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中學(xué)數(shù)學(xué)公式定律手冊 ____________________________________________________________________________________ 初中代數(shù) 高中代數(shù) 平面幾何 立體幾何 解析幾何 向量部分 ____________________________________________________________________________________ ★初中代數(shù)（一） 【實數(shù)的分類】 【自然數(shù)】 表示物體個數(shù)的1、2、3、4···等都稱為自然數(shù) 【質(zhì)數(shù)與合數(shù)】 一個大于1的整數(shù)，如果除了它本身和1以外不能被其它正整數(shù)所整除，那么這個數(shù)稱為質(zhì)數(shù)。一個大于1的數(shù)，如果除了它本身和1以外還能被其它正整數(shù)所整除，那么這個數(shù)知名人士為合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)。 【相反數(shù)】 只有符號不同的兩個實數(shù)，其中一個叫做另一個的相反數(shù)。零的相反數(shù)是零。 【絕對值】 一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值為零。 從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值是表示這個數(shù)的點離開原點距離。 【倒數(shù)】 1除以一個非零實數(shù)的商叫這個實數(shù)的倒數(shù)。零沒有倒數(shù)。 【完全平方數(shù)】 如果一個有理數(shù)a的平方等于有理數(shù)b，那么這個有理數(shù)b叫做完全平方數(shù)。 【方根】 如果一個數(shù)的n次方（n是大于1的整數(shù)）等于a，這個數(shù)叫做a的n次方根。 【開方】 求一數(shù)的方根的運算叫做開方。 【算術(shù)根】 正數(shù)a的正的n次方根叫做a的n次算術(shù)根，零的算術(shù)根是零，負數(shù)沒有算術(shù)根。 【代數(shù)式】 用有限次運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)所得的式子，叫做代數(shù)式。 【代數(shù)式的值】 用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果，叫做當(dāng)這個字母取這個數(shù)值時的代數(shù)式的值。 【代數(shù)式的分類】 【有理式】 只含有加、減、乘、除和乘方運算的代數(shù)式叫有理式 【無理式】 根號下含有字母的代數(shù)式叫做無理式 【整式】 沒有除法運算或者雖有除法運算而除式中不含字母的有理式叫整式　 【分式】 除式中含字母的有理式叫分式 ★初中代數(shù)（二） 【有理數(shù)的運算律】 【等式的性質(zhì)】 【乘法公式】 【因式分解】 【方程】 方 程 含有未知數(shù)的等式叫做方程。 方程的解 在未知數(shù)允許值范圍內(nèi)，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 解 方 程 在指定范圍內(nèi)求出方程所有解，或者確定方程無解的過程，叫做解方程。 【一元一次方程】 一元一次方程：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程 【一元二次方程】 ★平面幾何==>E:\index.html直線與角 直 線 （不定義）直線向兩方無限延伸，它無端點。 射 線 在直線上某一點旁的部分。射線只有一個端點。 線 段 直線上兩點間的部分。它有兩個端點。 垂 線 如果兩條直線相交成直角，那么稱這兩條直線互相垂直。其中一條叫另一條的垂線，它們的交點叫垂足。 斜 線 如果兩條直線不相交成直角時，其中一條直線叫另一條直線的斜線。 點到直線的距離 從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線距離。 線段的垂直平分線 定理：線段的垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。 平 行 線 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。 平行線公理及推論 經(jīng)過直線外一點，有一條而且只有一條直線和這條直線平行。 平行于同一條直線的兩條直線平行。 角 的 定 義 有公共點的兩條射線所組成的圖形，叫做角 角 的 分 類 周角：3600? 平角：1800? 直角：900? 銳角：00E:\index.html三角形 三角形的分類 按角分 銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形 按邊分 等腰三角形，等邊三角形，不等邊三角形 三角形的角平分線 三角形一個的角的平分線和這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段,叫做三角形的角的平分線。 三角形的中線 連結(jié)三角形一個頂點的線段，叫做三角形的中線。 三角形的高 三角形一個頂點到它的對邊所在直線的垂線段，叫做三角形的高。 三角形的中位線 連結(jié)三角形兩邊中點的線段，叫做三角形的中位線。 全 等 三 角 形 定 義 能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。 性 質(zhì) 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)的角的平分線、高及中線相等。 判 定 任意三角形 直角三角形 （1）兩邊及夾角對應(yīng)相等。記為SAS （1）一邊一銳角對應(yīng)相等 （2）兩角和一邊對應(yīng)相等。記為ASAA或AAS （2）兩直角邊對應(yīng)相等。 （3）三邊對應(yīng)相等。