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第75煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換

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1、a?=?(x?,?y?),?b?=?(x?,?y?)?,則?a,?b?共線???x?y??=?x?y?;?a?^?b???x?x??+?y?y??=?0 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 一、基礎(chǔ)知識(shí): 在圓錐曲線問(wèn)題中,經(jīng)常會(huì)遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化,合理的進(jìn)行幾何條件 的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用,極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算的復(fù)雜程度,在本節(jié)中,將列 舉常見(jiàn)的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。 1、在幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化中,向量是一個(gè)重要的橋梁:一方面,幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€ 段后可以承載向量;另一方面,

2、向量在坐標(biāo)系中能夠坐標(biāo)化,從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為 坐標(biāo)的運(yùn)算,與方程和變量找到聯(lián)系 2、常見(jiàn)幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化: (1)角度問(wèn)題: ①?若與直線傾斜角有關(guān),則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率k ②?若需要判斷角是銳角還是鈍角,則可將此角作為向量的夾角,從而利用向量數(shù)量積的符 號(hào)進(jìn)行判定 (2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 ①?可以利用圓的定義,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離與半徑的聯(lián)系,但需要解出圓的方程,在有些 題目中計(jì)算量較大 ②?若給出圓的一條直徑,則可根據(jù)該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線的夾角進(jìn)行判定:若點(diǎn)在圓內(nèi), u u uur?uur uur?uur DACB?為

3、鈍角(再轉(zhuǎn)為向量:CA?×?CB??0?) (3)三點(diǎn)共線問(wèn)題 ①?通過(guò)斜率:任取兩點(diǎn)求出斜率,若斜率相等,則三點(diǎn)共線 ②?通過(guò)向量:任取兩點(diǎn)確定向量,若向量共線,則三點(diǎn)共線 (4)直線的平行垂直關(guān)系:可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量的平行與垂直問(wèn)題,從而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算: r r r?r r r 1 1 2 2 1 2 2 1 1?2 1 2 (5)平行(共線)線段的比例問(wèn)題:可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系 (6)平行

4、(共線)線段的乘積問(wèn)題:可將線段變?yōu)橄蛄浚瑥亩D(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題(注 意向量的方向是同向還是反向) 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 3、常見(jiàn)幾何圖形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化 (1)三角形的“重心”:設(shè)不共線的三點(diǎn)?A(x?,?y?),?B?(x?,?y?),C?(x?,?y 1 1 2 2 3  3 )?,則?V?ABC?的重 心?G????x??+?x??+?x y??+?y??+?y??? 1 2 3?, 1 2 3 3????????? 3 圖):?IP?^?AC?,?IQ?^?AQ??????????????

5、??????????????????????????????? Q ÷ è ? : (2)三角形的“垂心”?伴隨著垂直關(guān)系,即頂點(diǎn)與垂心的連線與底邊垂直,從而可轉(zhuǎn)化為 向量數(shù)量積為零 B : (3)三角形的“內(nèi)心”?伴隨著角平分線,由角平分線性質(zhì)可知(如 I I?在?DBAC?的角平分線上?T??AP?=??AQ?T?? uuur?? =?? uuur uur?uuur uur?uuur AI?×?AC AI?×?AB AC AB  C  P  A (4)?P?是以?DA,?DB?為鄰邊的平行四邊形的

6、頂點(diǎn) uuur uuur uuur T?DP?=?DA?+?DB  A  P D (5)?P?是以?DA,?DB?為鄰邊的菱形的頂點(diǎn):?P?在?AB?垂直平分線上 B A  P D B (6)共線線段長(zhǎng)度的乘積:若?A,?B,?C?共線,則線段的乘積 A C???????????B ( 可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算,要注意向量的夾角) uuur?uuur uuur?uuur 例如:?AC?×?AB?=?AC?

7、×?AB?,?AC?×?BC?=?-?AC?×?BC 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 二、典型例題: 例?1:如圖:A,?B?分別是橢圓?C?: x?2??y?2 + a?2?b2 =?1(a?>?b?>?0)的左右頂點(diǎn),F(xiàn)?為其右焦點(diǎn),2?是 AF?,?FB?的等差中項(xiàng), 3?是?AF?,?FB?的等比中項(xiàng) (1)求橢圓?C?的方程 (2)已知?P?是橢圓?C?上異于?A,?B?的動(dòng)點(diǎn),直線?l?過(guò)點(diǎn)?A?且垂直 于?x?軸,若過(guò)?F?作直線?FQ?^?AP?,并交直線?l?于點(diǎn)?Q?。證明:

8、 Q,?P,?B?三點(diǎn)共線 解:(1)依題意可得:?A(-a,0?),?B?(a,0?),?F?(c,0?) \?AF?=?c?+?a,?BF?=?a?-?c Q?2?是?AF?,?FB?的等差中項(xiàng) \?4?=?AF?+?FB?=?a?+?c?+?a?-?c?=?2a \?a?=?2 (??3?)?=??AF?×?FB?=?(a?+?c?)(a?-?c?)?=?a Q?3?是?AF?,?FB?的等比中項(xiàng) \ \?b2?=?3 x?2 y?2 =?1 Q?橢圓方程為: + 4 3 2 2 -?c2?

