《（全國通用）高考數學二輪復習 板塊三 專題突破核心考點 專題六 函數與導數 第4講 導數的熱點問題課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用）高考數學二輪復習 板塊三 專題突破核心考點 專題六 函數與導數 第4講 導數的熱點問題課件（54頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第4講導數的熱點問題專題六函數與導數板塊三專題突破核心考點考情考向分析利用導數探求函數的極值、最值是函數的基本問題，高考中常與函數零點、方程根及不等式相結合，難度較大.熱點分類突破真題押題精練內容索引熱點分類突破用導數證明不等式是導數的應用之一，可以間接考查用導數判定函數的單調性或求函數的最值，以及構造函數解題的能力.熱點一利用導數證明不等式解答例例1(2018湖南長沙雅禮中學、河南省實驗中學聯(lián)考)已知函數f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e為自然對數的底數)，若f(x)0對于xR恒成立.(1)求實數a的值；解解由f(x)ex(aexax)0對于xR恒成立，設函數g(x)aex

2、ax，可得g(x)aexax0對于xR恒成立，g(0)0，g(x)g(0)，從而x0是g(x)的一個極小值點，g(x)aex1，g(0)a10，即a1.當a1時，g(x)ex1x，g(x)ex1，x(，0)時，g(x)0，g(x)在(0，)上單調遞增，g(x)g(0)0，故a1.證明證明證明當a1時，f(x)e2xexxex，f(x)ex(2exx2).令h(x)2exx2，則h(x)2ex1，當x(，ln 2)時，h(x)0，h(x)在(ln 2，)上為增函數，h(1)0，在(2，1)上存在xx0滿足h(x0)0，h(x)在(，ln 2)上為減函數，當x(，x0)時，h(x)0，即f(x)0

3、，f(x)在(，x0)上為增函數，當x(x0，ln 2)時，h(x)0，即f(x)0，f(x)在(x0，ln 2)上為減函數，當x(ln 2,0)時，h(x)h(0)0，即f(x)h(0)0，即f(x)0，f(x)在(0，)上為增函數，f(x)在(ln 2，)上只有一個極小值點0，綜上可知，f(x)存在唯一的極大值點x0，且x0(2，1).h(x0)0，2 x020，0ex00020eeexxxx用導數證明不等式的方法(1)利用單調性：若f(x)在a，b上是增函數，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)；對x1，x2a，b，且x1x2，則f(x1)f(x2).對于減函數有類似結論.(2)利用最

4、值：若f(x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m)，則對xD，有f(x)M(或f(x)m).(3)證明f(x)g(x)，可構造函數F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練1(2018荊州質檢)已知函數f(x)axln x.(1)討論f(x)的單調性；當a0時，則f(x)0時，綜上當a0時，f(x)在(0，)上單調遞減；證明證明證明令g(x)f(x)2axxeax1xeax1axln x，設r(x)xeax11(x0)，則r(x)(1ax)eax1(x0)，eax10，h(t)h(e2)0；g(x)0，故f(x)2axxeax1.熱點二利用導數討論方程根的

5、個數方程的根、函數的零點、函數圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數的單調性、極值與最值，畫出函數圖象的走勢，通過數形結合思想直觀求解.解答例例2(2018衡水金卷分科綜合卷)設函數f(x)ex2aln(xa)，aR，e為自然對數的底數.(1)若a0，且函數f(x)在區(qū)間0，)內單調遞增，求實數a的取值范圍；解解函數f(x)在0，)內單調遞增，即aexx在0，)內恒成立.記g(x)exx，則g(x)ex10恒成立，g(x)在區(qū)間0，)內單調遞減，g(x)g(0)1，a1，即實數a的取值范圍為1，).解答知f(x)在區(qū)間(a，)內單調遞增.f(x)在區(qū)間(a，)內存在

