函數(shù)的奇偶性 一、 新課教學(xué) （一）函數(shù)的奇偶性定義 1．偶函數(shù)（even function） 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)． （學(xué)生活動(dòng)）：仿照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義 2．奇函數(shù)（odd function） 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)． 注意： 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）． （二）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． （三）典型例題 基本概念： 1．函數(shù)y=f(x)在[a-1,2a+7]上為奇函數(shù)則a=______。 2．下面四個(gè)結(jié)論正確的為_______。 ①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交 ②奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn) ③偶函數(shù)的圖象一定關(guān)于y軸對(duì)稱 ④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0,x∈R 1．判斷函數(shù)的奇偶性 [例1 ] 判斷下列函數(shù)的奇偶性 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)應(yīng)首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不是即可斷定函數(shù)是非奇非偶函數(shù) 確定f(－x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)． 2．利用函數(shù)的奇偶性求解析式 [例2] 已知在R上為偶函數(shù)，在R上為奇函數(shù)且 ，求，的解析式。（成才68頁(yè)T9） [例3]函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且，求 的解析式。 探索：作出它的圖像。 [例4]函數(shù)為奇函數(shù)，且，求的解析式。（《成才》68頁(yè)第8題） 3．利用函數(shù)的奇偶性求值 [例5]已知，，求. [例6]若和都是定義在R上的奇函數(shù)， 且在上有最大值8，求在的最小值。 4．函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系 [例7]已知f(x)是奇函數(shù)，在[a,b]上是增函數(shù)，證明：f(x)在[-b,-a]上也是增函數(shù)。 變式：已知f(x)是偶函數(shù)，在[a,b]上是增函數(shù)，證明：f(x)在[-b,-a]上是減函數(shù) 規(guī)律： 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反； 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致． 5．抽象函數(shù)的奇偶性 [例8]已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù),都有 （1） 判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性 （2） 若f(-3)=m求f(12) 6．綜合應(yīng)用 [例9]函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，若，求不等式的解集。 變式：定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，若成立，求m的取值范圍。 二、 歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想 本節(jié)主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，需要學(xué)生結(jié)合函數(shù)的圖象充分理解好單調(diào)性和奇偶性這兩個(gè)性質(zhì)． 第一節(jié)課作業(yè)：《同步》P34—37。 第二節(jié)課作業(yè)：《成才》67—69。