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中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式大匯總（含初中、高中） 初中數(shù)學(xué)常用公式 1、整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無(wú)限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)．如：－3，，0.231，0.737373…，，．無(wú)限不環(huán)循小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．如：π，－，0.1010010001…(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0)．有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)． 2、絕對(duì)值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一個(gè)近似數(shù)，從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字．如：0.05972精確到0.001得0.060，結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6，0． 4、把一個(gè)數(shù)寫成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反過來(lái)就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、冪的運(yùn)算性質(zhì)：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n． ⑥a－n＝，特別：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0時(shí)，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念） 8、一元二次方程：對(duì)于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判別式． 當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．注意：當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根． ②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2，并且二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c可分解為a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b為根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即一次函數(shù)在y軸上的截距)．當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小(直線從左向右下降)．特別：當(dāng)b＝0時(shí)，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例)，圖象必過原點(diǎn)． 10、反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象叫做雙曲線．當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi)，從左向右降)；當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)．因此，它的增減性與一次函數(shù)相反． 11、統(tǒng)計(jì)初步：（1）概念：①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體．從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量．②在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè))，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． （2）公式：設(shè)有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么： ①平均數(shù)為：； ②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值； ③方差：數(shù)據(jù)、……, 的方差為，則= 標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.數(shù)據(jù)、……, 的標(biāo)準(zhǔn)差，則= 一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。 12、頻率與概率： （1）頻率=，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1，頻率分布直方圖中各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。 （2）概率①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0； ②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。 ③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值； 13、銳角三角函數(shù)： ①設(shè)∠A是Rt△ABC的任一銳角，則∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA． h l α ③特殊角的三角函數(shù)值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，sin60o＝cos30o＝， tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝． ④斜坡的坡度：i＝＝．設(shè)坡角為α，則i＝tanα＝． 14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)： （1）對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（a，b），則P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P1（a，－b），P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2（－a，b），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3（－a，－b）. （2）坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（a，b）向左平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a－h(huán)，b），向右平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a＋h，b）；向上平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b＋h），向下平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b－h(huán)）.如：點(diǎn)A（2，－1）向上平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳（7，1）. 15、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)： 1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù). 2.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). ①的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. ②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下： 函數(shù)解析式 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 當(dāng)時(shí) 開口向上 當(dāng)時(shí) 開口向下 （軸） （0,0） （軸） (0, ) (,0) (,) () 4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 （1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 若已知拋物線上兩點(diǎn)（及y值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為： 9.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線 ，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 . 11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：. 12.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： ①有兩個(gè)交點(diǎn)()拋物線與軸相交； ②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）()拋物線與軸相切； ③沒有交點(diǎn)()拋物線與軸相離. （3）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（2）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐 標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （4）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); ②方 程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)與沒有交點(diǎn). （5）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，則 1、多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)180o（n≥3，n是正整數(shù)），外角和等于360o 2、平行線分線段成比例定理： （1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 如圖：a∥b∥c，直線l1與l2分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)A、B、C D、E、F，則有 （2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 如圖：△ABC中，DE∥BC，DE與AB、AC相交與點(diǎn)D、E，則有： ＊3、直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，則有： （1）（2）（3） 4、圓的有關(guān)性質(zhì)： （1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的劣??；⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì)．注：具備①，③時(shí)，弦不能是直徑．（2）兩條平行弦所夾的弧相等．（3）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．（4）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．（5）圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半．（6）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．（8）90o的圓周角所對(duì)的弦是直徑，反之，直徑所對(duì)的圓周角是90o，直徑是最長(zhǎng)的弦．（9）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)． 5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn)． 常見結(jié)論：（1）Rt△ABC的三條邊分別為：a、b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑； （2）△ABC的周長(zhǎng)為，面積為S，其內(nèi)切圓的半徑為r，則 ＊6、弦切角定理及其推論： （1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：∠PAC為弦切角。 