9、=?b2 (2)由(1)可得:?A(-2,0?),?B?(2,0?),?F?(1,0?) 設(shè)?AP?:?y?=?k?(x?+?2),設(shè)?P?(x?,?y 1 1 )?,聯(lián)立直線與橢圓方程可得: 4k?2?+?3??????? 4k?2?+?3 í ì?3x?2?+?4?y?2?=?12?T?(4k?2?+?3)x?2?+?16k?2?x?+?16k?2?-?12?=?0 ???y?=?k?(x?+?2?) 16k?2?-?12 6?-?8k?2 \?x?x?= T?x?= A?1 1 \?P?? , 4k?2

10、?+?3????????? 4k?2?+?3??4k?2?+?3?? \?y?=?k?(x?+?2?)?= 1 1 12k???6?-?8k?2??12k?? ÷ è 另一方面,因?yàn)?FQ?^?AP \?k k FQ?=-?1 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ì??y?=?-??(x?-?1) \?FQ?:?y?=?-???(x?-?1)?,聯(lián)立方程:?í??? k ???x?=?-2 T?Q???-2,???÷ Q?B?(2,0?)  1?? k 1  ??3

11、?? è?k?? =-???3? k 4k?2?+?3?=?-12k?=?-??3 k 2?-?(-2?)?? 4k???????? 6?-?8k?2?? 16k?2??? 4k \?k  BQ  = 3??????????????????12k 0?-?0?- = BP 2?- 4k?2?+?3 \?k  BQ =?k  BP \?B,?Q,?P?三點(diǎn)共線 例?2:已知橢圓 x?2??y?2 + 2 a???b?2  =?1(a?>?b?>?

12、0)?的右焦點(diǎn)為?F?,?M?為上頂點(diǎn),?O?為坐標(biāo)原點(diǎn),若 △?OMF?的面積為??1 2 ,且橢圓的離心率為 . 2 2 (1)求橢圓的方程; (2)是否存在直線?l?交橢圓于?P?,?Q?兩點(diǎn),?且使點(diǎn)?F?為△?PQM?的垂心?若存在,求出 直線?l?的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. VOMF??=??1 解:(1)?S 1????1 ×?OM?×?OF?=?bc?= 2????????????2????2 e?=??c 2 = T?a?:?b?:?c?= 2?:1:1 a 2 2

13、 \?b?=?c?=?1 \?a?2?=?b2?+?c2?= x?2 \?橢圓方程為: +?y?2?=?1 2 (2)設(shè)?P(?x?,?y?)?,?Q(?x?,?y?),?由(1)可得:?M?(0,1),?F?(1,0) 1 1 2 2 \?k MF?=?-1?Q?F?為△?PQM?的垂心 \?MF?^?PQ \?k  PQ?=-  k 1 MF  =?1 設(shè)?PQ?:?y?=?x?+?m 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 由?F?為△?PQM?的垂心

14、可得:?MP?^?FQ (x?,?y??-?1),?uFQur?=?(x??-?1,?y uuur MP?=  1?1?2 u  2 ) \?MP?×?FQ?=?x?(x??-?1)?+?(?y??-?1)?y??=?0? ① uuur?uuur 1 2 1 2 因?yàn)?P,Q?在直線?y?=?x?+?m?上 \í 1 ? 2 ì?y?=?x?+?m 1 y?=?x?+?m 2  ,代入①可得: x?(x?-?1)?+?(x?+?m?-?1)(x?+?m?)?=?0 1 2

15、 1 2 即?2?x?x?+?(?x?+?x?)(m?-?1)?+?m?2?-?m?=?0?② 1 2 1 2 考慮聯(lián)立方程: ??x 2?+?2?y?2?=?2 ì?y?=?x?+?m í  得?3x?2?+?4mx?+?2m?2?-?2?=?0?. 3??????????? 3 D?=?16m?2?-?12?(2m?2?-?2?)>?0?T?m?2?

