《數(shù)學(xué)史簡介ppt[共142頁]》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)史簡介ppt[共142頁]（142頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1奇妙數(shù)學(xué)史2老師眼中的數(shù)學(xué)爸媽眼中的數(shù)學(xué)3456 其實你了解到的數(shù)學(xué)，僅限于數(shù)學(xué)知識 數(shù)學(xué)這門學(xué)科涵蓋的內(nèi)容是非常豐富的 下面一一道來7數(shù)學(xué)史的分期數(shù)學(xué)史的分期8第一章：史前數(shù)學(xué)主要是對數(shù)的認(rèn)識 這種認(rèn)識跨越幾萬年，直到18世紀(jì)910111213141516171819202111010022232425進(jìn)位制：史上曾經(jīng)有過二進(jìn)制，五進(jìn)制，十進(jìn)制，十二進(jìn)制，十六進(jìn)制，二十進(jìn)制、六十進(jìn)制。漢字一二三四五六七八九十對十進(jìn)制的貢獻(xiàn) 長期運(yùn)用后留下二進(jìn)制十進(jìn)制 據(jù)推測五進(jìn)制十進(jìn)制與人的手指個數(shù)有關(guān)26現(xiàn)代澳大利亞托列斯峽群島上一些部落仍用二進(jìn)制：一=烏拉勃，二=阿柯扎他們把三表為：阿柯扎烏拉勃那么：

2、阿柯扎阿柯扎？阿柯扎阿柯扎烏拉勃?阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?27“0”不是印度人或阿拉伯人的發(fā)明“0”太重要了，一無所有為零 零是自然數(shù) 據(jù)考證“0”首次出現(xiàn)在柬埔寨蘇門答臘的碑文上 進(jìn)位制是人類共同財產(chǎn)28我們學(xué)過的數(shù)被分為兩類：有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)我們學(xué)過的數(shù)被分為兩類：有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)如如2，12.35，72.632632632，-106.444444，等等。，等等。在數(shù)學(xué)上可以證明，無論是整數(shù)、有限小數(shù)還是無限在數(shù)學(xué)上可以證明，無論是整數(shù)、有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)都可以用一個分?jǐn)?shù)表示（分母允許取循環(huán)小數(shù)都可以用一個分?jǐn)?shù)表示（分母允許取1），即有理數(shù)都可以表示成），即有理數(shù)都可以表示

3、成 的形式，且可以的形式，且可以使使m,n沒有大于沒有大于1的公約數(shù)。無理數(shù)不能用此形式來表的公約數(shù)。無理數(shù)不能用此形式來表示，不是有理數(shù)的實數(shù)為無理數(shù)。示，不是有理數(shù)的實數(shù)為無理數(shù)。mn29無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的發(fā)現(xiàn) 希臘文明是人類文化史上最光輝的一頁。大約在公希臘文明是人類文化史上最光輝的一頁。大約在公元前元前1200年至公元前年至公元前1000年間，希臘部落愛奧尼亞人年間，希臘部落愛奧尼亞人遷徙到包括愛琴海東部諸島嶼在內(nèi)的小亞細(xì)亞西部地遷徙到包括愛琴海東部諸島嶼在內(nèi)的小亞細(xì)亞西部地方。由于海上交通的方便，使得它容易接受巴比倫、方。由于海上交通的方便，使得它容易接受巴比倫、埃及等古代的先進(jìn)文

4、化，最終形成了后來影響歐洲乃埃及等古代的先進(jìn)文化，最終形成了后來影響歐洲乃至整個世界的燦爛文化。至整個世界的燦爛文化。希臘文明最為突出的是其具有高度的理性化與抽象希臘文明最為突出的是其具有高度的理性化與抽象化，在希臘學(xué)術(shù)傳統(tǒng)中，哲學(xué)、幾何學(xué)、藝術(shù)和邏輯化，在希臘學(xué)術(shù)傳統(tǒng)中，哲學(xué)、幾何學(xué)、藝術(shù)和邏輯學(xué)的成就最高。學(xué)的成就最高。30 畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯(約前約前560年年-約前約前480年年)學(xué)派是繼以泰勒學(xué)派是繼以泰勒斯為代表的愛奧尼亞學(xué)派之后，希臘第二個重要學(xué)派，斯為代表的愛奧尼亞學(xué)派之后，希臘第二個重要學(xué)派，它延續(xù)了兩個世紀(jì)，在希臘有很大的影響。它有著帶有它延續(xù)了兩個世紀(jì)，在希臘有很大的影

5、響。它有著帶有濃厚宗教色彩的嚴(yán)密組織，屬于唯心主義學(xué)派。他們相濃厚宗教色彩的嚴(yán)密組織，屬于唯心主義學(xué)派。他們相信依靠數(shù)學(xué)可使靈魂升華，與上帝融為一體，從而數(shù)學(xué)信依靠數(shù)學(xué)可使靈魂升華，與上帝融為一體，從而數(shù)學(xué)是其教義的一部分。他們在數(shù)學(xué)上最大的貢獻(xiàn)是證明了是其教義的一部分。他們在數(shù)學(xué)上最大的貢獻(xiàn)是證明了直角三角形三邊關(guān)系的勾股定理，故西方稱之為畢達(dá)哥直角三角形三邊關(guān)系的勾股定理，故西方稱之為畢達(dá)哥拉斯定理。拉斯定理。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條是，世界萬物都是可以用數(shù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條是，世界萬物都是可以用數(shù)來表示的。他們所稱的數(shù)就是自然數(shù)和分?jǐn)?shù)。實際上分來表示的。他們所稱的數(shù)就是自然數(shù)和分?jǐn)?shù)。實際上

6、分?jǐn)?shù)也是自然數(shù)的結(jié)果。他們將這種數(shù)的理論應(yīng)用于幾何，數(shù)也是自然數(shù)的結(jié)果。他們將這種數(shù)的理論應(yīng)用于幾何，認(rèn)為，對于任何兩條線段，總可找到一條同時量盡它們認(rèn)為，對于任何兩條線段，總可找到一條同時量盡它們的單位線段，并稱此兩線段為可公度的。這種可公度性的單位線段，并稱此兩線段為可公度的。這種可公度性等價于等價于“任何兩條線段之比為有理數(shù)任何兩條線段之比為有理數(shù)”。他們在幾何推。他們在幾何推理中總是使用這條可公度性假定。理中總是使用這條可公度性假定。31 公元前公元前4世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒希帕索斯希帕索斯發(fā)現(xiàn)存在某些線段之間是不可公度的，例如正方形發(fā)現(xiàn)存在某些線段之間是

