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因式分解方法歸納總結 第一部分：方法介紹 　　初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎上，進一步著重換元法，待定系數(shù)法的介紹． 一、提公因式法.：ma+mb=m(a+b) 二、運用公式法. 　（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； 　(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； 　(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 　(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再補充兩個常用的公式： 　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； 　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知是的三邊，且， 則的形狀是（ ） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分組分解法 例2、分解因式： 解法一：第一、二項為一組； 解法二：第一、四項為一組； 第三、四項為一組。 第二、三項為一組。 解：原式= 原式= = = = = 練習：分解因式1、 2、 （二）分組后能直接運用公式 例3、分解因式： 分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = = 練習：分解因式3、 4、 綜合練習：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）（12） 四、十字相乘法. （一）二次項系數(shù)為1的二次三項式 直接利用公式——進行分解。 特點：（1）二次項系數(shù)是1； （2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積； （3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。 思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？ 例.已知0＜≤5，且為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的. 解析：凡是能十字相乘的二次三項 式ax2+bx+c，都要求 >0而且是一個完全平方數(shù)。 于是為完全平方數(shù)， 例8、分解因式： 分析：將看成常數(shù)，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= = 練習8、分解因式(1)(2)(3) （四）二次項系數(shù)不為1的齊次多項式 例9、 例10、 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式= 練習9、分解因式：（1） （2） 綜合練習10、（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）（8） （9）（10） 思考：分解因式： 五、換元法。 例13、分解因式（1） （2） 解：（1）設2005=，則原式= = = （2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。 原式= 設，則 ∴原式== == 練習13、分解因式（1） （2） （3） 例14、分解因式（1） 觀察：此多項式的特點——是關于的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。 方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。 解：原式== 設，則 ∴原式== == == = （2） 解：原式== 設，則 ∴原式== == 練習14、（1） （2） 六、添項、拆項、配方法。 例15、分解因式（1） 解法1——拆項。 解法2——添項。 原式= 原式= = = = = = = = = （2） 解：原式= = = = 練習15、分解因式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 七、待定系數(shù)法。 例16、分解因式 分析：原式的前3項可以分為，則原多項式必定可分為 解：設= ∵= ∴= 對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得，解得 ∴原式= 例17、（1）當為何值時，多項式能分解因式，并分解此多項式。 （2）如果有兩個因式為和，求的值。 （1）分析：前兩項可以分解為，故此多項式分解的形式必為 解：設= 則= 比較對應的系數(shù)可得：，解得：或 ∴當時，原多項式可以分解； 當時，原式=； 當時，原式= （2）分析：是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項式。 解：設= 則= ∴ 解得， ∴=21 練習17、（1）分解因式 （2）分解因式 （3） 已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù)并且分解因式。 （4） 為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。 第二部分：習題大全 經(jīng)典一： 1、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個等式。 經(jīng)典二： 因式分解小結 知識總結歸納 因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。 1. 因式分解的對象是多項式； 2. 因式分解的結果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式； 5. 結果如有相同因式，應寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方法； 下面我們一起來回顧本章所學的內(nèi)容。 1. 通過基本思路達到分解多項式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過變形達到分解的目的 例1. 分解因式 解一：將拆成，則有 解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應用 例：求證：多項式的值一定是非負數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學習了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設，則 4. 因式分解中的轉化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過程很復雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關系，努力尋找一種代換的方法。 解：設a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。 中考點撥 例1.在中，三邊a,b,c滿足 求證： 證明： 說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學生應掌握這類題不能丟分。 例2. 已知：__________ 解： 說明：利用等式化繁為易。 題型展示 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。 解： 說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2.將 解： 說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算。 實戰(zhàn)模擬 1. 分解因式： 2. 已知：的值。 3. 矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。 4. 求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)） 5. 已知：a、b、c是非零實數(shù)，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。 經(jīng)典三：因式分解練習題精選 一、填空：（30分） 4、若=，則m=_______，n=_________。 5、在多項式中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其結果是 _____________________。 6、若是完全平方式，則m=_______。 7、 8、已知則 9、若是完全平方式M=________。 15、方程，的解是________。 二、選擇題：（10分） 1、多項式的公因式是（ ） A、－a、 B、 C、 D、 2、若，則m，k的值分別是（ ） A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列名式：中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A、1個，B、2個，C、3個，D、4個 4、計算的值是（ ） A、 B、 三、分解因式：（30分） 1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、 7、 8、 9 、 10、 五、計算： （15） （1） 0.75 （2） 　 （3） 六、試說明：（8分） 1、對于任意自然數(shù)n，都能被動24整除。 