O P B C A （2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，則 推論：弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角（作用證明角相等） 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，則 ＊7、相交弦定理、割線定理、切割線定理： 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 如圖①，即：PA·PB = PC·PD 割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 如圖②，即：PA·PB = PC·PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。如圖③，即：PC2 = PA·PB ① ② ③ 8、面積公式： ①S正△＝×(邊長(zhǎng))2．  ②S平行四邊形＝底×高． ③S菱形＝底×高＝×(對(duì)角線的積)， ④S圓＝πR2． ⑤l圓周長(zhǎng)＝2πR． ⑥弧長(zhǎng)L＝．  ⑦ ⑧S圓柱側(cè)＝底面周長(zhǎng)×高＝2πrh，S全面積＝S側(cè)＋S底＝2πrh＋2πr2 ⑨S圓錐側(cè)＝×底面周長(zhǎng)×母線＝πrb， S全面積＝S側(cè)＋S底＝πrb＋πr2 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 1. 元素與集合的關(guān)系 ,. 2.德摩根公式 . 3.包含關(guān)系 4.容斥原理 . 5．集合的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有 –1個(gè)；非空的真子集有–2個(gè). 6.二次函數(shù)的解析式的三種形式 (1)一般式; (2)頂點(diǎn)式; (3)零點(diǎn)式. 7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式 . 8.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且. 9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下： (1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則； ，，. (2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則，若，則，. 10.一元二次方程的實(shí)根分布 依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 設(shè)，則 （1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或； （3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或 . 11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù) (1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (3)恒成立的充要條件是或. 12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常見結(jié)論的否定形式 原結(jié)論 反設(shè)詞 原結(jié)論 反設(shè)詞 是 不是 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒有 都是 不都是 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 大于 不大于 至少有個(gè) 至多有（）個(gè) 小于 不小于 至多有個(gè) 至少有（）個(gè) 對(duì)所有，成立 存在某，不成立 或 且 對(duì)任何，不成立 存在某，成立 且 或 14.四種命題的相互關(guān)系 原命題　　　　　　　互逆 逆命題 若ｐ則ｑ　　　　　　　　若ｑ則ｐ 　　　　　　　互　　　　　　　互 　　互　　　　　　　　為　　　為互 　　否　　　　　　　　　　　　　否 　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　否　　　　　　 否 否命題　　　　　　　　逆否命題　　　 若非ｐ則非ｑ　　　　互逆若非ｑ則非ｐ 15.充要條件 （1）充分條件：若，則是充分條件. （2）必要條件：若，則是必要條件. （3）充要條件：若，且，則是充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 16.函數(shù)的單調(diào)性 (1)設(shè)那么 上是增函數(shù)； 上是減函數(shù). (2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù). 17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù). 18．奇偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)． 19.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則. 20.對(duì)于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對(duì)稱軸是函數(shù);兩個(gè)函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 21.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱; 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù). 22．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性 多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 23.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性 (1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 . (2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 . 24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性 (1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱. (2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱. (3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱. 25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象. 26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 . 27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù). 28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程 (1)正比例函數(shù),. (2)指數(shù)函數(shù),. (3)對(duì)數(shù)函數(shù),. (4)冪函數(shù),. (5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，， . 29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0) （1），則的周期T=a； （2）， 或， 或, 或,則的周期T=2a； (3)，則的周期T=3a； (4)且，則的周期T=4a； (5) ,則的周期T=5a； (6)，則的周期T=6a. 30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）. (2)（，且）. 31．根式的性質(zhì) （1）. （2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，. 32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1) . (2) . (3). 注： 若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用. 33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 . 34.對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,,且, ). 推論 (,且,,且,, ). 35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則 (1); (2) ; (3). 36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn). 37. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣 若,,,,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù). ， (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù). 推論:設(shè)，，，且，則 （1）.（2）. 38. 平均增長(zhǎng)率的問題 如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有. 39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系 ( 數(shù)列的前n項(xiàng)的和為). 40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ； 其前n項(xiàng)和公式為. 41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式； 其前n項(xiàng)的和公式為 或. 42.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為 ； 其前n項(xiàng)和公式為. 43.分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為). 44．常見三角不等式 （1）若，則. (2) 若，則. (3) . 45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，. 46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) 47.和角與差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . .. 50.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期. 51.正弦定理? . 52.余弦定理 ; ; . 53.面積定理 （1）（分別表示a、b、c邊上的高）. （2）. (3). 54.三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中，有 . 55. 簡(jiǎn)單的三角方程的通解 . . . 特別地,有 . . . 56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么 (1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律： (1) a·b= b·a （交換律）; (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理? 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2． 不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 60．向量平行的坐標(biāo)表示?? 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0). 53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積． 62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)設(shè)a=,b=，則a+b=. (2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則. (4)設(shè)a=，則a=. (5)設(shè)a=,b=，則a·b=. 63.兩向量的夾角公式 (a=,b=). 64.平面兩點(diǎn)間的距離公式 =(A，B). 65.向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則 A||bb=λa . ab(a0)a·b=0. 66.線段的定比分公式 ? 設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則 （）. 67.三角形的重心坐標(biāo)公式 △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是. 68.點(diǎn)的平移公式 . 注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為. 69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論 （1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn). (2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為. (3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為. (4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為. (5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=. 