7、不可公度的，例如正方形的邊長與其對角線之間就是不可公度。根據(jù)畢達(dá)哥的邊長與其對角線之間就是不可公度。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理容易發(fā)現(xiàn)，它們之比并非是自然數(shù)之比。拉斯定理容易發(fā)現(xiàn)，它們之比并非是自然數(shù)之比。據(jù)說，由于希帕索斯的這一發(fā)現(xiàn)，觸犯了畢達(dá)哥拉據(jù)說，由于希帕索斯的這一發(fā)現(xiàn)，觸犯了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條而被視為異端，為此他被其同伴拋進(jìn)斯學(xué)派的信條而被視為異端，為此他被其同伴拋進(jìn)大海。因為他竟然在宇宙間搞出這樣一個東西，否大海。因為他竟然在宇宙間搞出這樣一個東西，否定了畢氏學(xué)派的信念。他們要把發(fā)現(xiàn)的秘密和他們定了畢氏學(xué)派的信念。他們要把發(fā)現(xiàn)的秘密和他們的困惑一起拋入大海，永不泄露。的困惑一起拋入大海，

8、永不泄露。32 雖然畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，但他們卻嚴(yán)雖然畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，但他們卻嚴(yán)禁泄露這一重要的發(fā)現(xiàn)，原因是這一發(fā)現(xiàn)徹底摧毀禁泄露這一重要的發(fā)現(xiàn)，原因是這一發(fā)現(xiàn)徹底摧毀了學(xué)派賴以安身立命的根本信念：了學(xué)派賴以安身立命的根本信念：“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”。他們認(rèn)為：他們認(rèn)為：“人們所知道的一切事物都包含數(shù)，因人們所知道的一切事物都包含數(shù)，因此，沒有數(shù)既不可能表達(dá)，也不可能理解任何事此，沒有數(shù)既不可能表達(dá)，也不可能理解任何事物物”。但要注意，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說的數(shù)僅指整。但要注意，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說的數(shù)僅指整數(shù)，而分?jǐn)?shù)是被看作兩個整數(shù)之比。但是很不幸，數(shù)，而分?jǐn)?shù)是被看作兩個整數(shù)之比

9、。但是很不幸，是他們自己發(fā)現(xiàn)了正方形的對角線與邊的長度之比是他們自己發(fā)現(xiàn)了正方形的對角線與邊的長度之比不能用整數(shù)或整數(shù)之比（即現(xiàn)在所說的有理數(shù)）表不能用整數(shù)或整數(shù)之比（即現(xiàn)在所說的有理數(shù)）表示，也就是找不到一個數(shù)（指整數(shù)或整數(shù)之比，即示，也就是找不到一個數(shù)（指整數(shù)或整數(shù)之比，即有理數(shù)）使它平方后等于有理數(shù)）使它平方后等于2，這就動搖了他們，這就動搖了他們“萬物萬物皆數(shù)皆數(shù)”的根本信念。他們無法解釋到底世界發(fā)生了的根本信念。他們無法解釋到底世界發(fā)生了什么事情，學(xué)派內(nèi)部引起了極大的思想混亂。什么事情，學(xué)派內(nèi)部引起了極大的思想混亂。33 然而真理是不會被淹沒的。人們很快發(fā)現(xiàn)不可公然而真理是不會被淹沒

10、的。人們很快發(fā)現(xiàn)不可公度并非罕見：面積等于度并非罕見：面積等于3，5，6，17的正方形的的正方形的邊與單位正方形的邊也不可公度。邊與單位正方形的邊也不可公度。新的問題促使人們重新認(rèn)識曾經(jīng)被看成是完美無缺的新的問題促使人們重新認(rèn)識曾經(jīng)被看成是完美無缺的有理數(shù)論，數(shù)學(xué)發(fā)展出現(xiàn)了有理數(shù)論，數(shù)學(xué)發(fā)展出現(xiàn)了“第一次危機(jī)第一次危機(jī)”，這次危，這次危機(jī)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派迅速瓦解。它對古希臘的數(shù)學(xué)觀機(jī)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派迅速瓦解。它對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有著極大的沖擊，整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)。于是點有著極大的沖擊，整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)。于是幾何開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位，同時，人們開幾何開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位

11、，同時，人們開始不得不懷疑直覺和經(jīng)驗的可靠性，從此希臘幾何開始不得不懷疑直覺和經(jīng)驗的可靠性，從此希臘幾何開始走向公理化的演繹形式。始走向公理化的演繹形式。隨著對于數(shù)的認(rèn)識的發(fā)展，無理數(shù)終于在人們心目隨著對于數(shù)的認(rèn)識的發(fā)展，無理數(shù)終于在人們心目中取得合法地位，并逐漸發(fā)展了實數(shù)的嚴(yán)格理論。關(guān)中取得合法地位，并逐漸發(fā)展了實數(shù)的嚴(yán)格理論。關(guān)于實數(shù)理論現(xiàn)在已廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)和日常生活之于實數(shù)理論現(xiàn)在已廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)和日常生活之中。中。34中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的無理數(shù)產(chǎn)生于開方不盡和圓中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的無理數(shù)產(chǎn)生于開方不盡和圓周率的計算。不過由于中國古算與古希臘數(shù)學(xué)有周率的計算。不過由于中國古算與古希臘數(shù)學(xué)

12、有著不同的傳統(tǒng)，希臘人總是將數(shù)與形截然分開，著不同的傳統(tǒng)，希臘人總是將數(shù)與形截然分開，對涉及無限的問題總是持有恐懼的態(tài)度。中國算對涉及無限的問題總是持有恐懼的態(tài)度。中國算學(xué)中數(shù)與形是有機(jī)統(tǒng)一的，中國人自始至終對關(guān)學(xué)中數(shù)與形是有機(jī)統(tǒng)一的，中國人自始至終對關(guān)于無限的問題總是泰然處之，能夠正視無理數(shù)。于無限的問題總是泰然處之，能夠正視無理數(shù)。35奇妙的自然數(shù)奇妙的自然數(shù) 1,2,3,4,5,這些簡簡單單的自然數(shù)，這些簡簡單單的自然數(shù)，是我們從呀呀學(xué)語開始就認(rèn)識的。它們是那樣是我們從呀呀學(xué)語開始就認(rèn)識的。它們是那樣自自然然，因而顯得平淡無奇。但我們?nèi)绻J(rèn)自自然然，因而顯得平淡無奇。但我們?nèi)绻J(rèn)真研究一

