《電磁場(chǎng)與電磁波》第2章電磁學(xué)基本理論.ppt
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1、一、場(chǎng)量的定義和計(jì)算,(一) 電場(chǎng),(二) 電位,(三) 磁場(chǎng),(四) 矢量磁位,二、麥克斯韋方程組的建立,(一) 安培環(huán)路定律,(二) 法拉第電磁感應(yīng)定律,(三) 電場(chǎng)的高斯定律,(四) 磁場(chǎng)的高斯定律,(五) 電流連續(xù)性方程,第2章 電磁學(xué)基本理論,三、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式,一、場(chǎng)量的定義和計(jì)算,(一) 電場(chǎng),1. 什么是電場(chǎng)?,這種存在于電荷周?chē)軐?duì)其他電荷產(chǎn)生作用力的特殊的物質(zhì)稱(chēng)為電場(chǎng)??梢?jiàn)電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。,2. 電場(chǎng)強(qiáng)度的定義,單位正電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)受到的作用力稱(chēng)為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。,電場(chǎng)強(qiáng)度嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:,在此要求實(shí)驗(yàn)電荷足夠小,以使該電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)不致使原
2、電場(chǎng)發(fā)生畸變。,,,3. 庫(kù)侖定律,其中: 為真空中介電常數(shù)。,4. 電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算,其中: 是源電荷指向場(chǎng)點(diǎn)的方向。,(1) 點(diǎn)電荷周?chē)妶?chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式:,例1:在直角坐標(biāo)系中,設(shè)一點(diǎn)電荷q 位于點(diǎn) , 計(jì)算空間點(diǎn) 的電場(chǎng)強(qiáng)度。,,,,,,解:如圖,點(diǎn)的坐標(biāo)矢量為:,點(diǎn)的坐標(biāo)矢量為:,點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式,其中:,所以:,,,結(jié)論:,在直角坐標(biāo)系中,若源電荷 所在點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,場(chǎng)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 ,則P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為:,多個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),如果有多個(gè)點(diǎn)電荷源,場(chǎng)域中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)該是所有點(diǎn)電荷在該場(chǎng)中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。,(2) 連續(xù)分布的電荷源產(chǎn)生的電場(chǎng)
3、,a.線電荷分布:電荷沿某一曲線連續(xù)分布 。,線電荷密度定義:,單位長(zhǎng)度上的電荷量。,,,,上所帶的電荷量:,,產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為:,,該線電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度:,,,,,,,b.面電荷分布:電荷沿空間曲面連續(xù)分布。,面電荷密度定義:,單位面積上的電荷量。,上所帶的電荷量:,產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為:,該面電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度:,c.體電荷分布: 電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布 。,體電荷密度定義:,單位體積內(nèi)的電荷量。,上所帶的電荷量:,產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為:,,,該體電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度:,,解:根據(jù)題意,選取圓柱坐標(biāo)系,,面元:,面元上的電荷量為:,從此電荷源到 z 軸上 P 點(diǎn)的距離矢量為:
4、,距離大小為:,,根據(jù)面分布電荷在空間一點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度公式:,,例2:設(shè)有一無(wú)限大的均勻帶電平面,面電荷密度為 。 求:距平面h高處的電場(chǎng)強(qiáng)度 。,由于電荷分布的對(duì)稱(chēng)性,對(duì)每一個(gè)面元 ,將有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面元 與之對(duì)應(yīng),這兩個(gè)面元上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消,因此P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的徑向分量為零。,可見(jiàn):無(wú)限大均勻帶電平面產(chǎn)生的電場(chǎng)是均勻的,與距離 h無(wú)關(guān),方向?yàn)樵撈矫娴姆ň€方向。,(二)電位,電荷 在電場(chǎng)中受力為:,,,,,,電荷在靜電場(chǎng)中由P點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn),外力所做的功為:,電位差定義: 單位正電荷由P點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn),外力所做的功稱(chēng)為A點(diǎn)和P點(diǎn)之間的電位差。,,1. 電位
5、差,,電荷 在電場(chǎng)中要保持靜止, 需受外力作用為:,結(jié)論: 空間兩點(diǎn)的電位差只 與兩點(diǎn)所在位置有關(guān), 而與積分路徑無(wú)關(guān)。,例3:計(jì)算原點(diǎn)處一點(diǎn)電荷q 產(chǎn)生的電場(chǎng)中AP之間的電位差。,解:選取求坐標(biāo)系,點(diǎn)電荷q 產(chǎn)生的電場(chǎng),所以:,(1)電位定義: 定義無(wú)窮遠(yuǎn)處為0電位, 外力將單位正電荷是由無(wú)窮遠(yuǎn)處移到A點(diǎn),則A點(diǎn)和 無(wú)窮遠(yuǎn)處的電位差稱(chēng)為A點(diǎn)的電位。,2. 電位,以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電位參考點(diǎn)。 為電荷源到A點(diǎn)的距離。,(2)電位計(jì)算:,a.點(diǎn)電荷的電位計(jì)算:,多個(gè)點(diǎn)電荷的電位計(jì)算:,其中: 為第i個(gè)電荷源到A點(diǎn)的距離。,b.連續(xù)分布的電荷源的電位計(jì)算,線電荷分布:,面電荷分布:,體
6、電荷分布:,,3. 電場(chǎng)強(qiáng)度 與電位 之間的關(guān)系,例4: 有一對(duì)等量異號(hào)相距很近的電荷構(gòu)成電偶極子,如圖, 求:遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)P點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度 。,解:取球坐標(biāo)系, P點(diǎn)的電位,因?yàn)椋?則:,電場(chǎng)強(qiáng)度:,,,,,(三) 磁場(chǎng),產(chǎn)生磁場(chǎng)的源: a.永久磁鐵 b.變化的電場(chǎng) c.電流周?chē)?,即運(yùn)動(dòng)的電荷,1. 什么是磁場(chǎng)?,存在于載流回路或永久磁鐵周?chē)臻g,能對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷施力的特殊物質(zhì)稱(chēng)為磁場(chǎng)。,,,,可見(jiàn): 磁場(chǎng)力 、運(yùn)動(dòng)速度 和磁感應(yīng)強(qiáng)度 三者相互垂 直,且滿(mǎn)足右手螺旋法則。,2. 磁感應(yīng)強(qiáng)度 的定義,,,,,電流元,,,,,,,,電流元 在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:,該式稱(chēng)為畢奧薩
