《《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復(fù)數(shù)、框圖》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復(fù)數(shù)、框圖（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座41—邏輯、推理與證明、復(fù)數(shù)、框圖） 一．課標(biāo)要求： 1．常用邏輯用語 （1）命題及其關(guān)系 ① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題；② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系； （2）簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 通過數(shù)學(xué)實例，了解"或"、"且"、"非"邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義。 （3）全稱量詞與存在量詞 ① 通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義； ② 能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定。 2．推理與證明 （1）合情推理與演繹推理 ①結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的

2、實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用； ②結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理； ③通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 （2）直接證明與間接證明 ①結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點； ②結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的一種基本方法--反證法；了解反證法的思考過程、特點； （3）數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題； （

3、4）數(shù)學(xué)文化 ①通過對實例的介紹（如歐幾里德《幾何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想； ②介紹計算機(jī)在自動推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用； 3．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 （1）在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系； （2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件； （3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； （4）能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義。 4．框圖 （1）流程圖 ①通過具體實例，進(jìn)一

4、步認(rèn)識程序框圖； ②通過具體實例，了解工序流程圖（即統(tǒng)籌圖）； ③能繪制簡單實際問題的流程圖，體會流程圖在解決實際問題中的作用； （2）結(jié)構(gòu)圖 ①通過實例，了解結(jié)構(gòu)圖；運(yùn)用結(jié)構(gòu)圖梳理已學(xué)過的知識、整理收集到的資料信息； ②結(jié)合作出的結(jié)構(gòu)圖與他人進(jìn)行交流，體會結(jié)構(gòu)圖在揭示事物聯(lián)系中的作用。 二．命題走向 常用邏輯用語 本部分內(nèi)容主要是常用的邏輯用語，包括命題與量詞，基本邏輯聯(lián)結(jié)詞以及充分條件、必要條件與命題的四種形式。 預(yù)測07年高考對本部分內(nèi)容的考查形式如下：考查的形式以選擇、填空題為主，考察的重點是條件和復(fù)合命題真值的判斷。 推理證明 本部分內(nèi)容主要包括：合情推理和演繹

5、推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法（理科）等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨出題的可能性較小； 預(yù)計2007年高考將會有較多題目用到推理證明的方法。 復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)部分考查的重點是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、運(yùn)算及運(yùn)算的幾何意義，一般是選擇題、填空題，難度不大，預(yù)計今后的高考還會保持這個趨勢。 預(yù)測2007年高考對本講的試題難度不會太大，重視對基本問題諸如：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算的考查，題目多以選

6、擇、填空為主。 框圖 本部分是新課標(biāo)新增內(nèi)容，歷年高考中涉及內(nèi)容很少，估計2007年高考中可能在選擇題、填空題中以考察流程圖和結(jié)構(gòu)圖的定義和特征的形式出現(xiàn)；也可能以畫某種知識的結(jié)構(gòu)圖或解決某類問題的流程圖為形式的解答題出現(xiàn)，但不論哪種形式，所占份量都不會很大。 三．要點精講 1．常用邏輯用語 （1）命題 命題：可以判斷真假的語句叫命題； 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。 常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。 （2）復(fù)合命題的

7、真值 “非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時為假，其他情況為

8、真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。 （3）四種命題 如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題。 兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。

9、 （4）條件 一般地，如果已知pTq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 可分為四類：（1）充分不必要條件，即pTq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qTp；(3)既充分又必要條件，即pTq，又有qTp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。 一般地，如果既有pTq，又有qTp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pTq且qTp。 這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 （5）全稱命題與特稱命題 這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命

10、題。 短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。 2．推理與證明 （1）合情推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理； 根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。 類比推理的一般步驟： （1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一

11、個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質(zhì)上相同或類似，那么它們在另一些性質(zhì)上也可能相同或類似，類比的結(jié)論可能是真的；（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠。 （2）演繹推理 分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然為真。 （3）證明 反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不

12、直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法。 反證法的步驟：1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2)從這個假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。 分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就

13、可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。 用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 分析法的思維特點是：執(zhí)果索因； 分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真， 從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有…… 這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法， 用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。 3．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引

