2、極大值,和極小值,在R上可導,,【答案】D 解,,由,為增;,,由,為減;,,由,為減;,,由,為增.,4 （2012年高考（陜西理））設函數(shù),A,為,的極大值點,為,的極小值點,為,的極大值點,為,的極小值點,,則（）,B,C,D,解析:,,令,得,時,,為減函數(shù);,時,,為增函數(shù),,為,的極小值點,選D.,所以,5 （2012年高考（山東理））設,且,,則“函數(shù),在,上是減函數(shù) ”,是“函數(shù),在,A充分不必要條件B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必要條件,上是增函數(shù)”的（）,【解析】若函數(shù),在R上為減函數(shù),則有,函數(shù),為增函數(shù),則有,所以“函數(shù),在R上為減函數(shù)”是“函數(shù),為增
3、函數(shù)”的充分不必要條件,選A.,,6 （2012年高考（湖北理））已知二次函數(shù),的圖象如圖所示,則它與x,A,B,C,D,軸所圍圖形的面積為（）,解析:根據(jù)圖像可得:,,再由定積分的幾何意義,可求得面積為,.,【解析】,故,,答案C,7（2012年高考（福建理））如圖,在邊長為1的正方形 OABC中任取一點P,則P恰好取自陰影部分的概率為,A,B,C,D,（）,8（2012年高考（大綱理））已知函數(shù),的圖像與,軸恰有兩個公共點,則c=( ),A,或2B,或3C,或1D,或1,答案A,【解析】因為三次函數(shù)的圖像與x,結(jié)合該函數(shù)的圖像,可得極大值或者極小值為零即可 而,,當,由,或,可得,或,,即
4、,軸恰有兩個公共點,,時取得極值,,,,,9 （2012年高考（上海理））已知函數(shù),的圖像是折線段ABC,若中A(0,0),B(,,5),C(1,0).函數(shù),的圖像與x軸圍成的圖形的面積為___.,解析如圖1,,所以,,易知,y=xf(x)的解析式中的兩部分拋物線形狀完全相同, 只是開口方向及頂點位置不同,如圖2,封閉圖形MNO與 OMP全等,面積相等,故所求面積即為矩形ODMP的面積 S=,. 評注對于曲邊圖形,上?，F(xiàn)行教材中不出微積分, 能用微積分求此面積的考生恐是極少的, 而對于極大部分考生,等積變換是唯一的出路.,10（2012年高考（山東理））設,.若曲線,與直線,所圍成封閉圖形的面
5、積為,則a=______,【解析】由已知得,所以,【解析】本題考查三角函數(shù)定積分的應用.,.,11（2012年高考（江西理））計算定積分,___________.,12（2012年高考（廣東理））曲線,在點,處的切線方程為___________________.,解析:,所以切線方程為,即,13（2012年高考（天津理））已知函數(shù),的最小值為0,,其中,()求,()若對任意的,,有,成立,求實數(shù)k,()證明,a的值;,的最小值;,13. 【命題意圖】本試題主要考查導數(shù)的運算、 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎知識, 考查函數(shù)思想、分類討論思想、考查綜合分析和 解決問題的能力. (1),的
6、定義域為,,,得：,時，,（2）設,則,在,上恒成立,（*）,,當,時，,當,時，,得：實數(shù),的最小值為,與（*）矛盾,符合（*）,（3）由（2）得：,對任意的,取,當,時，,得：,當,時，,得：,,恒成立,14（2012年高考（新課標理））已知函數(shù),滿足,(1)求,的解析式及單調(diào)區(qū)間;,,求,的最大值.,(2)若,【解】（1）,令,得：,,得：,,在,R上單調(diào)遞增,得：,的解析式為,且單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,（2）,得,當,時，,在R上單調(diào)遞增,時，,與,當,時，,得：當,時，,,令,；則,,當,時，,當,時，,的最大值為,矛盾,15（2012年高考（浙江理））已知a0,b,R,函數(shù)