記為SSS （3)斜邊、直角邊對應(yīng)相等（HL） 三 角 形 的 四 心 名 稱 定 義 性 質(zhì) 內(nèi) 心 三角形三條內(nèi)角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心） （1）內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。 （2）三角形一個頂點與內(nèi)心的連線平分這個角。 外 心 三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。（即外接圓的圓心） （1）外心到三角形的三個頂點的距離相等。 （2）外心與三角形一邊中點的連線必垂直該邊。 （3）過外心垂直于三角形一邊的直線必平分該邊。 重 心 三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心。 （1）重心到每邊中點的距離等于這邊中線的三分之一。 （2）三角形頂點與重心的連線必過對邊中點。 垂 心 三角形三條高的交點，叫做三角形的垂心。 三角形的一個頂點與垂心連線必垂直于對邊。 ☆高中代數(shù)?==>?函數(shù)（一）? 【集合】 指定的某一對象的全體叫集合。集合的元素具有確定性、無序性和不重復(fù)性。 【集合的分類】 【集合的表示方法】 名 稱 定???? 義 圖??????????? 示 性???? 質(zhì) 子 集 真子集 交集 并集 補集 ☆高中代數(shù)==>函數(shù)（二）?? 函數(shù)的性質(zhì) 定?? 義 ??? 判定方法 函數(shù)的奇偶性 函如果對一函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)；函如果對一函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性 對于給定的區(qū)間上的函數(shù)f(x)： 函數(shù)的周期性 對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)。不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。 （1）利用定義 （2）利用已知函數(shù)的周期的有關(guān)定理。 ☆高中代數(shù)==>E:\下載\index.html函數(shù)（三）? 函數(shù)名稱 解析式 定義域 值? 域 奇偶性 單 調(diào) 性 正比例函數(shù) R R 奇函數(shù) 反比例函數(shù) 奇函數(shù) 一次函數(shù) R R 二次函數(shù) R ☆高中代數(shù)==>E:\下載\index.html不等式（一）?? 不等式 用不等號把兩個解析式連結(jié)起來的式子叫做不等式 不等式的性質(zhì) 含絕對值不等式的性質(zhì) 幾個重要的不等式 ☆高中代數(shù)==>E:\下載\index.html不等式（二） 一元一次不等式的解法 ?????????? 形??? 式 ????? 解??? 集 ?R 一元二次不等式的解法 ?R 絕對值不等式的解法 無理不等式的解法 ☆高中代數(shù)==>E:\下載\index.html三角函數(shù)（一）?? 角 一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圖形叫做角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時的射線叫角的終邊，射線的端點叫做角的頂點。 角的單位制 關(guān)??? 系 弧 長 公 式 ? 扇 形 面 積 公 式 角度制 弧度制 角的終邊 位????????? 置 ?? 角 的 集 合 在x軸正半軸上 在x軸負半軸上 在x軸上 在y軸上 在第一象限內(nèi) 在第二象限內(nèi) 在第三象限內(nèi) 在第四象限內(nèi) 特殊角的三角函數(shù)值 函數(shù)/角 0 　 sina 0 1 0 -1 0 　 cosa 1 0 -1 0 1 　 tana 0 1 不存在 0 不存在 0 　 cota 不存在 1 0 不存在 0 不存在 　 三角函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 定義域 值域 奇偶性 周期性 ???? 單 調(diào) 性 y=sinx R 奇函數(shù) y=cosx R 偶函數(shù) y=tanx R 奇函數(shù) y=cotx R 奇函數(shù) ☆高中代數(shù)==>E:\下載\index.html三角函數(shù)（二） 誘導(dǎo)公式 角/函數(shù) 正弦 余弦 正切 余切 　 -a -sina cosa -tana -cota 900a cosa sina cota tana 900+a cosa -sina -cota -tana 1800-a sina -cosa -tana -cota 1800+a -sina -cosa tana cota 2700-a -cosa -sina cota tana 2700+a -cosa sina -cota -tana 3600-a -sina cosa -tana -cota sina cosa tana cota 同角公式 倒數(shù)關(guān)系 商數(shù)關(guān)系 平方關(guān)系 和差角公式 　 倍角公式 萬能公式 半角公式 積化和差公式 和差化積公式 ☆高中代數(shù)==>數(shù)列 名稱 ???? 定?? 義 ?? 通 項 公 式 前n項的和公式 其它 數(shù)列 按照一定次序排成一列的數(shù)叫做數(shù)列，記為{an} 如果一個數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式 　 　 等差數(shù)列 等比數(shù)列 數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系： 無窮等比數(shù)列所有項的和： 數(shù)學(xué)歸納法 ??? 適 用 范 圍 ???????????? 證 明 步 驟 ??? 注 意 事 項 只適用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 設(shè)P(n)是關(guān)于自然n的一個命題，如果(1)當(dāng)n取第一個值n0(例如：n=1或n=2)時，命題成立(2)假設(shè)n=k時，命題成立，由此推出n=k+1時成立。