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1、第 10 章 無限脈沖響應濾波器,10.1 無限脈沖響應濾波器基礎 10.2 低通模擬濾波器 10.3 雙線形變換 10.4 巴特沃斯濾波器設計 10.5 切比雪夫型濾波器設計 10.8 帶通、高通和帶阻 IIR 濾波器,返回,,,infinite impulse response filter(IIR)無限脈沖響應濾波器 bilinear transformation 雙線性變換 prewarping equation 預扭曲方程 Butterworth filter 巴特沃斯濾波器 Chebyshev Type I filter 切比雪夫I 型濾波器 Chebyshev Type II

2、filter 切比雪夫II 型濾波器 elliptic filter 橢圓濾波器 Impulse invariance method 脈沖響應不變法,10.1 無限脈沖響應濾波器基礎,濾波器新的輸出，和過去的輸出及過去的輸入和現(xiàn)在 輸入有關。,差分方程 akyn-k= bkxn-k,N k=0,M k=0,若 a0=1，則 yn=-a1yn-1 - - aNyn-N + b0 xn+b1n-1++bMxn-M,傳輸函數(shù),H(z)=,b0+b1z-1+ b2z-2++bMz-M 1+ a1z-1+a2z-2++aNz-N,,這種遞歸濾波器的極點由分母多項式確定，這就可能使濾波器不

3、穩(wěn)定，同時遞歸濾波器很難實現(xiàn)線性相位，也就是遞歸濾波器使相位失真，但實現(xiàn)某種性能要求時比非遞歸濾波器所需要的系數(shù)少。 設計遞歸濾波器的方法是選擇具有待求特性的原型模擬濾波器，然后將其轉換為數(shù)字濾波器。,返回,,10.2 低通模擬濾波器,在連續(xù)域中，濾波器用 S 而不用 Z 來描述。 簡單低通模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 H(s)=,1 s+1,,頻率響應為 H()= s用 j代替,1 j +1,,幅度 |H()|=,1 2 +1,,, |H()|0 |H()|1,具有低通特性,,=1弧度/秒 |H()|= 20log( )=-3dB,1 2,,,即 f=/

4、2=1/2 Hz 為它的帶寬 為使濾波器更通用，傳輸函數(shù)變?yōu)?H(s)=,p1 s+p1,,H()= =,p1 j+p1,1 1+j/p1,,,其幅度|H()|=,1 (/p1)2+1,,,=p1 時，出現(xiàn) 3dB,圖10.3,通常模擬濾波器類型包括：巴特沃斯、切比雪夫型、 切比雪夫型和橢圓濾波器等。,圖10.4,返回,,10.3 雙線性變換,它為模擬濾波器和數(shù)字濾波器之間的轉換提供了一種 方法。 s 2fs,,z 1 z+1,,z用 ej 代替可得到離散時間傅立葉變換,逆雙線性變換 2tan-1 (/2fs) 圖 10.5 給出了數(shù)字頻率 和模擬頻率 之間的關系。,,雙線性變

5、換建立了數(shù)學域和模擬域之間的另一種聯(lián)系： 數(shù)字濾波器的穩(wěn)定區(qū)域是 Z 平面單位圓內，模擬濾波器 的穩(wěn)定區(qū)域在 S 復平面的左半部,圖 10.6,,例1：一階模擬低通濾波器的傳輸函數(shù) H(s)=wp1/(s+wp1)。濾波器的-3dB頻率是2000弧度/秒。求出與此模擬濾波器相對應的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(z),采樣頻率為1500Hz.,預扭曲的數(shù)字濾波器幅度響應如圖 10.10 所示，可 看出預扭曲的濾波器的截止頻率非常接近所要求的值 318.3 Hz。,圖 10.10,返回,,10.4 巴特沃斯濾波器設計,巴特沃斯濾波器是 IIR 無限脈沖響應濾波器中最簡單的。,它的傳輸函數(shù) H(s)=,

6、p1 S+p1,,|H()|=,1 (/p1)2+1,,,一階模擬巴特沃斯濾波器,n階模擬巴特沃斯濾波器具有負責的傳輸函數(shù) H(s)，,其濾波器形狀|H()|= ，與一階相似。,1 (/p1)2n+1,,,階數(shù)越高，滾降越陡，圖10.12 顯示 n=1,2,3,4時模擬 巴特沃斯濾波器形狀。,圖10.12,描述數(shù)字 IIR 濾波器的術語：(由圖10.13(a)、(b)看),圖10.13,p 通帶波紋：通帶內最大和最小增益之差 p 取 3dB (巴特沃斯濾波器) 1 p : 通帶邊緣增益（對應的頻率fp1） (或20log(1 p)dB) s ：阻帶波紋，對應的阻帶邊緣增益，

7、 對應頻率 fs1 阻帶邊緣頻率。 阻帶邊緣的增益為20logsdB,設計時阻帶邊緣頻率和阻帶衰減（-20logs）或阻 帶增益（20logs）要給出。圖 10.14 說明非線性相 位響應，表明濾波后的信號在某種程度上有相位失真。 對于 n 階巴特沃斯濾波器，滿足通帶和阻帶設計要求 所需的階數(shù) n,s1 : 模擬濾波器預扭曲阻帶邊緣頻率。 p1 : 模擬濾波器預扭曲通帶邊緣頻率。,設計低通巴特沃斯濾波器步驟： 1) 確定待求通帶邊緣頻率 fp1 Hz 、待求阻帶邊緣頻率 fs1 Hz 和待求阻帶衰減 - 20logsdB(或待求阻帶增 益 20logsdB)。通帶邊緣頻率必須對應 3dB