7、,. ()證明:當0 x1時, ()函數(shù),的最大值為|2a-b|a;,+|2a-b|a0;,1對x,0,1恒成立,求a+b的取值范圍.,(),() 若1,【解析】 (),當b0時,,0在0 x1上恒成立,,的最大值為:,當b0時,,在0 x1上的正負性不能判斷, 此時,的最大值為:,=|2a-b|a; 綜上所述:函數(shù),在0 x1上的最大值為|2a-b|a;,=|2a-b|a;,()要證,+|2a-b|a0即證,=,亦即證,的最大值小于(或等于)|2a-b|a,,令,當b0時,,<0在0 x1上恒成立,,的最大值為:,當b<0時,,在0 x1上正負性不能判斷,,,|2a-b|a.,,此時,=|2
8、a-b|a;,|2a-b|a;,綜上所述:,+|2a-b|a0在0 x1上恒成立.,()由()知:,且函數(shù),1,1對x,|2a-b|a1. 取b為縱軸,a為橫軸. 則可行域為:,和,,目標函數(shù)為z=a+b. 作圖如下: 由圖易得:當目標函數(shù)為z=a+b過P(1,2)時,有,所求a+b的取值范圍為:,.,在0 x1上的最大值為|2a-b|a,,在0 x1上的最小值比(|2a-b|a)要大.,0,1恒成立,,16（2012年高考（重慶理））設,其中,,曲線,在點,處的切線垂直于,() 求,() 求函數(shù),的極值.,軸.,a的值;,解:(1)因,故,得,(2)由(1)知,令,,解得,當,時,,,故,在
9、,上為減函數(shù);,時,,,故,在,故,在,處取得極小值,(舍去),,上為增函數(shù);,17（2012年高考（陜西理））設函數(shù),(1)設,,,證明:,在區(qū)間,(2)設,,若對任意,,,有,求,(3)在(1)的條件下,設,是,在,判斷數(shù)列,的增減性.,內(nèi)存在唯一的零點;,b的取值范圍;,內(nèi)的零點,,解析:(1),時,,,,在,又當,時,,,在,上是單調(diào)遞增的,,在,內(nèi)存在唯一零點.,內(nèi)存在零點.,,(2)當,時,,對任意,都有,等價于,在,上最大值與最小值之差,()當,,即,時,,()當,,即,時,,()當,,即,時,,綜上可知,,與題設矛盾,恒成立,恒成立.,(3) 設,是,在,內(nèi)的唯一零點,,于是有
10、,又由(1)知,在,上是遞增的,故,所以,數(shù)列,是遞增數(shù)列.,18（2012年高考（山東理））已知函數(shù),(,為常數(shù),),曲線,在點,處的切線與,()求,()求,()設,,其中,為,證明:對任意,軸平行.,的值;,的單調(diào)區(qū)間;,的導函數(shù).,解析:(1)由f(x) =,可得,,而,,即,,解得,(),,,令,可得,當,時,,當,時,,于是,在區(qū)間,內(nèi)為增函數(shù);在,內(nèi)為減函數(shù).,(),(1)當,時,,(2)當,時,要證,只需證,設函數(shù),即可,則,則當,時,令,解得,當,時,;當,時,則當,時,且,則,,于是可知當,時,綜合(1)(2)可知對任意x0,,恒成立.,設函數(shù),另證2:根據(jù)重要不等式當,時,
11、即,于是不等式,設,令,解得,當,時,;當,時,則當,時,于是可知當,時,成立.,19（2012年高考（遼寧理））設,曲線,與直線,()求,()證明:當,時,,.,在(0,0)點相切.,的值.,20（2012年高考（江蘇））,已知,是實數(shù),1和,是函數(shù),的兩個極值點. (1)求,a和b,(2)設函數(shù),的導函數(shù),,求,(3)設,,其中,,求函數(shù),的零點個數(shù).,的值;,的極值點;,解:(1)由,,得,1和-1,是函數(shù),,解得,(2) 由(1)得,,,解得,當,時,,;當,時,,,是,當,或,時,,,不是,,的極值點是-2.,的兩個極值點,,的極值點.,的極值點.,(3)令,,則,討論關于,的方程,