16、2?-?m?=?0 2?× 2m2?-?2??????????4m?? 3???????????è??3?? 解得:?m?=?-?4?或?m?=?1 3 當(dāng)?m?=?1時(shí),△?PQM?不存在,故舍去 時(shí),所求直線??l?存在,直線?l?的方程為?y?=?x?- 當(dāng)?m?=?- 4?4 3????????????????????????????????????3 小?煉?有?話?說(shuō)?:在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì),為垂心與三角形頂點(diǎn)的連線垂直底邊, 所以對(duì)垂心的利用通常伴隨著垂直條件,在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)

17、運(yùn)算(或是斜 率關(guān)系) 例?3?:如圖,橢圓 x?2??y?2 + a?2?b?2  =?1(a?>?b?>?0)?的?一?個(gè)?焦?點(diǎn)?是 ) F?(1,?0?,?O?為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形,求 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 橢圓的方程; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)?F?且不垂直?x?軸的直線?l?交橢圓于?A,?B?兩點(diǎn),若直線?l?繞點(diǎn)?F?任意轉(zhuǎn)動(dòng),恒有 OA?2?+?OB?2?

18、可得:??M???0,???b?÷?? 由正三角形性質(zhì)可得:?DMFO?= ? 1?? è 3?? p 6?,?k 3 MF?=-?3 b?-?0 3 \?k  MF 1 3 =???????=- 0?-?1?????3 \?b?=?3 \?a?2?=?b2?+?c2?=?4 x?2 y?2 =?1 \?橢圓方程為: + 4 3 (2)設(shè)?l?:?y?=?k?(x?-?1)?,?A(x?,?y?),?B?(x?,?y 1 1 2 Q?OA?2?+?OB?2?

19、cos?DAOB?=?OA?2?+?OB?2?-?AB?2

20、2?x?+?a?2k?2?-?a?2b2?=?0 a?2k?2?+?b2 a?2k?2?+?b2 \?x?+?x?= 1 2 2a?2k?2????????a?2k?2?-?a?2b2 ,?x?x?= 1?2 \?y?y?=?k?2?(x?-?1)(x?-?1)?=?k?2?x?x?-?k?2?(x?+?x?)?+?k?2 1 2 1 2 1?2 1 2 =?k?2?× a?2k?2?-?a?2b2??????2a?2k?2???????k?2b2?-?a?2b2k?2 -?k?2?×?+?k?2?=??????????

21、???= a?2k?2?+?b2??????a?2k?2?+?b2??????????a?2 a?2k?2?+?b2 a?2k?2?-?a?2b2?+?k?2b2?-?a?2b2k?2 \?x?x?+?y?y?=

22、?-?1 \?2a?2?-?1?-?a?2?(a?2?-?1)?1?+?5 2 ??1?+?5 ? ,?+¥?÷ è 2 ? 例?4:設(shè)?A,?B?分別為橢圓 x?2??y?2 + a?2?b2 =?1(a?>?b?>?0)的左、右頂點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距, 且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為1  y (1)求橢圓的方程; M??????????P A o B????(4,0)?????x (2)設(shè)?P?為直線?x?=?4?上不同于點(diǎn)?(4,0?)?的任意

23、一點(diǎn),?若  N 直線?AP,?BP?分別與橢圓相交于異于?A,?B?的點(diǎn)?M?,?N?,證明:點(diǎn)?B?在以?MN?為直徑的圓內(nèi) 解:(1)依題意可得?a?=?2c?,且到 右焦點(diǎn)距離的最小值為?a?-?c?=?1 可解得:?a?=?2,?c?=?1 \?b?=?3 x?2 y?2 \?橢圓方程為 + 4 3  =?1 (2)思路:若要證?B?在以?MN?為直徑的圓內(nèi),只需證明?DMBN?為鈍角,即?DMBP?為銳 u u uuur?uur 角,從而只需證明?BM?×?BP?>?0?,因?yàn)?A,?B?坐標(biāo)可求,

24、所以只要設(shè)出?AM?直線(斜率為?k?)?, u uuur?uuur 聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理即可用?k?表示出?M?的坐標(biāo),從而?BM?×?BP?可用?k?表示。即可判斷 1 u uuur?uuur BM?×?BP?的符號(hào),進(jìn)而完成證明 解:由(1)可得?A(-2,0?),?B?(2,0?)?,設(shè)直線?AM?,?BN?的斜率分別為?k?,?M?(x?,?y 1 1 AM?:?y?=?k?(x?+?2) 聯(lián)立?AM?與橢圓方程可得: )?,則 ì??y?=?k?(x?+?2?) í ??3x?2?+?4?y?2?=?12 ,消去?y