13、下這些數(shù)字，就會發(fā)現(xiàn)其中妙趣橫生。真研究一下這些數(shù)字，就會發(fā)現(xiàn)其中妙趣橫生。聰明的數(shù)學(xué)王子高斯在小學(xué)的時候就會巧算自聰明的數(shù)學(xué)王子高斯在小學(xué)的時候就會巧算自然數(shù)列之和，這正是由于他對自然數(shù)有深刻的然數(shù)列之和，這正是由于他對自然數(shù)有深刻的了解。高斯小時候在德國的一所農(nóng)村小學(xué)讀書。了解。高斯小時候在德國的一所農(nóng)村小學(xué)讀書。數(shù)學(xué)老師是位從城里來的先生。他瞧不起窮人數(shù)學(xué)老師是位從城里來的先生。他瞧不起窮人的孩子，從不認(rèn)真教他們，甚至還打罵學(xué)生。的孩子，從不認(rèn)真教他們，甚至還打罵學(xué)生。有一天，他情緒很壞，一上課就命令學(xué)生做加有一天，他情緒很壞，一上課就命令學(xué)生做加法，從法，從1一直加到一直加到100，誰

14、算不到就不準(zhǔn)回家。，誰算不到就不準(zhǔn)回家。36所有的孩子都急急忙忙地算起來，老師卻在一邊看小所有的孩子都急急忙忙地算起來，老師卻在一邊看小說，不一會兒，小高斯就算出了結(jié)果是說，不一會兒，小高斯就算出了結(jié)果是5050。老師大。老師大吃一驚，奇怪他怎么算得這么快。原來，高斯并不是吃一驚，奇怪他怎么算得這么快。原來，高斯并不是按按1+2+3+4 的順序計算的。而是把的順序計算的。而是把1到到100一串一串?dāng)?shù)，從兩頭向中間，一頭一尾兩兩相加，每兩個數(shù)的數(shù)，從兩頭向中間，一頭一尾兩兩相加，每兩個數(shù)的和都是和都是101。例如：。例如：1+100、2+99、3+98，直到，直到50+51，和都是，和都是101

15、。這樣，。這樣，100個數(shù)正好是個數(shù)正好是50對，因?qū)?，因此，此?01 50就得出就得出5050的總和了。從此，老師再也的總和了。從此，老師再也不敢輕視窮孩子們了。他還從城里買來書，送給高斯，不敢輕視窮孩子們了。他還從城里買來書，送給高斯，熱心幫助他學(xué)數(shù)學(xué)，高斯進(jìn)步得更快了。小高斯所用熱心幫助他學(xué)數(shù)學(xué)，高斯進(jìn)步得更快了。小高斯所用的方法，正是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過長期努力才找到的等差的方法，正是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過長期努力才找到的等差數(shù)列求和的辦法。數(shù)列求和的辦法。37這個故事人人皆知，它說明努力發(fā)現(xiàn)和巧妙利用規(guī)律這個故事人人皆知，它說明努力發(fā)現(xiàn)和巧妙利用規(guī)律是多么重要。現(xiàn)在讓我們再看看自然數(shù)還有哪些有趣

16、是多么重要?，F(xiàn)在讓我們再看看自然數(shù)還有哪些有趣的性質(zhì)。的性質(zhì)。自然數(shù)中有一類數(shù)被稱為自然數(shù)中有一類數(shù)被稱為“自守數(shù)自守數(shù)”。所謂自守數(shù)就。所謂自守數(shù)就是自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。在自然是自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。在自然數(shù)中凡末尾數(shù)是數(shù)中凡末尾數(shù)是1、5和和6的數(shù)，不論自乘多少次，尾的數(shù)，不論自乘多少次，尾數(shù)仍然是數(shù)仍然是1、5、6。例如：例如：212121=421 21=421 2121212121=926121=9261325325325=105625325=1056256 66 66 66=12966=1296 這樣的結(jié)論是不是完全正確呢？我們可以用代數(shù)方法這樣的結(jié)

17、論是不是完全正確呢？我們可以用代數(shù)方法加以證明。加以證明。38讓我們以末尾是讓我們以末尾是6的數(shù)為例。這樣的數(shù)可以表成的數(shù)為例。這樣的數(shù)可以表成10a+6，這里這里a為任意自然數(shù)，那么：為任意自然數(shù)，那么：由于由于a是自然數(shù)，得到的結(jié)果也必定是自然數(shù)，可見是自然數(shù)，得到的結(jié)果也必定是自然數(shù)，可見它的個位必定是它的個位必定是6。高次方情況下也如此，證明從略。高次方情況下也如此，證明從略。用同樣方法可以證明用同樣方法可以證明1、5結(jié)尾的數(shù)也是自守數(shù)。結(jié)尾的數(shù)也是自守數(shù)。22222(106)(10)2 10661001203610(10123)6aaaaaaa39如果把尾數(shù)取到兩位，還有沒有自守的性

18、質(zhì)呢？如果把尾數(shù)取到兩位，還有沒有自守的性質(zhì)呢？有。比如末尾是有。比如末尾是2525和和7676的數(shù)就是自守數(shù)。的數(shù)就是自守數(shù)。如果尾數(shù)取到三位、四位或更高位數(shù)，還能找到自守如果尾數(shù)取到三位、四位或更高位數(shù)，還能找到自守數(shù)嗎？經(jīng)過數(shù)學(xué)家的計算尋覓，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)為數(shù)嗎？經(jīng)過數(shù)學(xué)家的計算尋覓，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)為376376、93769376、0937609376、109376109376、71093767109376以及末尾是以及末尾是625625、06250625、9062590625、890625890625、28906252890625、的數(shù)都是自守數(shù)。的數(shù)都是自守數(shù)。40讓我們再來看看自然數(shù)中的奇數(shù)和

19、偶數(shù)。讓我們再來看看自然數(shù)中的奇數(shù)和偶數(shù)。奇數(shù)數(shù)列是奇數(shù)數(shù)列是1,3,5,7,n,（n為項數(shù)）偶數(shù)數(shù)列是為項數(shù)）偶數(shù)數(shù)列是2,4,6,8,2n,（n為項數(shù)）人們研究奇數(shù)，發(fā)現(xiàn)為項數(shù)）人們研究奇數(shù)，發(fā)現(xiàn)如下的性質(zhì)：如下的性質(zhì)：41自然數(shù)中偶數(shù)數(shù)列則有如下的性質(zhì)：自然數(shù)中偶數(shù)數(shù)列則有如下的性質(zhì)：2=12 2+4=6=23 2+4+6=12=34 2+4+6+8=20=45 2+4+6+8+2n=n（n+1）用數(shù)學(xué)歸納法能證明這個結(jié)論。用數(shù)學(xué)歸納法能證明這個結(jié)論。42此外，對所有的自然數(shù)，下面的規(guī)律也成立并且此外，對所有的自然數(shù)，下面的規(guī)律也成立并且十分有趣：十分有趣：43自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為回