70. 三角形五“心”向量形式的充要條件 設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則 （1）為的外心. （2）為的重心. （3）為的垂心. （4）為的內(nèi)心. （5）為的的旁心. 71.常用不等式： （1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))． （2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))． （3） （4）柯西不等式 （5）. 72.極值定理 已知都是正數(shù)，則有 （1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值； （2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值. 推廣 已知，則有 （1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大； 當(dāng)最小時(shí),最小. （2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí), 最??； 當(dāng)最小時(shí), 最大. 73.一元二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間. ； . 74.含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a> 0時(shí)，有. 或. 75.無(wú)理不等式 （1） . （2）. （3）. 76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式 (1)當(dāng)時(shí), ; . (2)當(dāng)時(shí), ; 77.斜率公式 （、）. 78.直線的五種方程 （1）點(diǎn)斜式 (直線過點(diǎn)，且斜率為)． （2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距). （3）兩點(diǎn)式 ()(、 ()). (4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，) （5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0). 79.兩條直線的平行和垂直 (1)若， ①; ②. (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零, ①； ②； 80.夾角公式 (1). (，,) (2). (,,). 直線時(shí)，直線l1與l2的夾角是. 81. 到的角公式 (1).(，,) (2). (,,). 直線時(shí)，直線l1到l2的角是. 82．四種常用直線系方程 (1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)． (2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)． (3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量． (4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量． 83.點(diǎn)到直線的距離 (點(diǎn),直線：). 84. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是： 若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下. 若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域. 簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左. 85. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)曲線（），則 或所表示的平面區(qū)域是： 所表示的平面區(qū)域上下兩部分； 所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程 （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . （2）圓的一般方程 (＞0). （3）圓的參數(shù)方程 . （4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、). 87. 圓系方程 (1)過點(diǎn),的圓系方程是 ,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)． (2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． (3) 過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． 88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種 若，則 點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi). 89.直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有三種: ; ; . 其中. 90.兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2， ; ; ; ; . 91.圓的切線方程 (1)已知圓． ①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是 . 當(dāng)圓外時(shí), 表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程． ②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線． ③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線． (2)已知圓． ①過圓上的點(diǎn)的切線方程為; ②斜率為的圓的切線方程為. 92.橢圓的參數(shù)方程是. 93.橢圓焦半徑公式 ，. 94．橢圓的的內(nèi)外部 （1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部. （2）點(diǎn)在橢圓的外部. 95. 橢圓的切線方程 (1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 . （3）橢圓與直線相切的條件是. 96.雙曲線的焦半徑公式 ，. 97.雙曲線的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部. (2)點(diǎn)在雙曲線的外部. 98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程：. (2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為. (3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）. 99. 雙曲線的切線方程 (1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 . （3）雙曲線與直線相切的條件是. 100. 拋物線的焦半徑公式 拋物線焦半徑. 過焦點(diǎn)弦長(zhǎng). 101.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或 P，其中 . 102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是. 103.拋物線的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. (4) 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部. 點(diǎn)在拋物線的外部. 104. 拋物線的切線方程 (1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. （3）拋物線與直線相切的條件是. 105.兩個(gè)常見的曲線系方程 (1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是 (為參數(shù)). (2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線. 106.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 或 （弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. 107.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題 （1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是. （2）曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是 . 108.“四線”一方程 對(duì)于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程 ，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到. 109．證明直線與直線的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行； （4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行. 110．證明直線與平面的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行. 111．證明平面與平面平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)； （2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直. 112．證明直線與直線的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直； （4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直. 113．證明直線與平面垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直； （2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直； （3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行； （4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面； （5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直. 114．證明平面與平面的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角； （2）轉(zhuǎn)化為線面垂直. 115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律 (1)加法交換律：a＋b=b＋a． (2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣 始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量. 117.共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb． 三點(diǎn)共線. 、共線且不共線且不共線. 118.共面向量定理 向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì),使． 推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使， 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)，使. 119.對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足（），則當(dāng)時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面． 四點(diǎn)共面與、共面 （平面ABC）. 120.空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc． 推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使. 121.射影公式 已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則 〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)a＝，b＝則 (1)a＋b＝；(2)a－b＝； (3)λa＝ (λ∈R)；(4)a·b＝； 123.設(shè)A，B，則 = . 124．空間的線線平行或垂直 設(shè)，，則 ； . 125.夾角公式 設(shè)a＝，b＝，則 cos〈a，b〉=. 推論 ，此即三維柯西不等式. 