25、?可得:?(4k?2?+?3)x?2?+?16k?2?x?+?16k?2?-?12?=?0 4k?2?+?3??????? 4k?2?+?3 16k?2?-?12 6?-?8k?2 \?x?x?= T?x?= A?1 1 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ,即?M?? , 4k?2?+?3??????? 4k?2?+?3??4k?2?+?3?? \?y?=?kx?+?2k?= 1 1 12k???6?-?8k?2??12k?? ÷ è 設(shè)?P?(4,?y  0 )?,因?yàn)?P?在直線?AM

26、?上,所以?y 0 =?k?(4?+?2)?=?6k?,即?P?(4,6k?) (2,6k?),?uBMuru?=????-16k?2?,???12k ?÷ u uur \?BP?= u  è?4k?2?+?3?4k?2?+?3?? u u uur?uuur \?BP?×?BM?= -32k?2???????12k????40k?2 +?6k?×?=???????>?0 4k?2?+?3?????4k?2?+?3??4k?2?+?3 線相交于?A,?B?兩點(diǎn),與橢圓??3 \D?MBP?為銳角,?\D?MBN

27、?為鈍角 \?M?在以?MN?為直徑的圓內(nèi) 例?5:如圖所示,已知過(guò)拋物線?x2?=?4?y?的焦點(diǎn)?F?的直線?l?與拋物 3 y?2?+ x?2?=?1?的交點(diǎn)為?C?,?D?,是否 4 2 存在直線?l?使得?AF?×?CF?=?BF?×?DF??若存在,求出直線?l?的方 程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 解:依題意可知拋物線焦點(diǎn)?F?(0,1),設(shè)?l?:?y?=?kx?+?1 Q?AF?×?CF?=?BF?×?DF \??AF CF???,不妨設(shè)???AF BF?= DF  BF?= DF

28、 CF?=?l (-?x?,1?-?y?),?uFBru?=?(x?,?y??-?1) (-?x?,1?-?y?),?uFDur?=?(x?,?y??-?1) u uuur uur?uuur uuur 則?AF?=?l?FB,?DF?=?l?FC 設(shè)?A(x?,?y?),?B?(x?,?y?),?C?(x?,?y?),?D?(x?,?y 1 1 2 2 3 3 4 uuur u \?AF?= 1 1 2 2 uuur u CF?= 3 3 4 4  4  ) \í????????? 考慮聯(lián)立

29、直線與拋物線方程:?í ì-?x?=?l?x ì?y?=?kx?+?1 1 2 ?-?x3?=?l?x4 ??x2?=?4?y  T?x2?-?4kx?-?4?=?0 \í??????????????????? ,消去?x??可得: ???x?x??=?-l?x?2?=?-4 ? ì?x?+?x?=?(1?-?l?)?x?=?-4k 1 2 2 1?2 2  2 (1?-?l?)2 -l  =?-4k?2  ① ?6x2?+?3?y?2?=?4??T?6x2?-?3(kx?+?1)2?=?4?,整理可得:

30、第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ì 聯(lián)立直線與橢圓方程:?í?y?=?kx?+?1 (3k  2 +?6?)x?2?+?6kx?-?1?=?0 ì??x??+?x??=?(1?-?l?)?x??=?- ?????3????????????? 3k?2?+?6 \í ??x?x??=?-l?x?2?=?- ?????3???4????????? 3k?2?+?6 6k 4 4 1 4 \?(1?-?l?)2 -l  =- 36k?2 3k?2?+?6  ②

31、 由①②可得: -4k?2?=?- 36k?2 3k?2?+?6  ,解得:?k?2?=?1?T?k?=?±1 所以存在滿足條件的直線,其方程為:?y?=?±?x?+?1 例?6:在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中,已知拋物線?x2?=?2?py?(?p?>?0)的準(zhǔn)線方程為?y?=?- 點(diǎn)?M?(4,0?)作拋物線的切線?MA?,切點(diǎn)為?A(異于點(diǎn)?O?),直線?l?過(guò) 點(diǎn)?M?與拋物線交于兩點(diǎn)?P,Q?,與直線?OA?交于點(diǎn)?N (1)求拋物線的方程  1 2  ,過(guò)

32、 (2)試問(wèn) MN MP?+ MN MQ?的值是否為定值?若是,求出定值;若不 解:(1)由準(zhǔn)線方程可得:?-??p 是,請(qǐng)說(shuō)明理由 1 =- T?p?=?1 2 2 \拋物線方程:?x2?=?2?y (2)設(shè)切點(diǎn)?A(x?,?y 0 0 )?,拋物線為?y?=?1?x?2 2 \?y?'?=?x \?切線斜率為?k?=?x 0 \?切線方程為:?y?-?y?=?x?(x?-?x?),代入?M?(4,0?)及?y?= 0 0 0 0  1 x?2 2?0 x?2?=?