20、文數(shù)?；匚臄?shù)就是一個數(shù)的兩邊對自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為回文數(shù)?；匚臄?shù)就是一個數(shù)的兩邊對稱，如稱，如11，121，1221，9339，30203等等?；匚臄?shù)本身倒也沒等等?；匚臄?shù)本身倒也沒有什么奇特。不過人們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)的自然數(shù)，如果把它各位數(shù)字有什么奇特。不過人們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)的自然數(shù)，如果把它各位數(shù)字的順序倒置，再與原數(shù)相加，將得數(shù)再按上述步驟進(jìn)行，經(jīng)過有的順序倒置，再與原數(shù)相加，將得數(shù)再按上述步驟進(jìn)行，經(jīng)過有限的步驟后必能得到一個回文數(shù)：限的步驟后必能得到一個回文數(shù)：如：如：95+59=154 又如：又如：198+891=1089 154+451=605 1089+9801=10890 605+

21、506=1111 10890+09801=20691 1111就是一個回文數(shù)。就是一個回文數(shù)。20691+19602=40293 40293+39204=79497 79497又是一個回文數(shù)。又是一個回文數(shù)。是不是所有的自然數(shù)都有這個性質(zhì)呢？不是。例如三位數(shù)中的是不是所有的自然數(shù)都有這個性質(zhì)呢？不是。例如三位數(shù)中的196似乎用上述辦法就得不到回文數(shù)。有人用計算機(jī)對似乎用上述辦法就得不到回文數(shù)。有人用計算機(jī)對196用上述用上述辦法重復(fù)十萬次，仍然沒有得到回文數(shù)。但至今還沒有人能用數(shù)辦法重復(fù)十萬次，仍然沒有得到回文數(shù)。但至今還沒有人能用數(shù)學(xué)證明辦法對這個問題下結(jié)論，所有學(xué)證明辦法對這個問題下結(jié)論，

22、所有196問題問題也成了世界性數(shù)也成了世界性數(shù)學(xué)難題之一。經(jīng)過計算，在前十萬個自然數(shù)中有學(xué)難題之一。經(jīng)過計算，在前十萬個自然數(shù)中有5996個數(shù)就像個數(shù)就像196一樣很難得到回文數(shù)。一樣很難得到回文數(shù)。44最后再讓我們看兩組有趣的數(shù)：最后再讓我們看兩組有趣的數(shù)：第一組為：第一組為：1,6,7,23,24,30,38,47,54,55 第二組為：第二組為：2,3,10,19,27,33,34,50,51,56 這兩組數(shù)有什么奇特之處呢？這兩組數(shù)有什么奇特之處呢？首先，這兩組數(shù)都沒有公因數(shù)，而且兩組數(shù)各自的和都是首先，這兩組數(shù)都沒有公因數(shù)，而且兩組數(shù)各自的和都是285。不過這算不上奇怪，拼拼湊湊，誰

23、也弄得出來。不要著急，我不過這算不上奇怪，拼拼湊湊，誰也弄得出來。不要著急，我們再往下看。如果計算一下它們的方冪之和，你就會大為驚奇。們再往下看。如果計算一下它們的方冪之和，你就會大為驚奇。45 因為數(shù)字太多，我們不能一一列下去，讓我們把結(jié)果列出來因為數(shù)字太多，我們不能一一列下去，讓我們把結(jié)果列出來方冪次數(shù)方冪次數(shù) 每組數(shù)方冪和每組數(shù)方冪和 0 10 1 285 2 11685 3 536085 4 26043813 5 1309753125 6 6734006805 7 3512261547765 8 185039471773893 從從0次冪到次冪到8次冪，兩組數(shù)的方冪和都相等，誰能不感到

24、驚奇呢？次冪，兩組數(shù)的方冪和都相等，誰能不感到驚奇呢？不過算到不過算到9次方冪，兩組數(shù)的方冪和就不相等了，這又是為什么次方冪，兩組數(shù)的方冪和就不相等了，這又是為什么呢？這兩組有趣的數(shù)和它們有趣的性質(zhì)吸引了不少人進(jìn)行研究。呢？這兩組有趣的數(shù)和它們有趣的性質(zhì)吸引了不少人進(jìn)行研究。專門研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支叫作數(shù)論。數(shù)論中有許多看似簡專門研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支叫作數(shù)論。數(shù)論中有許多看似簡單實則相當(dāng)困難，甚至近乎神秘的問題等待人們?nèi)ソ鉀Q。單實則相當(dāng)困難，甚至近乎神秘的問題等待人們?nèi)ソ鉀Q。46輕松課堂輕松課堂數(shù)字游戲問題數(shù)字游戲問題47在在 里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)答案：答案：1 9 2 1 9 2

25、 8 3 7 4 6 8 3 7 4 6 分析：題中共有八個數(shù)，前分析：題中共有八個數(shù)，前7個已個已經(jīng)知道最后一個需要填寫。經(jīng)知道最后一個需要填寫。8個個數(shù)中數(shù)中1+9=10,2+8=10,3+7=10，所，所以最后兩個數(shù)是以最后兩個數(shù)是4+=10.這樣，這樣，里應(yīng)該填里應(yīng)該填61 9 2 8 3 7 4 1 9 2 8 3 7 4 48 在在 中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)中填入適當(dāng)?shù)臄?shù) 15 14 12 11 9 8 15 14 12 11 9 8 答案：題中的數(shù)按照從大到小的規(guī)律答案：題中的數(shù)按照從大到小的規(guī)律排列的，每個數(shù)為一組，每兩組之間排列的，每個數(shù)為一組，每兩組之間又去掉一個相鄰的數(shù)：又去掉一個

26、相鄰的數(shù)：1515、1414、1313、1212、1111、1010、9 9、8 8、7 7、6 6、5 5所以所以 應(yīng)填應(yīng)填6 6、5 5這道題還可以這樣分析：這道題還可以這樣分析：15-1=1415-1=14、14-2=1214-2=12、12-12-1=111=11、11-2=911-2=9、9-1=89-1=8、8-2=68-2=6、6-1=56-1=549 在（在（）里填數(shù)）里填數(shù) 2 2、0 0、2 2、2 2、4 4、6 6、1010、（）答案：觀察發(fā)現(xiàn)答案：觀察發(fā)現(xiàn)2+0=22+0=2、0+2=20+2=2、2+2=42+2=4、2+4=62+4=6、4+6=10.4+6=10