7、伐爾定律。,,安培力實(shí)驗(yàn)定律:,3. 磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算,其中: 為真空磁導(dǎo)率。,,得到:,,比較,例5:求如圖所示的電流線 I 在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,,,解:取圓柱坐標(biāo)系,將電流線分成 三段分別求這三段電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,,a.閉合電流回路在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度:,特斯拉(T),(1) 段在O點(diǎn)產(chǎn)生的,,(2) 段在O點(diǎn)產(chǎn)生的,,(3) 段在O點(diǎn)產(chǎn)生的,,O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度:,,,,,,,,例6:求長(zhǎng)為l ,載有電流 I 的細(xì)直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,解:如圖所示,選用圓柱坐標(biāo)系,,式中:,,所以:,,式中:,于是得:,有限長(zhǎng)度電流線磁感應(yīng)強(qiáng)度:,無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線
8、周?chē)鸥袘?yīng)強(qiáng)度:,即:,,,,,b. 面電流情況: 電流在某一曲面上流動(dòng)。,,面電流密度:,定義為在與電流線垂直的方向上單位長(zhǎng)度流過(guò)的電流。,,上流過(guò)的電流量:,產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:,整個(gè)面電流產(chǎn)生的磁場(chǎng):,,(A/m),解:如圖,選用直角坐標(biāo)系,,,上流過(guò)的電流為,,,,,,,,,例7:設(shè)一面電流密度為 的無(wú)限大均勻?qū)Я髅?,求:距該? 面h高處的磁感應(yīng)強(qiáng)度?,,,,與 對(duì)稱(chēng)的取線元,其中:,,該面電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度:,無(wú)限大均勻?qū)Я髅鎯蓚?cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度:,c. 體電流情況: 電流在某一體積內(nèi)流動(dòng)。,體電流密度:,定義為在與電流線垂直的方向上平面內(nèi)單位面積流過(guò)的電流。,,上流過(guò)的電
9、流量:,產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:,整個(gè)體電流產(chǎn)生的磁場(chǎng):,,,(A/m2),(四) 矢量磁位,1. 磁通量,磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)一個(gè)曲面的面積分稱(chēng)為穿過(guò)該曲面的磁通量。,,若曲面閉合:,,磁感應(yīng)強(qiáng)度:,根據(jù)梯度規(guī)則:,,則有:,,根據(jù)高斯定律:,,,,,,,利用矢量恒等式:,,,,已知:,,和,,結(jié)論: 穿過(guò)空間任意閉合曲面的磁通量恒為零。這就是磁通連續(xù)性原理。它說(shuō)明磁感線是連續(xù)的閉合矢線,磁場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)。,,,,,,,,2. 矢量磁位的引入,根據(jù)矢量恒等式:,引入矢量 ,令 則:,該矢量 稱(chēng)為矢量磁位,單位為韋伯/米(Wb/m)。,3. 矢量磁位的計(jì)算,規(guī)范條件:,,對(duì)線電流的情況:,,,,已知
10、:,,,,,,a.線電流矢量磁位計(jì)算,,,利用矢量恒等式:,則:,,,矢量磁位:,該式為線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)中的矢量磁位計(jì)算公式。,,,,,,為零!,,b.面電流矢量磁位計(jì)算,,面電流密度:,(A/m),矢量磁位:,c.體電流矢量磁位計(jì)算,體電流密度:,矢量磁位:,(A/m2),例8:試求電流為I, 半徑為a 的小圓環(huán)在遠(yuǎn)離圓環(huán)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,解:先求 再求 ,選用球坐標(biāo)系,,,,,已知:,,,,,,,,,,,,,在直角坐標(biāo)系中,所以:,,,,如圖:,其中:,可得:,,,,當(dāng):,,將:,,,,得:,式中 為圓環(huán)的面積。,小電流環(huán)的磁矩:,因?yàn)? ,最后得:,二.麥克斯韋方程組的建立,(
11、一)安培環(huán)路定律麥克斯韋第一方程,,,,(二) 法拉第電磁感應(yīng)定律麥克斯韋第二方程,(三)電場(chǎng)的高斯定律麥克斯韋第三方程,(四)磁場(chǎng)的高斯定律麥克斯韋第四方程,(五)電流連續(xù)性方程麥克斯韋第五方程,(一)安培環(huán)路定律麥克斯韋第一方程,1. 安培環(huán)路定律,已知:無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線周?chē)拇鸥袘?yīng)強(qiáng)度為:,,,,,,,,引入一個(gè)新矢量 ,令 則:,,矢量 稱(chēng)為磁場(chǎng)強(qiáng)度,單位為安培/米(A/m)。,安培環(huán)路定律: 在真空中,磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意回路的線積分,等于該回路所限定的曲面上穿過(guò)的總電流。,若積分回路中包含多個(gè)電流則:,例9: 如圖所示,一無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜芯線通有均勻分布的電流I,外導(dǎo)體通有均勻的