14、入 形如a+bi(a,b的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示，其中a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部。 復(fù)數(shù)的加法法則：（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；復(fù)數(shù)的加法法則：（a+bi）－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；復(fù)數(shù)的乘法法則：（a+bi）（c+di）=(ac－bd)+(ad+bc)i；復(fù)數(shù)的除法法則：(a+bi)(c+di)=== =+； 4．框圖 （1）結(jié)構(gòu)圖 首先，你要對所畫結(jié)構(gòu)圖的每一部分有一個深刻的理解和透徹的掌握，從頭止尾抓住主要脈絡(luò)進(jìn)行分解，然后將每一步分解進(jìn)行歸納與

15、提煉，形成一個個知識點并將其逐一地寫在矩形框內(nèi)。最后，按其內(nèi)在的邏輯順序?qū)⑺鼈兣帕衅饋聿⒂镁€段相連，這樣就畫成了知識結(jié)構(gòu)圖。 認(rèn)識結(jié)構(gòu)圖：由構(gòu)成系統(tǒng)的若干要素和表達(dá)各要素之間關(guān)系的連線構(gòu)成。 繪制結(jié)構(gòu)圖的步驟：1）先確定組成系統(tǒng)的基本要素，以及這些要素之間的關(guān)系；2）處理好“上位”與“下位”的關(guān)系；“下位”要素比“上位”要素更為具體， “上位”要素比“下位”要素更為抽象。3）再逐步細(xì)化各層要素；4）畫出結(jié)構(gòu)圖，表示整個系統(tǒng)。 （2）流程圖 繪制流程圖的一般過程：首先，用自然語言描述流程步驟；其次，分析每一步驟是否可以直接表達(dá)，或需要借助于邏輯結(jié)構(gòu)來表達(dá)；再次，分析各步驟之間的關(guān)系；最后

16、，畫出流程圖表示整個流程。 鑒于用自然語言描述算法所出現(xiàn)的種種弊端，人們開始用流程圖來表示算法，這種描述方法既避免了自然語言描述算法的拖沓冗長，又消除了起義性，且能清晰準(zhǔn)確地表述該算法的每一步驟，因而深受歡迎。 設(shè)計算法解決問題的主要步驟： 第一步、用自然語言描述算法； 算法可以用自然語言來描述，但為了使算法的程序或步驟表達(dá)得更為直觀，我們更經(jīng)常地用圖形方式來表示它。 第二步、畫出程序框圖表達(dá)算法； 第三步、寫出計算機(jī)相應(yīng)的程序并上機(jī)實現(xiàn)。 四．典例解析 題型1：判斷命題的真值 例1．寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)

17、合命題的真假。 （1）p：9是144的約數(shù)，q：9是225的約數(shù)。 （2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1； （3）p：實數(shù)的平方是正數(shù)，q：實數(shù)的平方是0. 解析：由簡單命題構(gòu)成復(fù)合命題，一定要檢驗是否符合“真值表”如果不符要作語言上的調(diào)整。 （1）p或q：9是144或225的約數(shù)； p且q：9是144與225的公約數(shù)，（或?qū)懗桑?是144的約數(shù)，且9是225的約數(shù)）； 非p：9不是144的約數(shù). ∵p真，q真，∴“p或q”為真，“p且q” 為真，而“非p”為假. （2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是

18、x=－1（注意，不能寫成“方程x2－1=0的解是x=±1”，這與真值表不符）； p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1； 非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應(yīng)理解為“都是”的意思）； ∵p假，q假，∴“p或q”與，“p且q” 均為假，而“非p”為真. （3）p或q：實數(shù)的平方都是正數(shù)或?qū)崝?shù)的平方都是0； p且q：實數(shù)的平方都是正數(shù)且實數(shù)的平方都是0； 非p：實數(shù)的平方不都是正數(shù)，（或：存在實數(shù)，其平方不是正數(shù)）； ∵p假，q假，∴“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真. 點評：在命題p或命題q的語句中，

19、由于中文表達(dá)的習(xí)慣常常會有些省略，這種情況下應(yīng)作詞語上的調(diào)整。 題型2：條件 例2．（1）（2005北京2）“”是“直線相互垂直”的（ ） A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案：B； 解析：當(dāng)時兩直線斜率乘積為從而可得兩直線垂直,當(dāng)時兩直線一條斜率為0一條斜率不存在,但兩直線仍然垂直.因此是題目中給出的兩條直線垂直的充分但不必要條件。 點評：對于兩條直線垂直的充要條件①都存在時②中有一個不存在另一個為零對于②這種情況多數(shù)考生容易忽略。 （2）（2005湖南6）設(shè)集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x －1|＜a