27、.即前兩即前兩個數(shù)相加的和是后面的數(shù)，這個數(shù)相加的和是后面的數(shù)，這樣最后一個數(shù)應(yīng)是樣最后一個數(shù)應(yīng)是6+10=166+10=16，（）里應(yīng)填）里應(yīng)填1616 50 在空格中填入合適的數(shù)。在空格中填入合適的數(shù)。答案：表格中的數(shù)分上下兩排，答案：表格中的數(shù)分上下兩排，每一排的數(shù)各有自己的規(guī)律，每一排的數(shù)各有自己的規(guī)律，上排的數(shù)是從上排的數(shù)是從4 4開始依次加開始依次加2 2、3 3、4 4得到得到,下排的數(shù)是從下排的數(shù)是從5 5開始依次開始依次加加4 4、6 6、8 8得到得到 51 在空格里填入合適的數(shù)在空格里填入合適的數(shù)答案：答案：數(shù)字分成三組，前二組中的三數(shù)字分成三組，前二組中的三個數(shù)字的和是

28、個數(shù)字的和是20,7+12+1=2020,7+12+1=20，8+9+3=208+9+3=20，所以第三組應(yīng)是（，所以第三組應(yīng)是（）+2+5=20+2+5=20，空格中的數(shù)字是，空格中的數(shù)字是1313 52 在空格中填入合適的數(shù)在空格中填入合適的數(shù)分析分析1 1：九個數(shù)分成三組，：九個數(shù)分成三組，第一組中有第一組中有8+18=28+18=21313，即第一個數(shù)與第三個數(shù)的即第一個數(shù)與第三個數(shù)的和是中間那個數(shù)的二倍，和是中間那個數(shù)的二倍，同樣第三組中同樣第三組中16+30=216+30=22323，所以中間一組所以中間一組2 2（）=12+24=12+24分析：將這九個數(shù)橫的作一排，第一排中有8

29、+4=12,12+4=16.即面的數(shù)比前面的數(shù)大4.第三排中有18+16=24,24+6=30，后面的數(shù)比前面的數(shù)大6.再看第二排應(yīng)是13+5=18,18+5=23，所以空格中應(yīng)填1853在空格處填入合適的數(shù)在空格處填入合適的數(shù) 答案：每個圖中都有三個圈，每個圈中填有數(shù)字。這三個數(shù)字之間有某種關(guān)系分析第一個圖發(fā)現(xiàn)6-5=1.12=2，分析第二個圖同樣有7-4=3,32=6，所以第三個圖應(yīng)該是8-3=5,52=10，第三個空白處應(yīng)填10。54四大文明古國：中國 公元前二十七世紀(jì)黃帝時代就開始了數(shù)學(xué)研究 數(shù)學(xué)發(fā)達(dá)至少有4000年 成就：分?jǐn)?shù)、正負(fù)數(shù)、勾股定理、圓周率、剩余定理、楊輝三角等等 由于中

30、國文字的限制，數(shù)學(xué)理論的表敘以及推導(dǎo)都極為困難，導(dǎo)致數(shù)學(xué)理論在中國發(fā)展受到制約 中國長期重文輕理導(dǎo)致數(shù)學(xué)以及科學(xué)的落后 政治原因，農(nóng)業(yè)大國55四大文明古國：印度 印度有印度有35003500至至40004000年年 最大成就是印度數(shù)碼，十進(jìn)制最大成就是印度數(shù)碼，十進(jìn)制 五世紀(jì)后五世紀(jì)后“零零”的符號在印度出現(xiàn)的符號在印度出現(xiàn) 與占星術(shù)，宗教，農(nóng)業(yè)關(guān)系密切與占星術(shù)，宗教，農(nóng)業(yè)關(guān)系密切 方法與結(jié)果用樹皮樹葉記載，大多失散方法與結(jié)果用樹皮樹葉記載，大多失散 用晦澀的詩歌表述，難于理解用晦澀的詩歌表述，難于理解 知道勾股定理，三角學(xué)并計算出知道勾股定理，三角學(xué)并計算出162.310,414215686

31、.1256四大文明古國：埃及 光輝燦爛的文明 影響較大的：金字塔，紙草書，古文字 尼羅河貫穿全景 治理尼羅河河水泛濫，他們研究天文發(fā)現(xiàn)：河水上漲與清晨天狼星升起的日子一樣，間隔365天，確立現(xiàn)代公歷的基礎(chǔ) 重新測定河岸的土地，幾何特別發(fā)達(dá) 沒有上升為理論，直到公元前4世紀(jì)后，希臘人入侵為止57四大文明古國：巴比倫 數(shù)學(xué)泥板的發(fā)現(xiàn) 上面有：帳單，收據(jù)，票據(jù)，大量數(shù)學(xué)用表，達(dá)到古代數(shù)學(xué)的最高的理論水平 1847年開始解讀數(shù)學(xué)泥板，1920年才有詳盡的注解，巴比倫文明被世人了解 60位進(jìn)制，面積體積的計算，方程組的求解，級數(shù)求和，勾股數(shù)，二次方程58四大文明古國與河流 中國：黃河，長江 埃及：尼羅河

32、 巴比倫：底格里斯河，幼發(fā)拉底河 印度：恒河，印度河59其他發(fā)達(dá)古國 希臘從公元前希臘從公元前6 6世紀(jì)至公元世紀(jì)至公元4 4世紀(jì)，達(dá)世紀(jì)，達(dá)10001000年年 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)發(fā)達(dá)僅限于阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)發(fā)達(dá)僅限于8 8至至1313世紀(jì)，有世紀(jì)，有500500年年 歐洲國家數(shù)學(xué)發(fā)達(dá)是在歐洲國家數(shù)學(xué)發(fā)達(dá)是在1010世紀(jì)以后的事世紀(jì)以后的事 日本則遲至日本則遲至1717世紀(jì)以后。世紀(jì)以后。60無理數(shù)的出現(xiàn)與第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 無理數(shù)就像岔路口的路標(biāo)，沿不同方向均可發(fā)現(xiàn)它的存在。中國沿一個方向來到它的面前竟然視而不見 古希臘沿另外一個方向來到它的面前卻有意躲避61中國與無理數(shù) 九章算術(shù)第四章說“若開之不盡者，為不

33、可開，當(dāng)以面命之”我們不知“當(dāng)以面命之”所云為何，但可以確定，那時中國人一來到這個路標(biāo)下了。劉徽在計算平方根的近似值時離無限不循環(huán)已近在咫尺，但他說“不足言之”竟然放棄了?！爸厮惴ㄝp算理”是中國古代的風(fēng)氣使中國與無理數(shù)失之交臂，令人惋惜。62古希臘與無理數(shù) 學(xué)派眾多，最有名的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（元前580元前500）柏拉圖學(xué)派（元前430元前349）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是兼有政治，宗教，哲學(xué)的團(tuán)體，“萬物皆數(shù)”（讀三聲）為其哲學(xué)基礎(chǔ)和理論出發(fā)點。畢氏提出了著名的畢達(dá)哥拉斯定理。63偉大的畢達(dá)哥拉斯 畢達(dá)哥拉斯：古希臘數(shù)學(xué)家，公元前580至公元前497，青年的他游歷許多地方，并到埃及印度留學(xué)。他深入民間