33、x?(4?-?x?)?,解得:?x??=?0?(舍)或?x??=?8 2 0 可得:?- 1  0?0?0?0 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 \?A(8,32?) OA?:?y?=?4?x 設(shè)?PQ?:?x?=?my?+?4 Q?M?,?P,?N?,Q?共線且?M?在?x?軸上 \??MN MQ???= N?+ N??=?y???? ÷?=?y???× P + è P?? y???? y y N???y y??y MP?+  P?Q?Q?P?Q  N MN?y?y

34、???1?1???y?+?y Q \?y???+?y???=??2?-?8m m2?????????? m2 ì?x?2?=?2?y 聯(lián)立?PQ?和拋物線方程:?í ??x?=?my?+?4 m2?y?2?+?(8m?-?2)?y?+?16?=?0 16 ,?y?×?y?= P Q P Q T?(my?+?4?)2?=?2?y?,整理可得: ì 再聯(lián)立?OA,?PQ?直線方程:?í?y?=?4?x ??x?=?my?+?4  T?y?= N 16 1?-?4m MN??? MN??????????????

35、?? 16 \????? +????? =?y???× P ×??????? =?2 m2 16 MP??? MQ??????? y??y 1?-?4m m2 G?????, ÷??? 由??y?軸上一點(diǎn)?M?滿足平行關(guān)系,可得?M???0,???÷ 2?-?8m Q?= N P Q ??? , 例?7:在V?ABC?中,?A,?B?的坐標(biāo)分別是?(-?2,0?)?(?2,0?),點(diǎn)G?是?V?ABC?的重心,?y?軸上 一點(diǎn)?M?滿足?GM?∥?AB?,且?MC?=?MB (1)求?V?ABC?的頂點(diǎn)?C?的軌跡?E?的方程 (2)直線?l

36、?:?y?=?kx?+?m?與軌跡?E?相交于?P,Q?兩點(diǎn),若在軌跡?E?上存在點(diǎn)?R?,使得四邊形 OPRQ?為平行四邊形(其中?O?為坐標(biāo)原點(diǎn)),求?m?的取值范圍 解:(1)設(shè)?C?(x,?y?) 由?G?是?V?ABC?的重心可得: ??x?y?? ? y?? è?3?3?? è 3?? 由?MC?=?MB?可得:???x??+???y?-? y?÷???= (0?-???2?)?+?y +??? =?1(?y?1?0) 化簡(jiǎn)可得:  x?2??y?2 2???6  2 ??

37、1??2 è?3?? 2  2 \?C?的軌跡?E?的方程為:?? +??? =?1(?y?1?0) 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 x?2 y?2 2 6 (2) Q?四邊形?OPRQ?為平行四邊形 uuur uuur uuur \OR?=?OP?+?OQ 設(shè)?P?(x?,?y?),Q?(x?,?y 1 1 2  2 )??\?R?(x?+?x?,?y?+?y 1?2?1  2 ) Q?R?在橢圓上 \?3(x?+?x 1  2 )2?+?(?

38、y 1 +?y  2 )2?=?6 (3x?2 1 +?y?2?)+?(3x?2?+?y?2?)+?6?x?x?+?2?y?y?=?6 1?2?2?1?2?1?2  ① 因?yàn)?P,Q?在橢圓上,所以?í ???3x?2?+?y?2?=?6 ì?3x?2?+?y?2?=?6 1 1 2 2  ,代入①可得: 6?x?x?+?2?y?y?+?12?=?6?T?3x?x?+?y?y?=?-3 ② 1?2 1 2 1?2 1 2 聯(lián)立方程可得: ?3x2?+?y?2?=?6 ì?y?=?k

39、x?+?m í T?(k?2?+?3)x2?+?2kmx?+?m2?-?6?=?0 3?+?k?2 k?2?+?3 2km m2?-?6 \?x?+?x?=?- ,?x?x?= 1 2 1?2 \?y?y?=?(kx?+?m?)(kx?+?m?)?=?k?2?x?x?+?km?(x?+?x?)?+?m?2?= 1 2 1 2 1?2 1 2 代入②可得:  3m2?-?6k?2 k?2?+?3 3?× m2?-?6??3m2?-?6k?2 +??????????=?-3?T?2m2?=?