12、根的情況:,當,時,由(2 )可知,,的兩個不同的根為1和一2 ,注意到,是奇函數(shù),,的兩個不同的根為-1和2.,時,,一2 , -1,1 ,2 都不是,由(1)知,.,當,的根., 當,時,,是增函數(shù),,此時,在, 當,時.,又,,在(1 , 2 )內(nèi)有唯一實根., 當,時,,又,,因此,當,時,,有兩個不同的根,滿足,;當,時,有三個不同的根,滿足,無實根.,是單調(diào)增函數(shù).,的圖象不間斷,,同理,,在(一2 ,-1 )內(nèi)有唯一實根.,是減兩數(shù).,的圖象不間斷,,在(一1,1 )內(nèi)有唯一實根.,現(xiàn)考慮函數(shù),( i )當,時,,有兩個根,滿足,而,有三個不同的根,,有兩個不同的根,故,( 11
13、 )當,時,,有三個不同的根,滿足,而,有三個不同的根,故,綜上所述,當,時,函數(shù),有5 個零點;當,時,函數(shù),有9個零點.,的零點:,有5 個零點.,有9 個零點.,21（2012年高考（湖南理））已知函數(shù),其中a0. (1)若對一切xR,,f(x)1恒成立,求a的取值集合.,的圖像上取定兩點,,,記直線AB斜率為K,問:是否存在x0(x1,x2),使,成立?若存在,求,的取值范圍;若不存在,,(2)在函數(shù),請說明理由.,【解析】()若,,則對一切,,,,這與題設矛盾,又,, 故,而,令,當,時,,單調(diào)遞減;,時,,單調(diào)遞增,,最小值為,對一切,恒成立,當且僅當,,當,令,則,當,時,,單調(diào)
14、遞增;,時,,單調(diào)遞減.,時,,取最大值,當,故當,()由題意知,,令,則,,令,,則,當,時,,單調(diào)遞減;,時,,單調(diào)遞增.,當,.因此,當且僅當,即,綜上所述,,的取值集合為,時,式成立.,故當,即,從而,又,所以,因為函數(shù),在區(qū)間,上連續(xù),所以存在,使,,單調(diào)遞增,故這樣的,是唯一的,且,,.故當且僅當,時,,綜上所述,存在,使,成立.且,的取值范圍為,,.,22（2012年高考（湖北理））()已知函數(shù),,其中,為有理數(shù),且,. 求,()試用()的結(jié)果證明如下命題: 設,為正有理數(shù). 若,,則,()請將()中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學歸納 法證明你所推廣的命題. 注:當,為正有理數(shù)
15、時,有求導公式,.,的最小值;,解析:(),,令,,解得,當,時,,,所以,在,當,時,,,所以,在,故函數(shù),在,處取得最小值,內(nèi)是減函數(shù);,內(nèi)是增函數(shù).,()由()知,當,時,有,即,若,,,中有一個為0,則,若,均不為0,又,,可得,于是在中令,,可得,亦即,綜上,對,,,,,為正有理數(shù)且,總有,. ,,,,()()中命題的推廣形式為: 設,為非負實數(shù),,若,,則,用數(shù)學歸納法證明如下: (1)當,時,,,有,(2)假設當,時,成立,即若,為非負實數(shù),,為正有理數(shù), 且,,則,.,為正有理數(shù).,,,成立.,當,時,已知,為非負實數(shù),,為正有理數(shù), 且,此時,,,,于是,=,因,,由歸納假設
16、可得,,從而,又因,,由得,,從而,故當,由(1)(2)可知,對一切正整數(shù),,所推廣的命題成立.,時,成立.,23（2012年高考（廣東理））設,,,()求集合,()求函數(shù),在,內(nèi)的極值點.,(用區(qū)間表示);,解析:()考慮不等式,因為,,且,當,時,,,此時,當,時,,,此時,當,時,,,此時,有兩根,設為,、,,且,,則,,,于是,的解.,當,時,,,,所以,,此時,當,時,,,所以,,,此時,綜上所述,當,時,,當,時,,當,時,,當,時,,.其中,,,.,(),,令,可得,.因為,,所以,有兩根,和,且,.當,時,,,此時,在,內(nèi)有兩根,和,,列表可得,所以,在,內(nèi)有極大值點1,極小值