2、兩個連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。 七、利用分解因式計算（8分） 1、一種光盤的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。（結果保留兩位有效數(shù)字） 經(jīng)典四： 因式分解 一、 選擇題 1、代數(shù)式a3b2－a2b3, a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（ ） A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3 2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式應當為（ ） A、5a－10b B、5a＋10b C 、5(x－y) D、y－x 3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，結果是（ ） A、－4m(2m2－3m) B、－4m(2m2＋3m－1) C、－4m(2m2－3m－1) D、－2m(4m2－6m＋2) 4、把多項式－2x4－4x2分解因式，其結果是（ ） A、2(－x4－2x2) B、－2(x4＋2x2) C、－x2(2x2＋4) D、 －2x2(x2＋2) 5、（－2）1998＋（－2）1999等于（ ） A、－21998 B、21998 C、－21999 D、21999 6、把16－x4分解因式，其結果是（ ） A、(2－x)4 B、(4＋x2)( 4－x2) C、(4＋x2)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)3(2－x) 7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，結果是（ ） A、a2(a2－2b2)＋b4 B、(a2－b2)2 C、(a－b)4 D、(a＋b)2(a－b)2 8、把多項式2x2－2x＋分解因式，其結果是（ ） A、(2x－)2 B、2(x－)2 C、(x－)2 D、 (x－1)2 9、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，則 k的值是（ ） A、±4 B、±2 C、3 D、4或2 10、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪個多項式分解因式的結果（ ） A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2 11、多項式x2＋3x－54分解因式為（ ） A、(x＋6)(x－9) B、(x－6)(x＋9) C、(x＋6)(x＋9) D、 (x－6)(x－9) 二、填空題 1、2x2－4xy－2x = _______(x－2y－1) 2、4a3b2－10a2b3 = 2a2b2(________) 3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1) 4、m(m－n)2－(n－m)2 =(__________)(__________) 5、x2－(_______)＋16y2=( )2 6、x2－(_______)2=(x＋5y)( x－5y) 7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________) 8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)= (x＋y－z)·(________) 9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________) 10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________) 11、x2＋3x＋2=(___________)(__________) 12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，則p=_______. 三、解答題 1、把下列各式因式分解。 (1)x2－2x3 (2)3y3－6y2＋3y (3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2 (4)(x－2)2－x＋2 (5)25m2－10mn＋n2 (6)12a2b(x－y)－4ab(y－x) (7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x) (8)a2＋5a＋6 3、已知：x＋y=,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。 經(jīng)典五： 因式分解練習題 ? 一、選擇題： 1．下列各式的因式分解結果中，正確的是 [　　　 ] A．a(chǎn)2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) 2．多項式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于 [　　　 ] A．(n－2)(m＋m2)　　　　　　　　　　　　 B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1)　　　　　　　　　　　 D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，屬于因式分解的是 [　　　 ] A．a(chǎn)(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a(chǎn)2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 [　　　 ] A．a(chǎn)2＋b2　　　　　　　　　　　　 B．－a2＋b2 C．－a2－b2　　　　　　　　　　　 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一個完全平方式，那么m的值是 [　　　 ] A．－12　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．±24 C．12　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．±12 6．把多項式an+4－an+1分解得 [　　　 ] A．a(chǎn)n(a4－a)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．a(chǎn)n-1(a3－1) C．a(chǎn)n+1(a－1)(a2－a＋1)　　　　　　　　　 D．a(chǎn)n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，則a4＋2a3－3a2－4a＋3的值為 [　　　 ] A．8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．7 C．10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分別為 [　　　 ] A．x=1，y=3　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3　　　　　　　　　　　　　　　　 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得 [　　　 ] A．(m＋1)4(m＋2)2　　　　　　　 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2　　　　　　　 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得 [　　　 ] A．(x－10)(x＋6)　　　　　　　　　　　　 B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20)　　　　　　　　　　　　 D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得 [　　　 ] A．(3x＋4)(x－2)　　　　　　　　　　　　　　　 B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y)　　　　　　　　　　　　　 D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得 [　　　 ] A．(a＋11)(a－3)　　　　　　　　　　　　　　　 B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b)　　　　　　　　　　　　　 D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得 [　　　 ] A．(x2－2)(x2－1)　　　　　　　　　　　　　　　 B．(x2－2)(x＋1)(x－1) C．