40、k?2?+?3 k?2?+?3?k?2?+?3 (k  2 +?3)x?2?+?2kmx?+?m?2?-?6?=?0?有兩不等實(shí)根可得: D?=?4k?2m?2?-?4?(k?2?+?3)(m?2?-?6?)>?0?,即?-3m2?+?6k?2?+?18?>?0?,代入?k?2?=?2m2?-?3 \-?3m?2?+?6?(2m?2?-?3)+?18?>?0?T?m?2?>?0 另一方面:?2m2?-?3?=?k?2?3?0 \?m2?3 3???????6????????6 T?m?3???或?m?£?- 2????

41、???2????????2 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ? 6?ù é?6 ? \?m?????-¥,?- ú?U?ê ,?+¥?÷ 2??? ???2 è ? =?1(a?>?b?>?0)?的離心率為? ,直線?l?過(guò)點(diǎn)?A(4,0?),?B?(0,2?)?, 例?8:已知橢圓?C?: x2??y?2 + a?2?b2 1 2 且與橢圓?C?相切于點(diǎn)?P (1)求橢圓?C?的方程 (?2?)?是?否?存?在?過(guò)?點(diǎn)?A(4,0?)?的?直?線?m?與?橢?圓?交?于?不?同?的?兩?點(diǎn)?

42、M?,?N?,?使?得 36?AP?2?=?35?AM?×?AN??若存在,求出直線?m?的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 解(1)?e?= c??1 =??????\?a?:?b?:?c?=?2?:?3?:1 a??2 \?橢圓方程化為: x2???y?2 + 4c2?3c2  =?1?T?3x2?+?4?y?2?=?12c2 \設(shè)直線?l?:??x 消去?y?可得:?3x2?+?4???-????x?+?2?÷??=?12c2 =?1?,且可解得?P??1,???÷ Q?l?過(guò)?A(4,0?),?B?(0,

43、2?) y 1 + =?1?T?y?=?- x?+?2 4 2 2 ì3x2?+?4?y?2?=?12c2 ? ??1 ?2 聯(lián)立直線與橢圓方程:?í 1 ??y?=?-?x?+?2 è?2 ? ? 2 整理可得:?x2?-?2?x?+?4?-?3c2?=?0 Q?l?與橢圓相切于?P \D?=?4?-?4?(4?-?3c?2?)=?0?T?c?=?1 x2 y?2 ??3?? \橢圓方程為: + 4 3 è?2?? )?,由(1)可得:?P???1,?3??÷?, (2)思路:設(shè)直線?m?為?y?=?k?(x?-?4

44、),?M?(x?,?y?),?N?(x?,?y 1 1 2 2  è?2?? 再由?A(4,0?)?可知?AP?2?= 45 4  ,若要求得?k?(或證明不存在滿足條件的?k?),則可通過(guò)等式 36?AP?2?=?35?AM?×?AN?列出關(guān)于?k?的方程。對(duì)于?AM?×?AN?,盡管可以用兩點(diǎn)間距離公 式表示出?AM?,?AN?,但運(yùn)算較為復(fù)雜。觀察圖形特點(diǎn)可知?A,?M?,?N?共線,從而可想到利 u u uuur?uuur uuur?uuur 用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因?yàn)?AM?,?AN?同向,所以?AM?×?AN

45、?=?AM?×?AN?。寫(xiě)出 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 u uuur?uuur AM?,?AN?的坐標(biāo)即可進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,然后再聯(lián)立m?與橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理整體代入即 可得到關(guān)于?k?的方程,求解即可 由(1)可得:?P??1,???÷????3?? 解:由題意可知直線?m?斜率存在,所以設(shè)直線?m?:?y?=?k?(x?-?4),?M?(x?,?y?),?N?(x?,?y 1 1 2 è?2??  2 ) =?(1?-?4)2?+?? -?0?÷ \?AP  2 ??

46、3??? è?2??? 2  = 45 4 u u uuur?uuur uuur?uuur Q?A,?M?,?N?共線且?AM?,?AN?同向 \?AM?×?AN?=?AM?×?AN (x?-?4,?y?),?uANur?=?(x??-?4,?y u uuur AM?=  1?1?2 u  2 ) \?AM?×?AN?=?(x?-?4)(x??-?4)?+?y?y??=?x?x??+?y?y??-?4?(x?+?x?)?+?16 u uuur?uuur 1 2 1?2 1?2 1?2 1

