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圓錐曲線的幾何性質(zhì) x y o F11 F2 A B 一、橢圓的幾何性質(zhì)（以+=1（a﹥b﹥0）為例） 1、⊿ABF2的周長為4a(定值) 證明：由橢圓的定義 即 2、焦點⊿PF1F2中： x y o F1 F22 P （1）S⊿PF1F2= （2）（S⊿PF1F2）max= bc （3）當(dāng)P在短軸上時，∠F1PF2最大 證明：（1）在中 ∵ ∴ ∴ ∴ （2）（S⊿PF1F2）max = （3 x y o F1 F2 P M 當(dāng)=0時 有最小值 即∠F1PF2最大 3、 過點F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分線的垂線，垂足為M ， 則M 的軌跡是x2+y2=a2 證明：延長交于，連接 由已知有 為中點 ∴ == 所以M的軌跡方程為 x y o F1 F2 P 4、以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切 證明：取的中點，連接。令圓的直徑，半徑為 ∵ = ∴ 圓與圓內(nèi)切 ∴ 以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內(nèi)切 x y o F1 F2 P III R 5、任一焦點⊿PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I，連結(jié)PI延長交長軸于R， 則 ∣IR∣：∣IP∣=e 證明：證明：連接由三角形內(nèi)角角平分線性質(zhì)有 ∵ ∴ y x o F1 F2 A B 6、以任一焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)準線相離。 證明：令到準線的距離為 以為直徑的圓的圓心為到準線的距離為。 ∵ ∵ ∵ ∴ ∴以任一焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)準線相離 7、A為橢圓內(nèi)一定點，P在橢圓上，則： （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ x y o F1 F2 P P A· 證明：連接 ∵ ∵ ∴ ∴ （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ x y o F A· 8、A 為橢圓內(nèi)一定點，P是橢圓上的動點，則 （∣PA∣+）min = A到右準線的距離 證明：設(shè)到右準線的距離d,由橢圓的第二定義有 ∴（∣PA∣+）min = = A到右準線的距離. 9、焦點⊿PF1F2的旁心在直線 x=±a 上。 證明：令☉I與⊿PF1F2三邊所在的直線相切于M、N、A x y o F1 F2 P NII A2 I M ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即為橢圓頂點。 ∴ 焦點⊿PF1F2的旁心在直線 x=±a 上 10、P是橢圓上任意一點，PF2的延長線交右準線于E，K是準線 上另一任意點，連結(jié)PK交橢圓于Q，則KF2平分∠EF2Q x y o F1 F2 E K Q P 證明：令P,Q到準線的距離為 由三角形外角平分線性質(zhì)定理有KF2平分∠EF2Q x y o F B A 11、 證明：令 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線方程為 ∵ ∴ ∴ = 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r， ∴ x y o F B A P 12、AB是橢圓的任意一弦，P是AB中點， 則（定值） 證明：令 ， 則 ∵ ∵ ， ∴ ∴ 13、橢圓的短軸端點為B1、B2，P是橢圓上任一點，連結(jié)B1P、B2P分別 交長軸于N、M兩點，則有∣OM∣*∣ON∣ =a2 證明： x y o N M B2 P B1 ∴ ∵ 由于、、共線 ∴ ∵ 由于、、N共線 ∴ ∴ ∵ ∴ x y o F N A2 P A1 M 14、橢圓的長軸端點為A1、A 2，P是橢圓上任一點， 連結(jié)A1P、A2P并延長，交一準線于N、M兩點， 則M、N與對應(yīng)準線的焦點張角為900 證明：令， ∴ ∵ 由于、、共線 ∴ ∵ 由于共線 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ M、N與對應(yīng)準線的焦點張角為900 y x o M1 F2 A B 15、過橢圓準線上任一點作橢圓和切線，切點弦AB過 該準線對應(yīng)的焦點。 證明：設(shè) 則的方程為 即 必過點 16、橢圓的光學(xué)性質(zhì)：過一焦點的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點。 證明：設(shè)，則過點的切線：，直線的法線交軸于 直線的法向量為： y x o F1 F2 P l m ∵ ∴ 同理 ∵ 同理 ∴ ∴ 即過一焦點的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點。 （1） ?F1 ?F2 P 二、雙曲線的幾何性質(zhì)（均以 為例：） （1）焦點三角形面積： ?F1 ?F2 P M x y （2） (2)、過作∠F1PF2的內(nèi)角平行線的重線垂足M的軌跡是 F1 F2 P y x (3) (3)、以焦半徑為直徑作圓長的焦半徑為直徑作圓與內(nèi)切，小的圓與外切。 F1 F2 A y x (4) B (4)、以焦點為直徑作圓與該焦點對應(yīng)準線相交 F1 F2 P y x (5) I (5)、焦點⊿PF1F2的內(nèi)切圓心橫生標為±a即與實軸的切點一定是實軸端點 （6）焦點弦為直徑的圓被相應(yīng)準線截得圓弧所對的圓心角為定值∠MCN＝2arccos F1 F2 B y x (6) C A M N F1 F2 P y x (7) A (7)、A為雙曲線內(nèi)一定點P為雙曲線上動點=+＝－2a F1 F2 P y x (8) A B (8)、如圖：A為雙曲線內(nèi)一定點，P是雙曲線上的動點，＋等于A到右準線的距離 F1 F2 P y x (9) （9）、焦點到漸近線的距離等于b F1 F2 P y x (10) A B (10)、雙曲線上的任上點到兩漸近線的距離之積等于定值 F1 F2 P y x (11) A B O （11）、P是弦AB中點K．K＝定值 （12）、P為雙線上任一點過P點作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值ab F1 F2 P y x (12) M O N y ?F1 ?F2 P M x （13） 1 2 (13)、過P的切線平分∠F1PF2（光學(xué)性質(zhì)）即經(jīng)過一焦點的光線被雙曲線反射，反射光線的下長線過另一焦點 F1 F2 ② y x (14) ① ③ ① ② ③ （14）雙曲線與漸近線把平面分成5部分 雙曲線上的點 漸近線上的點 區(qū)域①的點 區(qū)域②的點 區(qū)域③的點 過漸近線上的點（除中心）只能作一條切線，過中心無切線，沒有與兩支都相切的切線過區(qū)域①的點作切線分別在兩支上，過區(qū)域③的點作切線切點在同一支上，過區(qū)域②的點沒切線，雙曲線的切線斜率，區(qū)域①、②的點可作弦的中點，中心是任意過中心的弦的中點，漸近線上（除中心），雙曲線上，區(qū)域③的點不可能是弦中點 F1 F2 y x (15) A B D C （15）直線L與雙曲線的漸近線交于A、B兩點，與雙曲線交于C、D兩點，則AC=BD 三、拋物線的幾何性質(zhì) 均以拋物線 X=-P/2 F y x A P (1) 如圖：A為拋物線內(nèi)一定點，P是拋物線上的動點，＋等于A到準線的距離 (2) 過拋物線焦點F作弦AB，其中A（x1,y1）,B（x2,y2）則有： ① X=-P/2 F y x A B ② ③ ④ ⑤ ⑥以AB為直徑的圓與準線相切 （3）過拋物線頂點作任意互相垂直的弦OA、OB，則弦AB必過定點（2p,0）；反之亦成立，即過定點（2p,0）作直線交拋物線于A、B兩點，則有OA垂直O(jiān)B y x A B F y x P Q R （4）過拋物線焦點F作直線交拋物線于P、Q兩點，弦PQ的垂直平分線交拋物線的對稱軸于R，則 （5）過拋物線H上任一點P（X0,Y0）的切線方程為 14