34、收集點點滴滴的數(shù)學(xué)知識，最后學(xué)有所成并形成一個學(xué)派，史稱畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，對數(shù)學(xué)，天文學(xué)有巨大貢獻(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為任何數(shù)都可以表達(dá)成二個整數(shù)的商，即任意數(shù)都是可以度量的。64萬物皆數(shù) 他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意兩條線段長度之比就是它們各自原子數(shù)之比。由此觀點出發(fā)，畢氏研究了音樂美術(shù)天文地理。應(yīng)用在數(shù)學(xué)上，從埃及的黃金三角形（各邊之比為3：4：5）發(fā)現(xiàn)5：12：13，8：15：17，這就是中國說的“勾股定理”它們只相信直角三角形的三邊之比都應(yīng)該是整數(shù)比65 畢氏的學(xué)生、學(xué)者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就不可度量，與畢氏理論產(chǎn)生矛盾 畢氏也發(fā)現(xiàn)不可通約量的

35、存在 學(xué)派進(jìn)入兩難境地，學(xué)派內(nèi)部所有成員立誓保密，因而無理數(shù)有個諢號“不可說”（Alogon)希帕索斯說了，學(xué)派就此開始瓦解。學(xué)派解決矛盾的方法是把希帕索斯拋進(jìn)大海。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。大約公元前世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn) 畢達(dá)哥拉斯悖論 66無理數(shù)：古代數(shù)學(xué)家前進(jìn)的方向 歐道克斯（希臘，元前408前355）數(shù)與量的分離：連續(xù)與離散。存在與否困擾科學(xué)家哲學(xué)家 在迷霧中度過漫長而黑暗的中世紀(jì)，迎來“文藝復(fù)興”的繁榮時期（公元14001600）無理數(shù)終于被人們慢慢接受 疑惑仍然存在“即樂意又心存疑慮”直到19世紀(jì)實數(shù)理論的建立才完全消除67誰推開了虛數(shù)的“大門”12世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆什

36、伽羅說：“正數(shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，因此一個正數(shù)的平方根是兩個，一個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)沒有平方根”。他太肯定了！“負(fù)數(shù)沒有平方根”遏制了后人的探索欲望。400年來，數(shù)學(xué)家都采取了回避態(tài)度。1545年卡丹的 讓人莫名其妙（后面專門談他）222968大師的困惑與無知 卡丹（意大利數(shù)學(xué)家，醫(yī)生，算命先生15011576）到達(dá)大門，不敢敲門。歐拉徹底否認(rèn)：他說“一切形如 的數(shù)學(xué)式都是不可能有的，這類數(shù) 純屬虛構(gòu)”偉大的笛卡兒(法國數(shù)學(xué)家，15961650）創(chuàng)立直角坐標(biāo)系，給出理論武器。200年后即18世紀(jì)，挪威的測繪員威賽爾，巴黎的會計師阿爾干完美解釋。2,169從一維到二維 600年的艱

37、辛 眾多杰出數(shù)學(xué)家束手無策，歷史罕見 思維定勢所限：現(xiàn)實中沒有，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中它不合理 條件所限：不能從一維跳到二維，笛卡兒還未出生，平面坐標(biāo)不知為何物，費(fèi)爾瑪無人認(rèn)識，點的坐標(biāo)，有序?qū)κ翘旆揭拐?，解析幾何還在數(shù)學(xué)的搖籃中睡覺70第二章：幾何學(xué)代數(shù)學(xué)的發(fā)展 先有幾何還是先有代數(shù)？一個領(lǐng)域的繁榮昌盛不外乎下列幾個原因：1有重大理論問題出現(xiàn)。2有現(xiàn)實問題急需解決。3出現(xiàn)偉大人物。代數(shù)與幾何都有非常輝煌的時光。代數(shù)必講數(shù)論及方程，幾何必講歐幾里德德原本。幾何狂飚：突破歐幾里德幾何，非歐幾何。71數(shù)論與方程：第二次抽象 數(shù)的崇拜與禁忌：“1生2，2生3，3生萬物”所以1最神圣，7，8為吉祥數(shù)。4，13為一

38、些民族的禁忌 中國人崇拜“9”：故宮大門縱橫九顆銅星，皇帝九龍袍，九龍壁，“九九歸一，侄極而返”“60”是古巴比倫人與畢達(dá)哥拉斯心中的神 數(shù)的文化：奇為女，偶為男，“一帆風(fēng)順，雙喜臨門，三陽開泰，四通八達(dá)，五彩繽紛，六根清潔，八面玲瓏，九霄云外，十全十美”“一波三折，兩敗俱傷，三長兩短，四面楚歌，五內(nèi)俱焚，六神無主，七上八下，九死一生，十惡不赦”72數(shù)論與方程：第二次抽象 整除理論：最古老的問題，中國剩余定理 地道的業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪：從地方官員到數(shù)學(xué)家，30歲學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，既是解析幾何的發(fā)明者（與笛卡兒同享）又是概率論的開創(chuàng)者（與帕斯卡同享），不同尋常的經(jīng)歷，不可思議，令人感慨萬千 費(fèi)馬瑪（法國數(shù)

39、學(xué)家，1601-1665)與數(shù)論：看起來簡單，作起來難之又難，是數(shù)論的魅力所在，使人“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，始作俑者費(fèi)爾瑪。現(xiàn)代數(shù)論的先驅(qū)創(chuàng)始人73費(fèi)爾瑪猜想 丟番圖（古希臘公元246330）名著算術(shù)，代數(shù)學(xué)之母 算術(shù)是費(fèi)爾瑪?shù)恼磉呏?從17世紀(jì)到20世紀(jì)，歷時300多年，直到1994，41歲得英國數(shù)學(xué)家懷爾斯解決沒有正整數(shù)解時猜想：當(dāng)nnnzyxn,274高斯(德國數(shù)學(xué)家，17771855)與數(shù)論 現(xiàn)代數(shù)論統(tǒng)一理論的創(chuàng)建者 20歲決定獻(xiàn)身數(shù)學(xué)，最終成為最偉大的數(shù)學(xué)家之一 1801年結(jié)束費(fèi)爾瑪數(shù)論，開創(chuàng)純理論數(shù)論研究 追隨者：戴德金，狄利克雷，劉維爾，閔可夫斯基，創(chuàng)建：代數(shù)數(shù)論，