(x2＋2)(x2＋1)　　　　　　　　　　　　　　　 D．(x2＋2)(x＋1)(x－1) 14．多項式x2－ax－bx＋ab可分解因式為 [　　　 ] A．－(x＋a)(x＋b)　　　　　　　　　　　　　　 B．(x－a)(x＋b) C．(x－a)(x－b)　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(x＋a)(x＋b) 15．一個關于x的二次三項式，其x2項的系數(shù)是1，常數(shù)項是－12，且能分解因式，這樣的二次三項式是 [　　　 ] A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12 C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以 16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有 [　　　 ] A．1個　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2個 C．3個　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4個 17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式為 [　　　 ] A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3) C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3) 18．下列因式分解錯誤的是 [　　　 ] A．a(chǎn)2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．a(chǎn)b－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3) C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1) 19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不為零，則a與b的關系為 [　　　 ] A．互為倒數(shù)或互為負倒數(shù)　　　　　　 B．互為相反數(shù) C．相等的數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．任意有理數(shù) 20．對x4＋4進行因式分解，所得的正確結論是 [　　　 ] A．不能分解因式　　　　　　　　　　　　　　 B．有因式x2＋2x＋2 C．(xy＋2)(xy－8)　　　　　　　　　　　　　　 D．(xy－2)(xy－8) 21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式為 [　　　 ] A．(a2＋b2＋ab)2　　　　　　　　　　　 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab) C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab)　　　　　　 D．(a2＋b2－ab)2 22．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪個多項式的分解結果 [　　　 ] A．3x2＋6xy－x－2y　　　　　　　　　　　　 B．3x2－6xy＋x－2y C．x＋2y＋3x2＋6xy　　　　　　　　　　　　 D．x＋2y－3x2－6xy 23．64a8－b2因式分解為 [　　　 ] A．(64a4－b)(a4＋b)　　　　　　　　　　　　　 B．(16a2－b)(4a2＋b) C．(8a4－b)(8a4＋b)　　　　　　　　　　　　　 D．(8a2－b)(8a4＋b) 24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解為 [　　　 ] A．(5x－y)2　　　　　　　　　　　　　 B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y)　　　　　　　　　　　　 D．(5x－2y)2 25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解為 [　　　 ] A．(3x－2y－1)2　　　　　　　　　　 B．(3x＋2y＋1)2 C．(3x－2y＋1)2　　　　　　　　　　 D．(2y－3x－1)2 26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式為 [　　　 ] A．(3a－b)2　　　　　　　　　　　　　 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2　　　　　　　　　　　　　 D．(3a＋b)2 27．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式為 [　　　 ] A．c(a＋b)2　　　　　　　　　　　　　 B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2　　　　　　　　　　　　 D．c2(a－b) 28．若4xy－4x2－y2－k有一個因式為(1－2x＋y)，則k的值為 [　　　 ] A．0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1 C．－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4 29．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正確的是 [　　　 ] A．－(a2＋b2)(3x＋4y)　　　　　　　　　　　 B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y) C．(a2＋b2)(3x－4y)　　　　　　　　　　　　　 D．(a－b)(a＋b)(3x－4y) 30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正確的是 [　　 　] A．2(a＋b－2c)　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2(a＋b＋c)(a＋b－c) C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c)　　　　　　 D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c) 三、因式分解： 1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(chǎn)(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．a(chǎn)bc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a(chǎn)2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； 13．a(chǎn)b2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3； 17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8； 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24； 27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48； 31．x2－y2－x－y； 32．a(chǎn)x2－bx2－bx＋ax－3a＋3b； 33．m4＋m2＋1； 34．a(chǎn)2－b2＋2ac＋c2； 35．a(chǎn)3－ab2＋a－b； 36．625b4－(a－b)4； 37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2； 38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35； 39．m2－a2＋4ab－4b2； 40．5m－5n－m2＋2mn－n2． 四、證明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值． 2．求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個完全平方數(shù)． 3．證明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)． 4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值． 5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值． 6．當a為何值時，多項式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解為兩個一次因式的乘積． 7．若x，y為任意有理數(shù)，比較6xy與x2＋9y2的大?。? 8．兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)． 30