不同。 例－＝ ； －（）4＝ ； （－）4＝ 。 3、平方等于本身的數(shù)是 ；立方等于本身的數(shù)是 。 （7）有理數(shù)的混合運算 原則：先算乘方，再算乘除，最后加減。有括號時先算括號里面的數(shù)。 （8）科學記數(shù)法與近似數(shù) 1、科學記數(shù)法的定義：把一個大于10的數(shù)記成的形式的方法（其中）。 其中數(shù)原數(shù)有n+1位數(shù)。 2、近似數(shù)：接近真實數(shù)值的一個數(shù)。 （1）．在近似數(shù)的計算中，分清準確數(shù)和近似數(shù)是很重要的，它是決定我們用近似計算法則進行計算，還是用一般方法進行計算的依據(jù)．　　 （2）．產(chǎn)生近似數(shù)的主要原因：　　 a.“計算”產(chǎn)生近似數(shù)．如除不盡，有圓周率π參加計算的結(jié)果等等；　 　 b.用測量工具測出的量一般都是近似數(shù)，如長度、重量、時間等等；　　 c.不容易得到，或不可能得到準確數(shù)時，只能得到近似數(shù)，如人口普查的結(jié)果，就只能是一個近似數(shù)； d.由于不必要知道準確數(shù)而產(chǎn)生近似數(shù)． 例1、下列的大小排列正確的是（　　） A． B． C． D． 例2、比較和的大?。? （1） 利用絕對值來比較大??；（2）利用數(shù)軸比較大小；（3）利用中間數(shù)比較兩數(shù)的大?。? 例3、比較大小． （1）－12.3與－12； （2）－（－2.75）與－（－2.67）； （3）｜－8｜與－8； 例4、下列各說法中，正確的是 （ ） A、 數(shù)0的意義就是表示沒有 B、 一個有理數(shù)，不是整數(shù)就是分數(shù) C 、 一個有理數(shù)，不是正數(shù)就是負數(shù) D 、 正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) 例5、某天A市早晨的氣溫是℃，到中午升高了6℃，晚上又降低了4℃，到半夜再降低3℃，這時，半夜的溫度是________ 例6、如下圖，化簡= ___ ，=___ ，=_ __ 例7、絕對值大于2且小于5的所有負整數(shù)__________ 例8、不超過的最大整數(shù)是__________ 例9、絕對值最小的數(shù)是 例10、已知：a＝－5，|a|＝|b|,則b的值為：（ ） 例11計算：（用簡便方法計算） （－－）÷ 例12、解答題： （1)、某水文站一周內(nèi)河水漲落記錄如下 星期一河水在警戒線下8cm，星期二河水在警戒線下10 cm，星期三河水在警戒線下6 cm，星期四河水上漲了5 cm，星期五河水下降了3 cm，星期六河水上漲了7 cm，星期天下降了1 cm。試求星期天的水位在警戒線上或警戒線下幾厘米。 (2)規(guī)定一種運算：a＊b=；計算2＊(-3)的值 (3)、已知， 是有理數(shù)，且與2互為相反數(shù)，與互為倒數(shù)，試求的值。 (4)、數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的位置如右圖所示，試化簡：＋－。 例13、下面是用科學記數(shù)法表示的數(shù)，請你寫出它們的原數(shù)是什么數(shù)? (1) ；(2) ，(3) 一、填空題（每題2分，共24分） 1．與__互為倒數(shù)；若，那么． 2．如果節(jié)約20度電記作＋20度，那么浪費10度電記作　　??；如果－20.50元表示虧本20.50元，那么＋100.57元表示　　　　　　　　　　　　　　　。 3. 某日小明在一條南北方向的公路上跑步，他從A地出發(fā)，若把向北跑1008 m作－1008 m，那么他折回來又繼續(xù)跑了1010 m表示　　　，這時他停下來休息，此時他在A地的　　　方，距A地距離為　　　　　米． 4．數(shù)軸上有理數(shù)a、b、c、d的位置如圖所示： （1）其中屬于分數(shù)集合的數(shù)是　　??； （2）其中倒數(shù)小于1的數(shù)是　　　　　． 5．若，則；若，則；若，則． 6．若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的相反數(shù)是它本身，則； 7． 已知，x為有理數(shù)，則代數(shù)式的值為 。 8．當時，把按從小到大的順序排列______ ____； 9. 