17、點,,,,,,,,,,當,時,,此時,在,內(nèi)只有一根,列表可得,所以,在,內(nèi)只有極小值點,,沒有極大值點.,,,,,,,,,當,時,,,此時,于是,在,內(nèi)只有一根,,列表可得,,所以,在,內(nèi)只有極小值點,,沒有極大值點.,,,,,,,,,當,時,,,此時,,于是,在,內(nèi)恒大于0,,在,綜上所述,時,,在,內(nèi)有極大值點1,,當,時,,在,內(nèi)只有極小值點,沒有極大值點.,時,,在,內(nèi)沒有極值點.,內(nèi)沒有極值點.,極小值點,當,當,24（2012年高考（福建理））已知,()若曲線,在點,處的切線平行于,求函數(shù),()試確定,的取值范圍,使得曲線,上存在唯一,,曲線在該點處切線與曲線只有一個公共點,.,
18、軸,,的單調(diào)區(qū)間;,的點,解:(1),故,,時,,,,時,,所以函數(shù),的增區(qū)間為,,減區(qū)間為,(2)設切點,,則切線,令,因為只有一個切點,所以函數(shù),只有一個零點,,,因為,,若,,因此有唯一零點,由,的任意性知,若,,令,,則,,,存在一個零點,使曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點.故,的取值范圍為,不合題意,25（2012北京）已知,(,),,(1)若曲線,與曲線,在它們的交點(1,c),處具有公共切線,求,(2)當,時,求函數(shù),的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間,上的最大值.,的值;,解:(1)由,為公共切點可得:,,則,,則,,又,,即,代入式可得:,,(2),,設,則,,令,,得:,,,原
19、函數(shù)在,單調(diào)遞增,在,單調(diào)遞減,在,若,,即,時,最大值為,若,,即,時,最大值為,若,時,即,時,最大值為,綜上所述:當,時,最大值為,當,時,最大值為,.,上單調(diào)遞增,26（2012年高考（安徽理））(本小題滿分13分)設,(I)求,在,(II)設曲線,在點,的切線方程為,;求,的值.,上的最小值;,【解析】(I)設,;則,當,時,,在,得:當,時,,的最小值為,當,時,,當且僅當,時,,的最小值為,,上是增函數(shù),(II),由題意得:,27( 2012新課標)設函數(shù)f(x)= exax2 ()求f(x)的單調(diào)區(qū)間 ()若a=1，k為整數(shù)，且當x0時，(xk)f(x)+x+10， 求k的最
20、大值,30設函數(shù),，,（）若,，求函數(shù),在,（）若函數(shù),在,試求實數(shù),的取值范圍；,上的最小值；,上存在單調(diào)遞增區(qū)間，,（）,的定義域為,因為,所以,在,所以,在,上的最小值為,上是增函數(shù)，,解析：,31設函數(shù),，,（）若,，求函數(shù),在,（）若函數(shù),在,試求實數(shù),的取值范圍；,上的最小值；,上存在單調(diào)遞增區(qū)間，,（）解法一：,依題意得，在區(qū)間,上存在子區(qū)間使不等式,又因為,，所以,設,，所以,小于,在區(qū)間,又因為,成立.,的最大值.,由,解得,由,解得,所以,在區(qū)間,上遞增，在區(qū)間,上遞減.,所以函數(shù),在,或,又,，,，所以,，,所以實數(shù),的取值范圍是,處取得最大值.,,),解法二：,設,依題
21、意，在區(qū)間,上存在子區(qū)間使得不等式,注意到拋物線,開口向上，,，或,由,，即,，得,由,，即,，得,所以,成立.,所以只要,即可.,解:,32,33,,,,,,,,,0,1,2,,34已知函數(shù),其中a為大于零的常數(shù) （1）若函數(shù),在,（2）求函數(shù),在區(qū)間,（3）求證：對于任意的,且,時，都有,成立,上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；,上的最小值；,解：,（1）由已知，得,上恒成立，,上恒成立,又,（2）當,時，,在（1，2）上恒成立，,在1，2上為增函數(shù)，,.,當 時,在（1，2）上恒成立，,在1，2上為減函數(shù),當,時，令,,綜上，,在1，2上的最小值為:,當,時，,當,當,35（200