那么P(n)對于一切自然數(shù)n都成立。 （1）第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步的推理根據(jù)，兩步缺一不可 （2）第二步的證明過程中必須使用歸納假設(shè)。 ☆高中代數(shù)==>復(fù)數(shù)?? 復(fù)數(shù)的定義 引入虛數(shù)單位i，規(guī)定i2=1,i可以和實數(shù)一起進行通常的四則運算，運算時原有加乘運算仍然成立。形如：a+bi（a,b為實數(shù)）?????????? a---實部???? b----虛部 復(fù)數(shù)的表示形式 代數(shù)形式 三角形式 復(fù)數(shù)的運算 代數(shù)式 三角式 ☆高中代數(shù)==>E:\下載\index.html排列、組合、二項式定理 分 類 計 數(shù) 原 理 分 步 計 數(shù) 原理 做一件事，完成它有n類不同的辦法。第一類辦法中有m1種方法，第二類辦法中有m2種方法……，第n類辦法中有mn種方法，則完成這件事共有：N=m1+m2+…+mn種方法。 做一件事，完成它需要分成n個步驟。第一步中有m1種方法，第二步中有m2種方法……，第n步中有mn種方法，則完成這件事共有：N=m1?m2?…?mn種方法。 　 注意：處理實際問題時，要善于區(qū)分是用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理，這兩個原理的標(biāo)志是“分類”還是“分步驟”。 排???? 列 組??? 合 從n個不同的元素中取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一排，叫做從n個不同的元素中取m個元素的排列。 從n個不同的元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中取m個元素的組合。 排? 列?? 數(shù) 組?? 合? 數(shù) 從n個不同的元素中取m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記為Pnm 從n個不同的元素中取m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記為Cnm 選 排? 列?? 數(shù) 全 排? 列?? 數(shù) 　 ?二 項 式 定 理 二項展開式的性質(zhì) (1)項數(shù)：n+1項 (2)指數(shù)：各項中的a的指數(shù)由n起依次減少1，直至0為止；b的指出從0起依次增加1，直至n為止。而每項中a與b的指數(shù)之和均等于n 。 (3)二項式系數(shù)： 各奇數(shù)項的二項式數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式的系數(shù)之和 ☆解析幾何==>E:\index.html方程與曲線 方程與曲線 概念 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點的坐標(biāo)（x,y）都是方程F（x,y)=0的解；反之方程F（x,y)=0的解為坐標(biāo)的點（x,y）都在曲線C上，那么方程F（x,y)=0叫曲線C的方程，曲線C叫方程F（x,y)=0的曲線。 已知曲線求它的方程的步驟 （1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用（x,y)表示曲線上任一點P的坐標(biāo)； （2）寫出適合條件M的點P的集合 （3）用坐標(biāo)表示條件M（P），列出方程；f（x,y)=0 （4）化方程f（x,y)=0為最簡形式 （5）證明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點 充分條件 必要條件 充要條件 ☆解析幾何==>E:\index.html直線 直線 直線的方程 直線與x軸垂直不能用 直線與x軸垂直不能用 直線與坐標(biāo)軸垂直不能用 直線與坐標(biāo)軸垂直或過原點不能用 A、B不全為零 點到直線的距離 ???????????????????????????? ?????????? 兩條直線的關(guān)系及條件 平??? 行 重? 合 ??????? 垂?? 直 斜交二直線的夾角 直線系 ☆解析幾何==>圓 圓 定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點是圓心，定長是半徑。 標(biāo)準方程地 一般方程 點與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系 ☆解析幾何==>橢圓? 橢圓 定義：平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之和等于一個常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做焦點，兩定點間的距離叫做焦距。 標(biāo)準方程 ????? 圖??? 象 焦??? 點 F1（-c,0）? F2（c,0） F1（0,-c）? F2（0,-c） 焦??? 距 ??????????????? 幾何性質(zhì) 范圍 對稱性 坐標(biāo)軸是橢圓的對稱由，原點是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 頂點 離心率 ☆解析幾何==>雙曲線 雙曲線 定義：平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值是常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做焦點，兩定點間的距離叫做焦距。 標(biāo)準方程 ????? 圖??? 象 焦??? 點 F1（-c,0）? F2（c,0） F1（0,-c）? F2（0,-c） 焦??? 距 ??????????????? 幾何性質(zhì) 范圍 對稱性 坐標(biāo)軸是橢圓的對稱由，原點是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 頂點 漸近線 離心率 ☆解析幾何==>拋物線? 