按規(guī)律填寫：，________，________，________，…； 10.觀察下列算式： 通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出的末位數(shù)字是__________； 11．如果與互為相反數(shù)，那么; 12．把下列各數(shù)鎮(zhèn)在相應的集合中： －7，3.5，－3.1415926，，0，，10，－5％， 自然數(shù)集合：｛ …｝ 非正整數(shù)集合：｛ …｝ 負分數(shù)集合：｛ …｝ 非負數(shù)集合；｛ …｝ 二、選擇題（每題3分，共36分） １．已知x與y互為相反數(shù)，y與z互為相反數(shù)，則x與z的關(guān)系為（　?。? Ａ.互為相反數(shù) B.互為倒數(shù) C.相同 D.不能確定 2.下列說法中不正確的是（ ） A．－3表示的點到原點的距離是 B．一個有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù) C．一個有理數(shù)的絕對值一定不是負數(shù) D．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值一定相等 3．若m、n為任意有理數(shù)，且，則m、n的關(guān)系為（ ）． A． B. C. D. 4．有理數(shù)在數(shù)軸的位置如圖，則下面關(guān)系中正確的個數(shù)為（ ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果，且，那么的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 6．在絕對值小于100的整數(shù)中，可以寫成整數(shù)平方的數(shù)共有（ ）個． A．18 B．19 C．10 D．9 7．在絕對值小于100的整數(shù)中，可以寫成整數(shù)立方的數(shù)共有（ ）個． A．7 B．8 C．９ D．1０ 8．一根1m長的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的繩子的長度為（ ） A．m B．m　　 C．m D．m 9．若a為有理數(shù)，使成立的n條件為（ ）． A. n為偶數(shù) B. n為奇數(shù) C. n為非正整數(shù) D. n為非負整數(shù) 10．如果a為有理數(shù)，那么下列各式一定為正數(shù)的是（ ）． A. 　　 B. 　　C. 　　　D. 11．若，則下列結(jié)論正確的是（ ）． A. B. 　C. D. 12．若a、b都為有理數(shù)，要使與互為相反數(shù)，則應滿足的條件是（ ）． A． B． C． D． 13、我國擬設(shè)計建造的長江三峽電站，估計總裝機容量將達16780000千瓦，用科學記數(shù)法表示總裝機容量是（ ） （A）千瓦（B）千瓦（C）千瓦（D）千瓦 三、解答題（１、２題共９分，３題２０分，４題８分，５題３分，共４０分） 1. 李先生上星期六買進某公司股票7 000股，每股27元，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況：（單位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股漲跌 +4 +4.5 －1 －2.5 －6 +2 （1）這六天中，星期　　　　的股票是上漲的，星期　　　　的股票是下跌的； （2）星期　　　的股票上漲的最多，這天收盤時每股是　　　　　元． 2. 為了解某中學畢業(yè)年級男生的身體發(fā)育情況，對20名男生的身高進行了測量，這20名男生的平均身高為170 cm，把高于平均身高的部分記為正數(shù)，把低于平均身高的部分記為負數(shù)，結(jié)果如下（單位：cm）： ＋5，－9，0，＋6，－3，＋11，－9，＋3，＋1，＋7， ＋9，＋2，－5，－13，＋3，0，－4，＋7－1，＋11． （1）＋5 cm表示　　　　　　　　　， 0 cm表示　　　　　　　　　； （2）這20名男生的身高最高是　　　　　，最矮是　　　　　； （3）身高在171～177cm（含171和177cm）范圍內(nèi)的人數(shù)為　　　　個． 3．計算（每題４分，共2０分）： ①；　　?、冢? ③；　　　　④； ⑤ 4.已知，求代數(shù)式的值：①；② 5. 已知； ； ； ． （1）猜想填空：； （2）計算： 11