20、，若“a＝1”是“A∩B≠”的（ ?。? 　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件　 D．既不充分又不必要條件 答案：A； 解析：由題意得A：－1

21、 ； （2）判斷命題：“若沒有實根，則”的真假性。 解析：（1）答案：若； 由題意原命題的否命題為“若”。 （2）很可能許多同學(xué)會認(rèn)為它是假命題（原因m=0時顯然方程有根），而它的逆否命題：“若有實根”，顯然為真，其實不然，由沒實根可推得，而的真子集，由，故原命題為真，其實，用逆否命題很容易判斷它是真命題； 點評：本題考查了命題間的關(guān)系，由原命題寫出其否命題。 題型4：全稱命題與特稱命題 例4．命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則┐p是（ ） A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等腰三角形 C．所有三角形不是等腰三角

22、形 D．所有三角形是等腰三角形 解析：像這種存在性命題的否定命題也有其規(guī)律：命題p：“存在使P（x）成立”，┐p為：“對任意”，它恰與全稱性命題的否定命題相反，故的答案為C。 點評：簡易邏輯題，比較抽象，不少學(xué)生在有些問題的看法上常出現(xiàn)一些自己也說不清道不明的疑惑，但要依據(jù)具體的規(guī)則進(jìn)行詳細(xì)的處理。 題型5：合情推理 例5．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？ （2）把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立： 1）如果一條直線與兩條平行直

23、線中的一條相交，則必于另一條相交。 2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。 解析：（1）設(shè)為個點可連的弦的條數(shù)，則 （2） 1）一個平面如和兩個平行平面中的一個相交，則必然和另一個也相交，次結(jié)論成立； 2）若兩個平面同時垂直第三個騙馬，則這兩個平面也相互平行，此結(jié)論不成立。 點評：當(dāng)前提為真，結(jié)論可能為真的推理。一定要理解合情推理的必要性。 題型6：演繹推理 例6．（06年天津）如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱。 （1）證明//平面； （2）設(shè)，證明平面。 解析：（Ⅰ）證明：取CD中點M，連結(jié)OM. 在矩形ABCD中，，

24、又， 則，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. 又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE （Ⅱ）證明：連結(jié)FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中， 且。 因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF。 點評：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力。 題型7：特殊證法 例7．（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么； （2）（06全國II）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…。

25、 （Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式。 解析：（1）假設(shè)不大于，則或者<,或者=。 ∵a>0，b>0，∴<<，< ，ab>0矛盾，∴. 證法二（直接證法）， ∵a>b>0,∴a - b>0即， ∴，∴。 （2）(Ⅰ)當(dāng)n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。 當(dāng)n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。 (Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2

26、Sn＋1－anSn＝0。 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　?、? 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。 由①可得S3＝，由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論 (i)n＝1時已知結(jié)論成立； (ii)假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝， 當(dāng)n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝， 故n＝k＋1時結(jié)論也成立． 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立， 于是當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，… 點評：要應(yīng)

27、用好反證法、數(shù)學(xué)歸納法證明一些涉及代數(shù)、不等式、幾何的結(jié)論。 題型8：復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì) 例8．（1）（福建卷）設(shè)a、b、c、d∈R，則復(fù)數(shù)(a+bi)(c+di)為實數(shù)的充要條件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 （2）（北京卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解析：（1）復(fù)數(shù)=為實數(shù)，∴，選D； （2）解：故選D； 點評：復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)是高考對復(fù)數(shù)部分的一個考點，屬于比較基本的題目，主要考察復(fù)數(shù)的

28、的分類和幾何性質(zhì)。 題型9：復(fù)數(shù)的運(yùn)算 例9．（1）（06浙江卷）已知（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i （2）（湖北卷）設(shè)為實數(shù)，且，則 。 解析：（1），由、是實數(shù)，得， ∴，故選擇C。 （2）， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 點評：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，基礎(chǔ)題。 題型10：框圖 例10．（1）方案1：派出調(diào)研人員赴北京、上海、廣州調(diào)研，待調(diào)研人員回來后決定生產(chǎn)數(shù)量； 方案2：商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調(diào)