拋物線 定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線L距離相等的的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線L叫做拋物線的準線。 標(biāo)準方程 焦點 準線 圖象 幾何性質(zhì) 范圍 對稱性 曲線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。 頂點 坐標(biāo)原點（0，0） 離心率 e=1 ※中學(xué)數(shù)學(xué)公式定律手冊※===>立體幾何==>E:\index.html直線與平面（一）? 平面的基本性質(zhì) 圖???? 形 ????? 作??? 用 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)。 （1）判定直線在平面內(nèi)的依據(jù) （2）判定點在平面內(nèi)的方法 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那它還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線 。 （1）判定兩個平面相交的依據(jù) （2）判定若干個點在兩個相交平面的交線上 公理3：經(jīng)過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 （1）確定一個平面的依據(jù) （2）判定若干個點共面的依據(jù) 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且僅有一個平面。 （1）判定若干條直線共面的依據(jù) （2）判斷若干個平面重合的依據(jù) （3）判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù) 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且僅有一個平面。 推論3：經(jīng)過兩條平行線，有且僅有一個平面。 ※中學(xué)數(shù)學(xué)公式定律手冊※===>立體幾何==>E:\index.html直線與平面（二）? ?? 間?? 二?? 直?? 線 ?? 平行直線 公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。 異面直線 ??????????????????? 空 間 直 線 和 平 面 位 置 關(guān) 系 （1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點 （2）直線和平面相交——有且只有一個公共點 （3）直線和平面平行——沒有公共點 直 線 和 平 面 平 行 判 定 定 理 ???????? 性 質(zhì) 定 理 ??????????????? ?????????????? ???????????????? ?????????? ??????????? ?? 直 線 與 平 面 垂 直 判 定 定 理 ??? 性 質(zhì) 定 理 ? 　 ? ?????? ※中學(xué)數(shù)學(xué)公式定律手冊※===>立體幾何==>E:\index.html直線與平面（三） 直線與平面所成的角 （1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角 （2）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角 （3）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是00的角 三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直 三垂線逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直 空間兩個平面 兩個平面平行 判?? 定 ???? 性??? 質(zhì) （1）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 （2）垂直于同一直線的兩個平面平行 （1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面 （2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 （3）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面 相交的兩平面 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 兩平面垂直 判?? 定 ???? 性??? 質(zhì) 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面 （2）如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi) ※中學(xué)數(shù)學(xué)公式定律手冊※===>立體幾何==>E:\index.html多面體、棱柱、棱錐? 多面體 定義 由若干個多邊形所圍成的幾何體叫做多面體。 棱柱 斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。 棱錐 正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。 球 到一定點距離等于定長或小于定長的點的集合。 歐拉定理 簡單多面體的頂點數(shù)V，棱數(shù)E及面數(shù)F間有關(guān)系：V+F-E=2 ????????????????????? 多? 面 體 側(cè)面積公式 體積公式 球 ※中學(xué)數(shù)學(xué)公式定律手冊※===>平面向量?? 平面向量的概念 在平面內(nèi)具有大小和方向的量叫做和向量 運算性質(zhì) 實數(shù)與向量的積 運算律 平面向量基本定量 ?向量平行 向量垂直 定比分點公式 ※中學(xué)數(shù)學(xué)公式定律手冊※===>空間向量? 空間向量的概念 在空間內(nèi)具有大小和方向的量叫做和向量 共線向量定理 共面向量定理 空間向量基本定理 兩個向量的數(shù)量積 空間向量的數(shù)量積的性質(zhì) 空間向量的坐標(biāo)運算 兩向量的夾角