40、解析數(shù)論，超越數(shù)論，幾何數(shù)論75哥德巴赫猜想與陳景潤 1742年，德國哥德巴赫老師發(fā)現(xiàn)“大于2的偶數(shù)，可以表示為兩個素數(shù)之和”求教歐拉：歐拉說“雖然我不能證明它，但我確信它完全正確”1900年希爾伯特（德國數(shù)學(xué)家，18621943）把它列為23個世紀(jì)難題，稱為“皇冠上的明珠”1966年中國人陳景潤（19331996）證明“12”，1973年發(fā)表，離摘取明珠咫尺之遙 陳氏定理被譽(yù)為“光輝頂點”76方程的歷史 方程的產(chǎn)生：在中國，在日本，在印度 花拉子模（阿拉伯人，公元780850）第一次給出未知量，但他稱其為“硬幣”“東西”“根”代數(shù)“Algebra”源于花氏的書中“還原”一詞 古希臘的不定方程

41、，丟番圖，費(fèi)爾瑪與不定方程 印度的不定方程，追求全部整數(shù)解，他們的 阿耶波多，婆羅摩岌多，婆什伽羅都有著述77方程的發(fā)展 符號化：從丟番圖開始到1589年的韋達(dá) 從一元到二元：古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作，中國九章算術(shù)均有記述 海倫：有一正方形知其面積與周長之和為896尺，求其一邊 九章算術(shù)：今有邑城方不知大小，各開中門。出北門20步有木，出南門14步折而西行1775見木。問邑方幾何？78符號化的形式7100034896422九章算術(shù)：海倫：xxxx79一元二次方程的解法 花拉子模的幾何解法 中國的“開帶從平方法”古希臘的配方法：公元100年海倫200年丟番圖完成 佛蘭西斯韋達(dá)（法國數(shù)學(xué)家，法學(xué)家，

42、外交家，國王參謀長，15401603）：根與系數(shù)的關(guān)系80一元三次方程的公式解 人們尋找象一元二次方程那樣的公式解 當(dāng)時認(rèn)為它比圓化方還難 16世紀(jì)，意大利的波羅拉學(xué)派的弗羅（14651562）得出 的解。但是未公布 30歲的尼科拉方丹納（意大利布雷西亞青年，15001557）綽號“塔塔利亞”（結(jié)巴）：給出一元三次方程的公式解qpxx381數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)競賽 塔塔利亞解決的問題：他未公布答案，引來波羅拉學(xué)派的憤怒 塔塔利亞與波羅拉決定舉行競賽，塔塔利亞勝出，這是有史記載的第一次數(shù)學(xué)競賽100086532323xxxxx82塔塔利亞，卡丹，費(fèi)拉里的恩恩怨怨 卡丹：(雄辯家，博物學(xué)家，幾何家，

43、代數(shù)家，天文學(xué)家，星象學(xué)家，醫(yī)學(xué)家，外科專家，道學(xué)家，語言學(xué)家)拜倒在塔塔利亞面前 1539年求教與塔氏,并同意保密，得到手稿 卡丹的仆人費(fèi)拉里的成就：一元四次方程的解法 1545年卡丹發(fā)表大衍術(shù)（Ars Magna)公開塔氏費(fèi)氏成果，引發(fā)數(shù)學(xué)史的第一次公案 事情遠(yuǎn)未結(jié)束：五次以及五次以上的方程呢？83初等幾何 起源：無意識的幾何階段，埃及金字塔（元前2900），尼羅河岸邊的土地界限丈量 幾何的發(fā)展：經(jīng)驗幾何的產(chǎn)生，中國埃及巴比倫印度 論證幾何的哲學(xué)基礎(chǔ)的出現(xiàn)：公理及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，古希臘哲學(xué)的發(fā)展讓嚴(yán)謹(jǐn)深深扎根于心靈深處。84數(shù)學(xué)圣經(jīng)幾何原本（Elements)歐幾里德（希臘數(shù)學(xué)家，元前33

44、0前275）的幾何原本堪稱集合論證的光輝典范，影響曾經(jīng)可比圣經(jīng) 1607年明朝翻譯到中國 在全世界使用至今 原本共13篇，包羅初等幾何，初等數(shù)論，幾何代數(shù) 所有初等幾何的書都是抄錄原本或者是抄錄那些抄錄原本的書的書85幾何度量（面積體積)歐道克斯的變量，繞開無理數(shù)使丈量得以進(jìn)行 多邊形的面積：畢氏的直接因數(shù)法，歐幾里德“轉(zhuǎn)化”法，比如：等底等高的兩個三角形面積相同 阿基米德（希臘數(shù)學(xué)家，元前287前212）對曲邊形面積的研究；離微積分咫尺之遙 祖沖之（南北朝政府官員，公元429500）：曾經(jīng)的世界第一，保持1000多年。圓周率的計算思想比圓周率本身還重要,他也靠近了微積分，是中國古代最具現(xiàn)代數(shù)

45、學(xué)思想的人86偉大的阿基米德 意大利西西里島的敘古拉（當(dāng)時受希臘統(tǒng)治）是他的故鄉(xiāng)，他是當(dāng)時最偉大的天文學(xué)家，力學(xué)家，數(shù)學(xué)家，是人類科學(xué)的第一坐高峰，超過高斯牛頓 杠桿與重心理論，流體力學(xué) 73歲在敘古拉參加抵御羅馬入侵，擔(dān)任最高軍事顧問，研究出大量的武器 元前212被羅馬士兵所殺87就此完成初等數(shù)學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)立 17世紀(jì)前，數(shù)學(xué)已是摻天大樹 研究不變的量，幾何代數(shù)是其中心內(nèi)容 三角，對數(shù)，數(shù)列已經(jīng)建立理論 構(gòu)成現(xiàn)在小學(xué)中學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識 這時的數(shù)學(xué)仍有許多困境與迷惑 數(shù)學(xué)等待更偉大的理論與更偉大的人物88第三章：變量數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)發(fā)展的第三個時期 最具代表性的人物是法國人笛卡兒 笛卡兒是一座高高的山

46、峰，屹立在初等數(shù)學(xué)的盡頭，高等數(shù)學(xué)的開頭，他是分水嶺 標(biāo)志性的概念是變量，它成為數(shù)學(xué)的中心內(nèi)容 標(biāo)志性的工作是微積分的誕生與成熟89建議大家閱讀的圖書 數(shù)學(xué)哲學(xué)張景中著 古今數(shù)學(xué)思想克萊因著 現(xiàn)代西方哲學(xué)之父:笛卡兒 數(shù)學(xué)思想發(fā)展簡史袁小明等著90數(shù)學(xué)的天空中群星閃耀 從公元1600年公元1820年數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金時代 數(shù)學(xué)研究變數(shù)以及變數(shù)之間的關(guān)系 運(yùn)動進(jìn)入數(shù)學(xué)，辯證法進(jìn)入數(shù)學(xué) 笛卡兒與費(fèi)爾瑪用代數(shù)方法解決幾何問題，創(chuàng)立解析幾何 萊布尼茲（德國數(shù)學(xué)家，哲學(xué)家，物理學(xué)家16461716）提出函數(shù)的一般概念91數(shù)學(xué)的星空群星閃耀 牛頓（英國物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家16421727）與萊布尼茲共同創(chuàng)立微積分