29、研，然后進(jìn)行生產(chǎn)，調(diào)研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進(jìn)搞調(diào)研，以便提前結(jié)束調(diào)研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領(lǐng)市場。 （2）公司人事結(jié)構(gòu)圖 解析：（1）方案1：派出調(diào)研人員赴北京、上海、廣州調(diào)研，待調(diào)研人員回來后決定生產(chǎn)數(shù)量。 ?? 方案2： 商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調(diào)研，然后進(jìn)行生產(chǎn)，調(diào)研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進(jìn)搞調(diào)研，以便提前結(jié)束調(diào)研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領(lǐng)市場。 于是： （2） 點評：建立合理的結(jié)構(gòu)圖和流程圖解決實際問題，要形成良好的書寫習(xí)慣遵循從上到下、從左到右的規(guī)則。 五．思維總結(jié) 1．簡易邏輯的重點內(nèi)容是有關(guān)“充要條件”、命題真?zhèn)蔚脑囶}。主

30、要是對數(shù)學(xué)概念有準(zhǔn)確的記憶和深層次的理解，試題以選擇題、填空題為主，難度不大，要求對基本知識、基本題型，求解準(zhǔn)確熟練； 2．推理證明題主要和其它知識結(jié)合到一塊，屬于知識綜合題，解決此類題目時要建立合理的解題思路； 3．高考對于復(fù)數(shù)的考察主要以復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為主，按新課標(biāo)的要求高考將不再考察共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等知識點； 4．框圖屬于新增內(nèi)容，將以考察考生的實際應(yīng)用能力為主，考查考生的知識遷移能力。 《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第一講 集 合 一．課標(biāo)要求： 1．集合的含義與表示 （1）通過實例，了解集合的含義，體會元素

31、與集合的“屬于”關(guān)系； （2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用； 2．集合間的基本關(guān)系 （1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集； （2）在具體情境中，了解全集與空集的含義； 3．集合的基本運(yùn)算 （1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集； （2）理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集； （3）能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。 二．命題走向 有關(guān)集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對集合的

32、計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓(xùn)練。考試形式多以一道選擇題為主，分值5分。 預(yù)測2007年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達(dá)之中，相對獨立。具體題型估計為： （1）題型是1個選擇題或1個填空題； （2）熱點是集合的基本概念、運(yùn)算和工具作用。 三．要點精講 1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合。 （1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作； （2）集合中的元

33、素必須滿足：確定性、互異性與無序性； 確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立； 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素； 無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)； （3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法； 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)； 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi)。 具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條

34、豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。 注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。 （4）常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N； 正整數(shù)集，記作N*或N+； 整數(shù)集，記作Z； 有理數(shù)集，記作Q； 實數(shù)集，記作R。 2．集合的包含關(guān)系： （1）集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）； 集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A B；

35、 （2）簡單性質(zhì)：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集（其中2n－1個真子集）； 3．全集與補(bǔ)集： （1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U； （2）若S是一個集合，AS，則，=稱S中子集A的補(bǔ)集； （3）簡單性質(zhì)：1）()=A；2）S=，=S。 4．交集與并集： （1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。 （2）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。 注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還

36、是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。 5．集合的簡單性質(zhì)： （1） （2） （3） （4）； （5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。 四．典例解析 題型1：集合的概念 例1．設(shè)集合，若，則下列關(guān)系正確的是（ ） A． B． C． D． 解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。選項為D； 點評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應(yīng)該分清楚元素與

37、集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。 例2．設(shè)集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是（ ） A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q 解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立＝，對m分類： ①m=0時，－4＜0恒成立； ②m＜0時，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。 綜合①②知m≤0， ∴Q={m∈R|m≤0}。 答案為A。 點評：該題考察了集合間的關(guān)系，同時考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，不能

38、忽略m=0的情況。 題型2：集合的性質(zhì) 例3．（2000廣東，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個數(shù)是（ ） A．15 B．16 C．3 D．4 解：根據(jù)子集的計算應(yīng)有24－1=15（個）。選項為A； 點評：該題考察集合子集個數(shù)公式。注意求真子集時千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時，A不是A的真子集。 變式題：同時滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個，舉出這些集合來。 答案：這樣的集合M有8個。 例4．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。 解：∵； ∴，即＝0，解得 當(dāng)時，