8、增益。,4) 由已給定的阻帶衰減 - 20logs(或增益- 20logs) 確定阻帶邊緣增益 s 。,3) 計算預扭曲模擬頻率以避免雙線性變化帶來的失真。 由 =2fs tan(/2) 求得 p1和 s1，單位是弧度/秒。,2) 用式 =2f/fs 把由 Hz 表示的待求邊緣頻率轉成 由弧度表示的數(shù)字頻率，得到 p1 和s1 。,5) 用下式計算所需濾波器的階數(shù)：,n 取整數(shù),例 10.6 設計具有巴特沃斯特性的低通 IIR 濾波器， - 3 dB 頻率為 1 200 Hz。在 1 500 Hz 處 增益降到 25 dB。采樣速率為 8 000 Hz。 選擇合適的濾波

9、器階數(shù)并畫出濾波器形狀。,解： 1) fp1=1200Hz， fs1=1500HZ -20logs=25， fs=8000Hz 2) p1= 2 fp1/fs=0.3 弧度 s1= 2 fs1/fs=0.375 弧度 3) p1=2fs tan(p1/2)=8152.4 弧度/秒 p1= 2fs tan(s1/2)=10690.9弧度/秒,4) 20logs =-25 s=10-25/20=0.0562,5) =10.6 取 n=11,6) 模擬濾波器形狀,1 (/p1)2n+1,,,|H()|= =,1 (/8152.4)22+1,,,|H()|=,1

10、(16000tan(/2)/8152.4)22+1,,,返回,,10.5 切比雪夫型濾波器設計,切比雪夫濾波器傳輸函數(shù)非常復雜，但濾波器形狀 表達式非常簡單，n 階切比雪夫型濾波器的形狀定義為,|H()|=,1 1+2Cn2(/p1),,,Cn(x)=,cos(ncos-1(x)) 對于|x|1 cosh(ncosh-1(x)) 對于|x|1,,參數(shù) 取決與通帶波紋,濾波器階數(shù)大于 1，切比雪夫濾波器具有比巴特沃夫 濾波器更陡峭的滾降特性。,圖 10.17,切比雪夫濾波器的參數(shù)示于圖 10.18,圖 10.18,切比雪夫濾波器的階數(shù)可由,n,cosh-1(/) cosh-1(s1/p1 ),

11、,= (1/s2) 1,,低通切比雪夫型濾波器的設計步驟：,3）對數(shù)字頻率采用預扭曲以避免雙線性變換引起的誤差。 由 =2fs tan(/2) 得到p1和 s1，單位是弧度/秒。,2）用公式 =2f/fs 將待求的邊緣頻率轉換為數(shù)字頻率 （用弧度表示），得到 p1 和 s1 。,1）確定待求的通帶與阻帶邊緣頻率 fp1 和fs1 、待求的 通帶邊緣增益 20log(1- p) 和待求的阻帶衰減 -20logs（或待求的阻帶增益 20logs ）。,5）由指定的衰減-20logs（或增益 20logs），確定 阻帶邊緣增益 s 。計算式如下：,例 10.9 對于采樣頻率為 20 KHz

12、 的系統(tǒng)，設計具有切 比雪夫型特性的 IIR 濾波器。通帶最大增益 為 0 dB，通帶邊緣在 5 kHz 處，其增益為 -1 dB。阻帶邊緣在 7.5 kHz處，其增益為 - 32 dB。,解： fp1=5000 Hz , fs1=7500Hz , 20log(1- p) =-1 fs =20000Hz , 20logs= - 32,p1 = 2fp1/fs =0.5 弧度 s1 = 2fs1/fs =0.75 弧度,p1 = 2fs tan(p1/2) =40000弧度/秒 s1 = 2fs tan(s1/2) =96568.5弧度/秒,7),|H(

13、)|=,1 1+2Cn2(/p1),,,=,1 1+0.2589C42(/40000),,,=2fs tan(/2) 代入上式,|H()|=,1 1+ 0.2589C42(/2),,,C4(x)=,cos(4cos-1(x)) 對于|x|1 cosh4(4cosh-1(x)) 對于|x|1,,返回,,10.8 帶通、高通和帶阻 IIR 濾波器,帶通和高通濾波器的階數(shù)要通過對低通濾波器的原 型的計算來選擇。 圖 10.22 表明了設計步驟,圖 10.22,傳輸函數(shù),高通 HH(s)=HL(pp/s) p 為低通濾波器的截止頻率 p為高通濾波器的截止頻率,帶通 HBP(s)=HL(p

14、(s2+lu)/s(u - l)) l：帶通濾波器的低端截止頻率 l u：帶通濾波器的高端截止頻率 u,帶阻 HBS(s)= HL(ps(u- l)/(s2+ul)),從上的p ，p ，l ，u 都要進行預扭曲計算，避免濾波器失真。 =2fs tan(/2),* 帶通和帶阻濾波器的階數(shù)都為其低通原型的兩倍。,,IIR濾波技術的一個應用就是產(chǎn)生和恢復用于按鍵電話機的雙音多頻信號（DTMF),FIGURE 10-25 Touch-Tone keypad.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyri

15、ght 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,FIGURE 10-26 Tone generation filter.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,FIGURE 10-30

16、DTMF generator.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,FIGURE 10-31 DTMF receiver.,Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Processing,Copyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.,