22、9浙江）已知,若,在區(qū)間,上不單調(diào)，求,的取值范圍；,解析：,因,在區(qū)間,上不單調(diào)，所以,在,上有實數(shù)解,且無重根，由,得,令,有,記,則,在,上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增，所以有,而當,時有,在,上有兩個相等的實根x=1,，故舍去，所以,36.（2009浙江）已知,,（I）若函數(shù),的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是,，求,（II）若,在區(qū)間,上不單調(diào)，求,的值；,的取值范圍,又,，解得,或,（）函數(shù),在區(qū)間,不單調(diào)，等價于導函數(shù),在,0的實數(shù),函數(shù),在,上存在零點但不是重根，,即：,整理得：,解得,,解（）由題意得,既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于,（1）根據(jù)零點存在定理，由,解得,,（2
23、）,,綜上,37已知函數(shù),，曲線,在點,處的切線方程為,（I）求a，b的值； （II）證明：當x0，且,時，,,（）,由于直線,的斜率為,且過點,，故,即,解得,，,。,（）由（）知,所以,考慮函數(shù),,則,所以當,時，,故當,時，,當,時，,從而當,38(2011)已知函數(shù),，曲線,在點,處的切線方程為,（）求a.b,（）如果當,，且,時，,求,的取值范圍。,的值；,解析：（）,由于直線,的斜率為,，且過點,，故,即,解得,，,（）由（）知f(x)=,。 考慮函數(shù),,，則,。,(i)設,，由,知，當,時，,，h(x)遞減。而,故當,時，,，可得,當x,（1，+,）時，h（x）<0，可得,從而當
24、x0,且x,1時，,+,）0，即f（x）,h（x）0,f（x）-（,+,,（ii）設0
25、知函數(shù),（1）若函數(shù),是,上的增函數(shù)，求,（2）若對任意的,，都有,最大整數(shù),（3）證明：,。,k的取值范圍；,，求滿足條件的,k的值；,,解：（1）設,因為,是,上的增函數(shù)，且,所以,是,上的增函數(shù)，所以,；所以,的取值范圍為,所以,（2）由條件得到,對任意的,，都有,41已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+ax(aR) (1)若a=-1時，證明函數(shù)f(x)只有一個零點； (2)若f(x)在區(qū)間(1,+) 上是減函數(shù)，求a的取值范圍；,(2)f(x)在區(qū)間(1,+) 上是減函數(shù),42已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x2-x) (1)若a=-1時，求f(x)的極值； (2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)
26、間，求a的取值范圍；,【分析】利用f (x)=0求出極值點，通過列表確定極大值或極小值；函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的存在，則為f (x)0有解,所以x=1時，f(x)極大值=0，無極小值,【點評】各種數(shù)學思想如函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，等價轉(zhuǎn)換的思想等都利用二次函數(shù)作為載體，導數(shù)在解決函數(shù)的有關性質(zhì)問題時，最終也是利用二次函數(shù)為載體來解決問題,43,45.(2009啟東模擬)已知函數(shù) (aR). (1)若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b，求a、 b的值； （2）若函數(shù)f(x)在（1，+）上為增函數(shù)，求a的 取值范圍； （3）討論方程f(x)=0解的個數(shù)，并說明理由.