47、 2 聯(lián)立直線?m?與橢圓方程: ???y?=?k?(x?-?4?) ì?3x2?+?4?y?2?=?12 í 消去?y?并整理可得:?(4k?2?+?3)x?2?-?32k?2?x?+?64k?2?-?12?=?0 \?x?+?x?= 1 2 32k?2???????64k?2?-?12 ,?x?x?= 4k?2?+?3?1?2?4k?2?+?3 \?y?×?y?=?k?2?(x?-?4)(x?-?4)?= 1 2 1 2 36k?2 4k?2?+?3 u uuur?uuur 64k?2?-

48、?12 36k?2 32k?2 36?(k?2?+?1) \?AM?×?AN?= + -?4?× +?16?= 4k?2?+?3 4k?2?+?3 4k?2?+?3 4k?2?+?3 Q?36?AP  2?=?35?AM?×?AN  ,代入?AP ??u uuur?uuur?36?(k?2?+?1) 2?=?45?,?AM?×?AN?= 4??????????????4k?2?+?3  可得: 45 36?(k?2?+?1) 36?× =?35?× 4 4k?2?+?3 可解得:?k?2?

49、= 1????????2 T?k?=±???,另一方面, 8????????4 若方程?(4k?2?+?3)x?2?-?32k?2?x?+?64k?2?-?12?=?0?有兩不等實(shí)根 )?-?4?(4k 則?D?=?(32k?2 2  2 +?3)(64k?2?-?12?)>?0 解得:?-??1 y?=? 2 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 1 2

50、?-?2?或?y?=- x?+?2 4 4 例?9:設(shè)橢圓C?: x?2??y?2 + a?2?b2 =?1(a?>?b?>?0)的左,右焦點(diǎn)分別為?F?,?F?,上頂點(diǎn)為?A?,過(guò)點(diǎn)?A 1?2 uuuur uuuur r 與?AF?垂直的直線交?x?軸負(fù)半軸與點(diǎn)?Q ,且?2F?F?+?F?Q?=?0 2 1 2 2 (1)求橢圓?C?的離心率 (2)若過(guò)?A,Q,?F?三點(diǎn)的圓恰好與直線?l?:?x?-?3?y?-?3?=?0?相切,求橢圓?C?的方程 2 (3)在(2)的條件下,過(guò)右焦點(diǎn)?F?作斜率為?k?的直

51、 2 線?l?與橢圓?C?交于?M?,?N?兩點(diǎn),在?x?軸上是否存在點(diǎn) P?(m,0?)?使得以?PM?,?PN?為鄰邊的平行四邊形是菱 形?如果存在,求出?m?的取值范圍;如果不存在,請(qǐng) 說(shuō)明理由 解:(1)依題意設(shè)?A(0,b),?F?(-c,0?),?F?(c,0?),Q?(x?,0?) 1 2 0 uuuur \?F?F?= 1 2 uuuur (2c,0?),?F?Q?=?(x?-?c,0?) 2?0 uuuur?uuuur??r Q?2F?F?+?F?Q?=?0 1?2?2 \?4c?+?x?-?c

52、?=?0?T?x?=?-3c 0 0 \Q?(-3c,0?) AQ??=???b AF2??=- \?k b ,?k 3c???????c  由?AQ?^?AF?可得: 2 k  AQ  ×?k  AF2  =- b2 3c2  =?-1?T?b2?=?3c2 \?a?2?-?c2?=?3c2?T?a?2?=?4c2 \?e?=?1 2 (2)由(1)可得:?a?:?b?:?c?=?2?:?3?:1 2 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的

53、轉(zhuǎn)換 解析幾何 AQ?^?AF 2 \?A,Q,?F?的外接圓的直徑為?QF?,半徑設(shè)為?r 2 2 \Q?(-3c,0?),?F?(c,0?) 2 \?r?=?1?QF?=?2c?,圓心?(-c,0?) 2 由圓與直線相切可得:?d?=?-c?-?3 2  =?2c?T?c?+?3?=?4c , 解得:?c?=?1 \?a?=?2?b?= 3 x?2 y?2 \?橢圓方程為 + 4 3  =?1 (3)由(2)得?F?(-1,0?),?F?(1,0?):設(shè)直線?l?:?