12、等量反向電流,求各區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,解: 根據(jù)題意,取圓柱坐標(biāo)系。,(1) 區(qū)域,內(nèi)導(dǎo)體的電流密度為:,取半徑為 r 的圓環(huán)為積分回路, 根據(jù)安培環(huán)路定律:,,,,,磁感應(yīng)強(qiáng)度為:,,,,同理取半徑為r 的圓為積分回路,則有:,(2) 區(qū)域,,,,該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:,(3) 區(qū)域,,外導(dǎo)體的電流密度為:,,,同理,取半徑為r 的圓為積分回路,則有:,,,,可得:,(4) 區(qū)域,,2. 位移電流,傳導(dǎo)電流連續(xù)是安培環(huán)路定律成立的前提。,,,位移電流的提出: 在電容器兩極板間,由于電場(chǎng)隨時(shí)間的變化而存在位移 電流,其數(shù)值等于流向正極板的傳導(dǎo)電流。,,如圖:,穿過(guò) 的傳導(dǎo)電流
13、為 ,則:,穿過(guò) 的傳導(dǎo)電流為 ,則:,矛盾?,,平板電容器極板上的電荷:,位移電流的計(jì)算,傳導(dǎo)電流:,位移電流:,位移電流密度:,,引入一個(gè)新矢量 ,在真空中令 , 則位移電流密度表示為:,,,某曲面上的位移電流:,電位移矢量,,3. 全電流定律,引入位移電流之后,穿過(guò) S 面的總電流為:,總電流密度為:,某曲面上全電流 I 為:,全電流定律:,,該方程稱(chēng)為麥克斯韋第一方程。,該式的物理意義:它表明磁場(chǎng)不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生,也能由 隨時(shí)間變化的電場(chǎng),即位移電流產(chǎn)生。,,(二) 法拉第電磁感應(yīng)定律麥克斯韋第二方程,1. 法拉第電磁感應(yīng)定律,磁場(chǎng)中的一個(gè)閉合導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生
14、變化時(shí),回路中就產(chǎn)生了感應(yīng)電流,表示回路中感應(yīng)了電動(dòng)勢(shì),且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小正比于磁通對(duì)時(shí)間的變化率 。,數(shù)學(xué)表達(dá)式為:,E,,該閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為:,閉合回路中的磁通量為:,可得:,引起磁通變化的原因:,(2) 閉合回路與恒定磁場(chǎng)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng),這時(shí)回路中的感 應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱(chēng)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。,(3) 既存在時(shí)變磁場(chǎng)又存在回路的相對(duì)運(yùn)動(dòng),則總的感應(yīng)電動(dòng) 勢(shì)為:,(1) 閉合回路是靜止的,但與之交鏈的磁場(chǎng)是隨時(shí)間變化的, 這是回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱(chēng)為感生電動(dòng)勢(shì)。,例10: 如圖所示,一個(gè)矩形金屬框的寬度d 是常數(shù),其滑動(dòng)的一邊以勻速v 向右移動(dòng),求:下列情況下線框里的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,(1)
15、 恒定均勻;(2) 。,解:(1)已知,其中:,(2)已知,2. 法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣,當(dāng)空間某曲面內(nèi)的磁通隨時(shí)間變化時(shí),意味著空間存在著感應(yīng)電場(chǎng),感應(yīng)電場(chǎng)沿曲面邊界的積分為該曲線上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,經(jīng)麥克斯韋推廣的電磁感應(yīng)定律為:,該方程稱(chēng)為麥克斯韋第二方程。,,該式說(shuō)明:變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。即電場(chǎng)不僅由電荷源產(chǎn)生, 也可由時(shí)變的磁場(chǎng)產(chǎn)生。,(三)電場(chǎng)的高斯定律麥克斯韋第三方程,若以該點(diǎn)電荷為中心,做一半徑為R 的球面,則電場(chǎng)強(qiáng)度穿出該球面的通量為,,如果閉合曲面內(nèi)包含n個(gè)點(diǎn)電荷,則:,如果閉合曲面內(nèi)含有連續(xù)分布的電荷,則:,,,該方程稱(chēng)為麥克斯韋第三方程。,,該式表明:
16、穿過(guò)任何閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍 的凈電荷。,例11:一均勻帶電球殼,電荷密度為 ,球殼內(nèi)外半徑分別為a、b,求各區(qū)域中的電位移矢量 。,解:如圖,選球坐標(biāo)系,由于球殼內(nèi)均勻 帶電,所產(chǎn)生的電場(chǎng)具有中心對(duì)稱(chēng)性。,(1) 區(qū)域,,取半徑為 R 的球面為高斯面,根據(jù)電高斯定律:,可得:,(2) 區(qū)域,取半徑為 R 的球面為高斯面,根據(jù)電高斯定律:,可得:,,(3) 區(qū)域,同理取半徑為 R 的球面為高斯面, 根據(jù)電高斯定律:,可得:,,數(shù)學(xué)表達(dá)式為:,該式表明: 通過(guò)任何閉合曲面的磁通量恒為零。磁力線總是連續(xù)的,它不會(huì)在閉合曲面內(nèi)積累或中斷,故稱(chēng)磁通連續(xù)性原理。,
17、該方程稱(chēng)為麥克斯韋第四方程。,,(四)磁場(chǎng)的高斯定律麥克斯韋第四方程,(五)電流連續(xù)性方程麥克斯韋第五方程,從封閉曲面流出的電流,必然等于封閉曲面內(nèi)正 電荷的減少率:,,設(shè)流出封閉曲面的電流為:,,該封閉曲面內(nèi)的總電荷為:,,則:,該方程稱(chēng)為麥克斯韋第五方程。,,該式表明: 從封閉曲面流出的電流,必然等于封閉曲面內(nèi)正電荷的減少率,反之亦然。,,(一)麥克斯韋方程組的積分形式:,,一般情況:,無(wú)源的情況:,,,,三、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式,,恒定電磁場(chǎng) (存在直流電流),正弦電磁場(chǎng) (存在時(shí)間因子 ),,注意:利用積分形式的麥克斯韋方程可直接求解具有對(duì)稱(chēng)性的場(chǎng)。,如:中心對(duì)稱(chēng)性場(chǎng)
18、,軸對(duì)稱(chēng)性場(chǎng),平面對(duì)稱(chēng)性場(chǎng)。,例12 :一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線,線電荷密度為 , 求:該導(dǎo)線周?chē)碾妶?chǎng)強(qiáng)度。,解:該導(dǎo)線周?chē)碾妶?chǎng)具有軸對(duì)稱(chēng)性, 選柱坐標(biāo)系,高斯面選柱面。,可得:,電場(chǎng)強(qiáng)度:,已知:,(二)麥克斯韋方程組的微分形式,,積分形式:,,,,,,,,,,,,微分形式:,注意:麥克斯韋方程的微分形式只適用于媒體的物理性質(zhì) 不發(fā)生突變的區(qū)域。,微分形式的麥克斯韋方程組給出了空間某點(diǎn)場(chǎng)量之間及場(chǎng)量與場(chǎng)源之間的關(guān)系。,例13 :已知自由空間磁感應(yīng)強(qiáng)度為,(1)求位移電流密度 ;,(2)若 m時(shí), ,求 ms時(shí), km處的電場(chǎng)強(qiáng)度。,解: (1)按題意,空間無(wú)傳導(dǎo)電流,
19、故:,,,,,(A/ ),(2)由,得:,,,所以:,,當(dāng) ms時(shí), km處的電場(chǎng)強(qiáng)度:,(mV/m),(mV/m),麥克斯韋方程組包含著豐富的內(nèi)容和深刻的含義。偉大的物理學(xué)家愛(ài)因斯坦曾這樣評(píng)價(jià)麥克斯韋方程: “這個(gè)方程組的提出是牛頓時(shí)代以來(lái)物理學(xué)上一個(gè)重要的事情,這是關(guān)于場(chǎng)定律的定量的描述。方程中所包含的內(nèi)容比我們所指出的要豐富得多。在它們簡(jiǎn)單的形式下隱藏著深?yuàn)W的內(nèi)容。這些內(nèi)容只有靠仔細(xì)的研究才能顯示出來(lái)。它是描述場(chǎng)的結(jié)構(gòu)的定律,它不像牛頓定律那樣把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來(lái),而是此處此刻的場(chǎng)只與最近的剛過(guò)去的場(chǎng)發(fā)生關(guān)系。假使我們知道此處此刻所發(fā)生的事件,這些方程便可幫助我們預(yù)測(cè)在空間上稍遠(yuǎn)一些,在時(shí)間上稍遲一些將會(huì)發(fā)生什么。”,
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