6、唯一的零點x0，0ex當axx0時，f(x)x0時，f(x)0，f(x)單調遞增.f(x)minf(x0)2aln(x0a)0ex當且僅當x0a1時，取等號.f(x)minf(x0)0，即函數f(x)沒有零點.0ex(1)函數yf(x)k的零點問題，可轉化為函數yf(x)和直線yk的交點問題.(2)研究函數yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練2(2018全國)已知函數f(x)exax2.(1)若a1，證明：當x0時，f(x)1；證明證明證明當a1時，f(x)1等價于(x21)ex10.設函數g(x)(x21)ex1，則g(x)(

7、x22x1)ex(x1)2ex.當x1時，g(x)0，h(x)沒有零點；()當a0時，h(x)ax(x2)ex.當x(0,2)時，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，)上單調遞增.因為h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一個零點；由(1)知，當x0時，exx2，故h(x)在(2,4a)上有一個零點.因此h(x)在(0，)上有兩個零點.生活中的實際問題受某些主要變量的制約，解決生活中的優(yōu)化問題就是把制約問題的主要變量找出來，建立目標問題即關于這個變量的函數，然后通過研究這個函數的性質，從而找到變量在什么情況下可以達到目標最優(yōu).熱點三利用導數解決生活中的優(yōu)化問題解答例例3羅

8、源濱海新城建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為32萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2 )x萬元.假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元.(1)試寫出y關于x的函數關系式；解解設需新建n個橋墩，解答(2)當m96米時，需新建多少個橋墩才能使余下工程的費用y最?。?2x令f(x)0，得 64，所以x16.當0 x16時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,16)內為減函數；當16x0，f(x)在區(qū)間(16,96)內為增函數，所以f(x)在x16處取得最小值，32x答答需

9、新建5個橋墩才能使余下工程的費用y最小.利用導數解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系式y(tǒng)f(x).(2)求導：求函數的導數f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)作答：回歸實際問題作答.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練3圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.若凹槽的強度T等于橫截面的面積S與邊AB的乘積，設

10、AB2x，BCy.(1)寫出y關于x的函數表達式，并指出x的取值范圍；解解易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為x.所以42x2yx，解答(2)求當x取何值時，凹槽的強度最大.8x2(43)x3.令T16x3(43)x20，真題押題精練(2017全國)已知函數f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調性；真題體驗解答解解f(x)的定義域為(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0，則f(x)0，則由f(x)0，得xln a.當x(，ln a)時，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上單調遞減，在(ln a，)上單調遞增.(2)若f(

11、x)有兩個零點，求a的取值范圍.解答解解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一個零點.(ii)若a0，由(1)知，當xln a時，即f(ln a)0，故f(x)沒有零點；當a1時，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個零點；又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一個零點.因此f(x)在(ln a，)上有一個零點.綜上，a的取值范圍為(0,1).則f(n0)(a a2)n0 n0 n00.0en0en0en02n押題預測已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函數.(1)若0a1，證明：函數G(x)f(1x)g(x

12、)在區(qū)間(0,1)上是增函數；押題依據押題依據有關導數的綜合應用試題多考查導數的幾何意義、導數與函數的單調性、導數與不等式等基礎知識和基本方法，考查分類整合思想、轉化與化歸思想等數學思想方法.本題的命制正是根據這個要求進行的，全面考查了考生綜合求解問題的能力.證明押題依據證明證明由題意知G(x)asin(1x)ln x，acos(1x)0，故函數G(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數.證明證明證明由(1)知，當a1時，G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上單調遞增.sin(1x)ln x0，m0恒成立，求滿足條件的最小整數b的值.解解由對任意的x0，m0恒成立，即當x(0，)時，F(x)min0.又設h(x)F(x)ex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)單調遞增，又h(0)0，則必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，)上單調遞增，b 2x0200200e2e2xxxx又m0，則x0(0，ln 2)，0ex0ex0ex0ex0exm(x)在(0，ln 2)上單調遞增，m(x)在(0，ln 2)上單調遞增，m(x)m(ln 2)2ln 2，b2ln 2，又b為整數，最小整數b的值為2.