54、y?=?k?(x?-?1) 1 2 設(shè)?M?(x?,?y?),?N?(x?,?y 1 1 2  2 ),若?PM?,?PN?為鄰邊的平行四邊形是菱形 則?P?為?MN?垂直平分線上的點(diǎn) í 1 ??3x?2?+?4?y?2?=?12 ì?3x?2?+?4?y?2?=?12 1 2 2 T?3(x?2?-?x?2?)+?4?(y?2?-?y?2?)=?0 1?????2??????????1??????2 \3(x?+?x 1 2 )(x 1 -?x?)?+?4?(?y?+?y 2?1 

55、2 )(y 1 -?y  2 )?=?0 設(shè)?M?,?N?中點(diǎn)?(x?,?y 0 0 ) 4k k \?3x?+?4ky?=?0?T?y?=?-?3x0 0 0 0 \?MN?的中垂線方程為:?y?-?y?=?- 0  1?(?x?-?x?),即?x?+?ky?-?ky?-?x?=?0 0?0?0 代入?P?(m,0?)?可得:?m?-?ky??-?x??=?0?T?m?=? x??= 1 4 0 8 0 0 1????x?+?x  2 í 聯(lián)立方程:?ì?3

56、x?2?+?4?y?2?=?12?T?(4k?2?+?3)x?2?-?8k?2?x?+?4k?2?-?12?=?0 ???y?=?k?(x?-?1) \?x?+?x?= 1 2 8k?2 4k?2?+?3 =?????? ????0,???÷ 4?+???3 \?m?= k?2??????1??????1?? 4k?2?+?3?è??4?? k?2 所以存在滿足題意的?P?,且?m?的取值范圍是???0,???÷ 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 ? 1?? è 4?? 例?10:已知拋物

57、線?C?:?y2?=?2?px?(?p?>?0)?的焦點(diǎn)為?F?,直線?y?=?4?與?y?軸的交點(diǎn)為?P?,與 拋物線的交點(diǎn)為?Q?,且?QF?= 5 4  PQ (1)求拋物線?C?的方程 (2)過(guò)?F?的直線?l?與拋物線?C?相交于?A,?B?兩點(diǎn),若?AB?垂直平分線?l?'?與?C?相交于?M?,?N?兩 點(diǎn),且?A,?M?,?B,?N?四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,求?l?的方程 解:(1)設(shè)?Q?(x?,4?),可的?42?=?2?px?T?x?= 0 0 0 8 p \?Q??? ,4

58、?÷?? P?(0?,?4) p?????????????? 2?? p?? 2 ??8 ? è?p ? 8??????????????p??8??p \?PQ?=???????QF?=?x?+??=??+ 0  且 5 QF?=??PQ 4 \??8 p 5?8 + = × 解得?p?=?2 p 2 4?p \?拋物線?C?:?y?2?=?4x (2)由(1)可得?F?(1,0) 可設(shè)直線?l?:?x?=?my?+?1 ì?y?2?=?4?x 聯(lián)立方程?í T?y?2?-?4my?-?4?=?0 ??x?=?my?

59、+?1 設(shè)?A(x?,?y?),?B?(x?,?y 1 1 2  2 ),則有?y 1 +?y?=?4m,?y?y?=?-4 2?1?2 設(shè)?l?'?:?(?y?-?2m?)?=?-m?é??x?-??2m2?+?1?ù????整理可得:?x?=?- \?x?+?x?=?m?(?y?+?y?)?+?2?=?4m2?+?2 1 2 1 2 ?????? \?AB?的中點(diǎn)?D?(2m2?+?1,2?m?) m2?+?1?y?-?y?=?4?(m2?+?1) 且?AB?= 1 2 由直線?l?:?x?=?my?+?1?可得?l?

60、'?的斜率為?-m ( )  1 m  y?+?2m2?+?3 與?y?2?=?4x?聯(lián)立消去?x?可得:?y?2?+ 設(shè)?M?(x?,?y?),?N?(x?,?y ) 3 3 4 4 4 m y?-?4?(2m2?+?3)=?0 第九章 第?75?煉?幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換 解析幾何 \?y?+?y?=- 3 4 4 m ,?y?y?=?-4?(2m2?+?3) 3?4

61、 1?(??y??+?y?)?+?4m2?+?6?= m?????????????????? m2 \?x?+?x?=?- 3 4  3?4 4  +?4m2?+?6 \?MN?的中點(diǎn)?E?? m?? ??2 è?m2  +?2m2?+?3,?- 2?? ÷ MN?=?4?(m2?+?1)?2m2?+?1 m2  ,因?yàn)?A,?M?,?B,?N?共圓, 所以?DE??2?+??AD????=?r?2?=??ME 2 2 T?DE?2?+ 1??????1 AB?2?=??MN 4??????4  2 ( ) T???2m?+? ÷??+?? 2?+?2?÷??+?4??m2?+?1 = 2??2 ???2 m?? è?m ? ?2 è ? 整理后可得:?m2?-?1?=?0?T?m?=?±1 \?l?的方程為:?x?-?y?-?1?=?0?或?x?+?y?-?1?=?0 2 4?(m2?+?1)?(2m2?+?1) m4

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