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沖擊響應和階躍響應

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沖擊響應和階躍響應

5.3 沖擊響應和階躍響應,,1. 沖擊響應,定義:系統(tǒng)的沖擊響應就是電路系統(tǒng)在沖擊信號激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應。即:,,,因為只有在t=0時,(t)才對電路系統(tǒng)作用,所以可以將這種瞬間作用等效成對電路內(nèi)貯能元件進行能量存貯,即為等效初始條件,在t0時,由該等效初始條件引起電路產(chǎn)生的等效零輸入響應。即:,,2. h(t)求法,例:已知電路如圖,iL(0-)=0 ,求iL(t),解:(1)建立電路方程:,(1)直接法: (等效初始條件法),(2) 將其轉(zhuǎn)換為等效零輸入響應:,(3)求解:三要素法得:,(2)比較系數(shù)法 因為由電路系統(tǒng)的(1)問題轉(zhuǎn)為(2)問題,電路系統(tǒng)的解應具有相同的函數(shù)形式,一般,(1) 對于nm時,若電路系統(tǒng)方程的特征根互異,則由此得沖擊響應為,(2)n=m時,若特征根互異:,(3)n<m時,若特征根互異:,若有重根,也可以同理推得公式。 因為特征根是由特征方程求得的,那么只要求得系數(shù)Ai和j即可,為此采用比較系數(shù)法。,例:設描述電路系統(tǒng)I/O微分方程為:,試求其沖擊響應 h(t),解:(1) 求特征根:,方程表為:,系統(tǒng)微分方程的特征方程為:,即,(3)對h(t)求一階,二階導數(shù) h(1)(t),h(2)(t) 求得,(2)設系統(tǒng)的沖擊響應為:,同理:,將 y(t) = h(t) , f(t) =(t) 等代入給定微分方程得:,即,左右兩端相應項的系數(shù)必須相等:,沖擊響應為:,解得:,這里我們巧妙地回避了求h(0+) 和 h(1)(0+) 的問題。,綜上所述,我們將求沖擊響應的方法步驟歸納如下: (1)求出電路微分方程的特征根。 (2)寫出沖擊響應解的表達式。 (3)對h(t)求導,求導的次數(shù)由方程的階次n決定(注意(t) 抽樣性)。 (4)將h(t)及其導數(shù)和(t) 代到電路微分方程,比較兩端相應項系數(shù)(即令其相等),求得Ai,從而得到h(t)。,(3)微分法 定理:若已知電路系統(tǒng)的階躍響應為g(t),則其電路系統(tǒng) 的沖擊響應由下式?jīng)Q定:,例:已知LTIS,當激勵為12U(t)時,響應為(2412e-2t)U(t), 試求單位沖擊響應。,(2)求h(t),解: (1)單位階躍:,(4)拉普拉斯變換法(留待ch8討論),,2.階躍響應,(1)定義:LTIS在單位階躍信號作用下,系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應,叫做單位階躍響應。即:,(1),(2)比較系數(shù)法: 系統(tǒng)階躍響應的求法與沖擊響應的求法類似,但不同的是,根據(jù)U(t)的定義,t0,U(t) 0. 系統(tǒng)的階躍響應是求解非齊次方程(0初條),它應包括齊次方程通解和非齊次特解。定義式可得:,強迫響應:,(2)求階躍響應的常用方法,(1)由h(t) g(t),方程(1)中左端最高階為 g(n)(t) ,右端最高階為 U(m)(t) 即使m=n,g(t)中也不會包含(t), 故在nm時,若(1)式特征根互異,則自由響應:,故,由此可采用求沖擊響應類似的方法,求得 g(t),(1)線性性(即迭加性和均勻性) 定理1:線性時不變電路與系統(tǒng)在下述意義上是線性的: a.響應的可分解性:電路與系統(tǒng)的響應可以分解為零輸入響應,零狀態(tài)響應。,b.零狀態(tài)線性:當起始狀態(tài)為零時,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對于各激勵信號呈線性。 c.零輸入線性:當激勵為零時,系統(tǒng)的零輸入響應對應各起始狀態(tài)呈線性。,3. LTI電路系統(tǒng)的基本性質(zhì),注意: (1)當系統(tǒng)同時存在n個激勵時,系統(tǒng)的完全響應對于某個單獨的激勵不呈線性關(guān)系,而是對全部的激勵呈線性關(guān)系。 (2)在這種疊加解法中,已經(jīng)將各起始狀態(tài)的作用也視為系統(tǒng)的激勵,所以它與第二章中端口線性定義是一致的。也就是說,可以根據(jù)上述三條來定義線性系統(tǒng)。 (3)全響應是零輸入與零狀態(tài)的線性組成,它既不是激勵的線性函數(shù),也不是初態(tài)的線性函數(shù),而僅能是零輸入線性,零狀態(tài)線性。,我們對第二條進行證明 設一階電路方程為,(1)疊加性 若x1(t),x2(t)分別激勵系統(tǒng)時,相應的零狀態(tài)響應為y1(t)和y2(t),它們應當滿足方程(1),(1),(2),(3),,,將上兩式相加得:,(4),如果在t=0時,在電路中的相同位置上,同時加入x1(t)+x2(t),則相應的零狀態(tài)響應為y(t),則必然有,根據(jù)微分方程的唯一性充分條件,式(4)和(5)中,初始狀態(tài)和激勵相同,而1/ 僅決定于電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù),也應是相同的。所以其解也必然相同。,(5),,,這就是說線性時不變電路與系統(tǒng)對于激勵具有疊加性。 (2)若在上述同一電路的相同位置,t=0時接入激勵x1(t) 是實數(shù),相應的零狀態(tài)響應為y3(t),則:,(6),而如果用 同時乘方程(2)的兩邊,則得:,(7),,,于是:y(t)=y1(t)+y2(t),根據(jù)微分方程解的唯一性充分條件,比較(6)(7)兩式得:,這就是說線性時不變電路系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對激勵具有均勻性。,由于既滿足疊加性,又滿足均勻性,所以線性時不變電路系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對各激勵信號呈線性。 同時也可以證明另兩條。也可推到線性時變系統(tǒng)。 這個線性系統(tǒng)的性質(zhì)具有非常重要的意義。,(2).延時不變性: (定常特性) 定理2: 若線性時不變系統(tǒng),輸入為f(t)時,引起的響應為y(t),則輸入為 f(t-) 時,引起的響應為 y(t-) 。這就是說,響應的波形與輸入的時間無關(guān),僅是起點改變。即若f(t) yzs(t),則,(3).微分特性: 定理3: 若線性時不變系統(tǒng)在激勵f(t)作用下,產(chǎn)生零狀態(tài)響應為yzs(t),則當激勵為 f (t) 時,其響應為y(t),f(t) 零狀態(tài)yzs(t),,,證明:因為 f(t) y(t) 根據(jù)延時不變性:f(tt) y(t t) 又因為系統(tǒng)具有疊加性和均勻性:,根據(jù)導數(shù)的定義有:,,,證畢。,,推論: (1)這個特性可以推廣至高階導數(shù)和積分。 (2)對幾個典型的信號有:,(4).因果特性: a.因果系統(tǒng):如果t<t0時,系統(tǒng)的激勵信號為0,相應的輸出響應在t<t0時也等于0,則這樣的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。 b.因果特性:因果系統(tǒng)的激勵是產(chǎn)生響應的原因,響應是激勵引起的效果,或者說系統(tǒng)沒有預知未來的能力,只有在激勵加入后,才有響應輸出,這種特性叫系統(tǒng)的因果特性。,一切物理可實現(xiàn)系統(tǒng)都是因果系統(tǒng),都具有因果特性。 由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)都是因果系統(tǒng),都滿足 因果性,因此,因果系統(tǒng)的充分必要條件是: h(t)=0 (t<0) g(t)=0 (t<0),例:某LTIS,在相同的初始狀態(tài)下,輸入為f(t)時,響應為:y(t)=(2e-3t+sin2t)U(t) ,輸入為2f(t)時,響應為: y(t)=(2e-3t+2sin2t)U(t),試求:(1)初態(tài)加大一倍,輸入為f(t)/2 ,系統(tǒng)響應 (2)初態(tài)不變,輸入為f(t-t0)時,系統(tǒng)響應 解: 設在相同初態(tài)和f(t)作用下,,,(2),(3),思考:輸入為 tf(t) 或 e-ktf(t) ,零狀態(tài)是否還成線性。,聯(lián)解得:,,

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