27、解 (1)因為 所以 又因為f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b，所以 所以,(2)若函數(shù)f(x)在（1，+）上為增函數(shù)，則 在（1，+）上恒成立，即ax2 在（1，+）上恒成立.所以a1. （3）當a=0時，f(x)在定義域（0，+）上恒大于0， 此時方程無解； 當a0時，,因為當x(0, )時，f(x)0，f(x)在 ,+） 內(nèi)為增函數(shù). 所以當x= 時，f(x)有極小值，即為最小值 當a(0,e)時， 此時方程f(x)=0無解； 當a=e時， .此時方程有唯一 解x= ； 當a(e,+)時，,因為 且11時，
28、(x-lnx)0，所以當x1時，x- lnx1.則xlnx， 因為2a 1，所以 所以方程f(x)=0在區(qū)間 ,+）上有唯一解. 即方程f(x)=0在區(qū)間（0,+）上有兩個解. 綜上所述，當a0,e)時，方程無解；當ae時，方程有兩個解.,返回,46.已知函數(shù) (x0),其中a,bR. (1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為 y=3x+1,求函數(shù)f(x)的解析式; (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (3)若對于任意的 不等式f(x)10在 上恒成立,求b的取值范圍. 解 （1） 由導數(shù)的幾何意義得 f(2)=3,于是a=-8. 由切點P（2，f（2））在
29、直線y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9.,所以函數(shù)f(x)的解析式為 （2） 當a0時，顯然f(x)0 (x0).這時f(x)在 （-,0）,(0,+)內(nèi)是增函數(shù). 當a0時，令f(x)=0，解得x= . 當x變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表：,,,,,所以f(x)在（-, ）,( ,+)內(nèi)是增函數(shù)， 在（- ,0）,(0, )內(nèi)是減函數(shù). 綜上所述，當a0時,f(x)在（-,0）,（0,+） 內(nèi)是增函數(shù) 當a0時，f(x)在（-,- ），（ ,+）內(nèi)是增 函數(shù)，在（- ,0），(0, )內(nèi)是減函數(shù). （3）由（2）知，f（x）在 的最大值為 與f(1)中的較大者，對于
30、任意的 不等式 f(x)10在 上恒成立，當且僅當,47(2010安徽)設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； (2)求證：當aln 21且x0時，exx22ax1. 解析：(1)由f(x)ex2x2a，xR知 f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln 2. 于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)， 單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)， 極小值f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a) (2)設g(x)exx22ax1，xR. 于是g(x)ex2x2a，xR.,由(1)知
31、當aln 21時，g(x)最小值為 g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是對任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當aln 21時，對任意x(0，)， 都有g(x)g(0) 而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.,49,50已知函數(shù)f(x)=,（1）若f(x),在1，）上為單調(diào)函數(shù),，若在1，e上至少存在一個,使得f(x0)h(x0),成立，求,m的取值范圍,，mR,求m的取值范圍；,（2）設,（1）f(x)=,,,f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，,或者,在1，）恒成立,等價于,即,而,，（,）max=1，,,,等價于,即,在1，）恒成立，,（0，1，,綜上，m的取值范圍是,（2）構(gòu)造,當,時，,，,在1，e上不存在一個,，使得,返回,52已知函數(shù),，,（）討論函數(shù),（）設函數(shù),在區(qū)間,內(nèi)是減函數(shù)，求a,解：（1）,求導：,當,時，,在,上遞增,的單調(diào)區(qū)間；,的取值范圍,當a23時, 0,求得兩根為,即,在,遞增，,遞減，,,遞增,（2）,，且,解得：,,,或,,,,,,2 3,,,1 3,,,y,x,0,
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