39、，為A中元素； 當(dāng)時， 當(dāng)時， ∴這樣的實數(shù)x存在，是或。 另法：∵ ∴， ∴＝0且 ∴或。 點評：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當(dāng)時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號是兩層含義：。 變式題：已知集合，,,求的值。 解：由可知， （1），或（2） 解（1）得， 解（2）得， 又因為當(dāng)時，與題意不符， 所以，。 題型3：集合的運(yùn)算 例5．（06全國Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝（ ） A． B．｛x|0＜x＜3 C．｛x|1＜x＜3

40、 D．｛x|2＜x＜3 解：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且2>1，顯然由易得。從而。故選項為D。 點評：該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。 例6．（06安徽理，1）設(shè)集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 解：，，所以，故選B。 點評：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。 題型4：圖解法解集合問題 例7．（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實數(shù)a圖 的取值范圍是____ _。 解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：

41、如圖所示，因此有a≤－2。 點評：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問題。 例8．（1996全國理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，則（ ） A．I＝A∪B B．I＝（A）∪B C．I＝A∪（B ） D．I＝（A）∪（B） 解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有Ｃ選項正確. 圖 方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪B，故答案為Ｃ. 方法三：因BA，所以（）A（）B，（

42、）A∩（B）＝A，故I＝A∪（A）＝A∪（B）。 方法四：根據(jù)題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪（B）是成立的。 點評：本題考查對集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。 題型5：集合的應(yīng)用 例9．向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？ 解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為3

43、0+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。 設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。 點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一

44、時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。 例10．求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？ 解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) －(200÷10)－(200÷6)－(200÷15) ＋(200÷30)＝146 所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54（個） 點評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可

45、考慮用扣除法。 題型7：集合綜合題 例11．（1999上海，17）設(shè)集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求實數(shù)a的取值范圍。 解：由|x－a|<2，得a－2

46、且不為0，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和記作Sn,設(shè)集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。 試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明： （1）若以集合A中的元素作為點的坐標(biāo)，則這些點都在同一條直線上； （2）A∩B至多有一個元素； （3）當(dāng)a1≠0時，一定有A∩B≠。 解：（1）正確；在等差數(shù)列{an}中，Sn=,則(a1+an),這表明點(an,)的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上。 （2）正確；設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y

47、得：2a1x+a12=－4(*)， 當(dāng)a1=0時，方程(*)無解，此時A∩B=； 當(dāng)a1≠0時，方程(*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。 ∴A∩B至多有一個元素。 （3）不正確；取a1=1，d=1，對一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，這時集合A中的元素作為點的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結(jié)論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=，所以a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的。 點評：該題融合

48、了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。 變式題：解答下述問題： （Ⅰ）設(shè)集合，,求實數(shù)m的取值范圍. 分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。 解： 的取值范圍是UM={m|m<-2}. （解法三）設(shè)這是開口向上的拋物線，，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價于 注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒有這么簡單。 （Ⅱ）已知兩個正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意

49、“正整數(shù)”這個條件的運(yùn)用， （Ⅲ） 分析：正確理解 要使, 由 當(dāng)k=0時，方程有解,不合題意； 當(dāng)① 又由 由②， 由①、②得 ∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1 點評：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。 題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題 例13．七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？ 解：設(shè)集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中間的位置}，

50、 D={丙站在正中間的位置}， 則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示， ∴不同的排法有種. 點評：這是一道排列應(yīng)用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯，若考慮運(yùn)用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗。 例14．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有 （1）設(shè)，證明： （2）設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的; （3）設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式。 解： 對任意,,,,所以 對任意的， ， ，

51、 所以0<, 令=， ， 所以 反證法：設(shè)存在兩個使得,。 則由， 得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。 ， 所以 +… 。 點評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。 五．思維總結(jié) 集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用集合觀點去研究和解決數(shù)學(xué)問題。 1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號，如、、、、=、A、∪，∩等等； 2．強(qiáng)化對集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運(yùn)用Venn

52、圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡（或求解）； 3．確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。 ① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。 ③若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是－1, 所有非空真子集的個數(shù)是。 ④區(qū)分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。 ⑥符號“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點與直線（面）的關(guān)系 ；符號“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。 邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學(xué)科，是人們認(rèn)識和研究問題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學(xué)生的推理技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力。