126. 四面體的對(duì)棱所成的角 四面體中, 與所成的角為,則 . 127．異面直線所成角 = （其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量） 128.直線與平面所成角 (為平面的法向量). 129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則 . 特別地,當(dāng)時(shí),有 . 130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則 . 特別地,當(dāng)時(shí),有 . 131.二面角的平面角 或（，為平面，的法向量）. 132.三余弦定理 設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則. 133. 三射線定理 若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ; (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立). 134.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若A，B，則 =. 135.點(diǎn)到直線距離 (點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=). 136.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離). 137.點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）. 138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式 . . （）. (兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,,). 139.三個(gè)向量和的平方公式 140. 長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有 . （立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）. 141. 面積射影定理 . (平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長(zhǎng)和面積分別是和,則 ①.②. 143．作截面的依據(jù) 三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行. 144．棱錐的平行截面的性質(zhì) 如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比． 145.歐拉定理(歐拉公式) (簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F). （1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：； （2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：. 146.球的半徑是R，則 其體積,其表面積． 147.球的組合體 (1)球與長(zhǎng)方體的組合體: 長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng). (2)球與正方體的組合體: 正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng). (3) 球與正四面體的組合體: 棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為. 148．柱體、錐體的體積 （是柱體的底面積、是柱體的高）. （是錐體的底面積、是錐體的高）. 149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理） . 150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理） . 151.排列數(shù)公式 ==.(，∈N*，且)． 注:規(guī)定. 152.排列恒等式 (1）;（2）; （3）; （4）; （5）.(6) . 153.組合數(shù)公式 ===(∈N*，，且). 154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) (1)= ; (2) +=. 注:規(guī)定. 155.組合恒等式 （1）;（2）;（3）; （4）=;（5）. (6). (7). (8). (9). (10). 156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 . 157．單條件排列 以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列. （1）“在位”與“不在位” ①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種. （2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰） ①定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種. ②浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法； ③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種. （3）兩組元素各相同的插空 個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？ 當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有種排法. （4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為. 158．分配問題 （1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有. （2）(平均分組無(wú)歸屬問題)將相異的·個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的堆，其分配方法數(shù)共有 . （3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有. （4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有 . （5）(非平均分組無(wú)歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無(wú)記號(hào)的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有. （6）(非完全平均分組無(wú)歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無(wú)記號(hào)的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有. （7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，……等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時(shí)，則無(wú)論，，…，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有 . 159．“錯(cuò)位問題”及其推廣 貝努利裝錯(cuò)箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為 . 推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為 . 160．不定方程的解的個(gè)數(shù) (1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè). (2) 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè). (3) 方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè). (4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個(gè). 161.二項(xiàng)式定理 ; 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 . 162.等可能性事件的概率. 163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率 168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì) （1）;（2）. 169.數(shù)學(xué)期望 170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （1）.（2）若～,則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 171.方差 172.標(biāo)準(zhǔn)差 =. 173.方差的性質(zhì) (1)；(2）若～，則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 174.方差與期望的關(guān)系 . 175.正態(tài)分布密度函數(shù) ，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差. 176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù) . 177.對(duì)于，取值小于x的概率 . . 178.回歸直線方程 ，其中. 179.相關(guān)系數(shù) . |r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小. 180.特殊數(shù)列的極限 （1）. （2）. （3）（無(wú)窮等比數(shù)列 ()的和）. 181. 函數(shù)的極限定理 . 182.函數(shù)的夾逼性定理 如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足： （1）; （2）（常數(shù)）, 則. 本定理對(duì)于單側(cè)極限和的情況仍然成立. 183.幾個(gè)常用極限 （1），（）；（2），. 184.兩個(gè)重要的極限 （1）；（2）(e=2.718281845…). 185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 若，，則(1)； (2);(3). 186.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則 若，則(1)； (2)；(3) (4)( c是常數(shù)). 187.在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商） . 188.瞬時(shí)速度 . 189.瞬時(shí)加速度 . 190.在的導(dǎo)數(shù) . 191. 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是. 192.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) （C為常數(shù)）.(2) .(3) . (4) . (5) ；. (6) ; . 193.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 （1）.（2）.（3）. 194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽? 195.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)充小時(shí)） (1);；(2)； ； (3)；(4)；(5)（為弧度）； (6)（為弧度）；(7)（為弧度） 196.判別是極大（?。┲档姆椒? 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)， （1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值； （2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值. 197.復(fù)數(shù)的相等 .（） 198.復(fù)數(shù)的模（或絕對(duì)值） ==. 199.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則 (1); (2); (3); (4). 200.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律 對(duì)于任何，有 交換律:. 結(jié)合律:. 分配律: . 201.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式 （，）. 202.向量的垂直 非零復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則 的實(shí)部為零為純虛數(shù) (λ為非零實(shí)數(shù)). 203.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解 實(shí)系數(shù)一元二次方程， ①若,則; ②若,則; ③若，它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根. 42