47、的原理 他們及其學(xué)生們發(fā)展了數(shù)學(xué)分析為物理學(xué)天文學(xué)光學(xué)提供強(qiáng)有力的工具 成功預(yù)言1759年哈雷慧星回歸 發(fā)展了偏微分方程，概率統(tǒng)計，變分學(xué)92解析幾何 17世紀(jì)最重要的成就之一 標(biāo)志變量時代的開始 可追溯到埃及羅馬人的活動：他們在測繪地形時，借助坐標(biāo)確定位置 希臘人阿波羅尼斯從圓錐曲線導(dǎo)出它的豐富的圓錐曲線幾何學(xué)（與笛卡兒的非常相似）93背景 16世紀(jì)歐洲文藝復(fù)興帶來的科學(xué)，經(jīng)濟(jì)的全面發(fā)展 天文學(xué)力學(xué)航海的迫切需要 初等數(shù)學(xué)已經(jīng)成熟：偉大人物已經(jīng)出現(xiàn)：笛卡兒，費(fèi)爾瑪，開普勒,伽利略等等 試驗數(shù)學(xué)的方法，運(yùn)動的觀點要求必須有新的理論方法來研究幾何 東方的數(shù)學(xué)書籍傳入西方，引發(fā)用代數(shù)解決幾何問題，

48、改變了西方用幾何解決代數(shù)問題的觀念94幾何代數(shù)融合為一體 1591年韋達(dá)的分析學(xué)引論確立符號代數(shù)，成為變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的前提 坐標(biāo)系的發(fā)明 對幾何與代數(shù)之間一一對應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識 函數(shù)y=f(x)的坐標(biāo)圖示法 笛卡兒與費(fèi)爾瑪用代數(shù)法研究幾何，把代數(shù)方程與曲線曲面等聯(lián)系起來，變量進(jìn)入數(shù)學(xué)。改變了數(shù)學(xué)的性質(zhì)，具有偉大的意義95 費(fèi)爾瑪與解析幾何 費(fèi)爾瑪生平：法學(xué)家，官員，語言學(xué)家，數(shù)學(xué)家 笛卡兒與解析幾何 笛卡兒生平：哲學(xué)家，物理學(xué)家，心理學(xué)家，數(shù)學(xué)家，旅游家，軍人96微積分 名稱的由來：牛頓萊布尼茲約翰貝努里差的計算“calculus differentialis”,和的計算“calculus summ

49、atorius”,演化為“differetial calculus”(微分學(xué)）“integral calculus”（積分學(xué)）河稱“微積分”英文為“calculus”洛必達(dá)1696年的無窮小分析是第一本微積分著作使微積分又叫“分析”1859年（清咸豐9年）微積分傳入中國，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家李善蘭把它翻譯為微積分，可能取于“不辨積微之為量，詎曉百億于大千”97人類歷史上的最偉大創(chuàng)舉 變量數(shù)學(xué)時期，17世紀(jì)后期由牛頓萊布尼茲創(chuàng)立的微積分是最主要的成就 微積分的誕生是全部數(shù)學(xué)史上，也是人類歷史上最偉大最有影響的創(chuàng)舉 微積分導(dǎo)致后來一切科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域的革命 離開微積分，人類將停頓前進(jìn)的步伐98微積分產(chǎn)生的背

50、景 從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋求一種計算不規(guī)則圖形面積的方法 眾多科學(xué)家意識到其中有個“幽靈”說不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝諾，歐道克斯，莊子，劉徽 許多迫切待解決的問題擺在數(shù)學(xué)家面前：描述處理運(yùn)動？曲線的切線？曲線的長度？曲面的面積？曲面圍成的多面體的體積？極大極小問題？等等99無窮小分割是主要方法 無窮小分割求和：關(guān)于切線：笛卡兒與費(fèi)爾瑪認(rèn)為是兩個交點重合時的割線。羅伯瓦等認(rèn)為是描繪曲線的運(yùn)動在這點的方向 眾多數(shù)學(xué)家加入到這場爭論中，拉開流數(shù)術(shù)和微分法的序幕 費(fèi)爾瑪是出去牛頓萊布尼茲外做得最多的人，他走到大門口，但沒有進(jìn)入。主要是他沒有它的理論與求積的關(guān)系100牛

51、頓與萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)明微積分 牛頓與微積分 萊布尼茲與微積分 英德之間的歷史公案101102無窮小是零嗎？第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 研究下列問題：1734年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表分析學(xué)家或者向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)-無窮小的問題，提出了貝克萊悖論。引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)少？趨于無限大時，它是多當(dāng)nn1103dx為逝去量的“靈魂”他指出：牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時，采取了先給x以增量，應(yīng)用二項式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓消逝，這樣得出增量的最終比。104“幽靈”即為極限的概念 這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)：先設(shè)x有增量，又令

52、增量為零，也即假設(shè)x沒有增量。他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，dx為逝去量的靈魂。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？105“幽靈”即為極限的概念 由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的爭論。直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)：極限理論 106代數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展 三百多年弄不清楚的問題：五次五次以上的方程的公式解 法國數(shù)學(xué)家拉各朗日稱這一問題是在“向人類的智慧挑戰(zhàn)”。

53、1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程根式解的結(jié)構(gòu)之后，提出了方程的預(yù)解式概念，并且還看出預(yù)解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關(guān)，這時他認(rèn)識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。107不幸的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾 此后，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾利用置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。阿貝爾簡介：（阿貝爾：Abel,1802.81829.5）任何一部數(shù)學(xué)家詞典中的第一人，是十九世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，是挪威空前絕后的最偉大的學(xué)者。后人整理他的遺著花了150年。10827歲他離開人世 阿貝爾率先解決了這個引人矚目的難題。可是，由于阿貝爾生前只是個默默無聞的“小人物”，

54、他的發(fā)明創(chuàng)造競沒有引起數(shù)學(xué)界的重視。在失望、勞累、貧困的打擊下，阿貝爾不滿27歲就離開了人間，使他未能徹底解決這個難題。比如說：為什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如何精確地判斷這些方程呢？他死后第二天，倫敦大學(xué)校長的特使，手持校長的邀請函來到挪威師范學(xué)院尋找阿貝爾109殞落的新星 1832年5月30日清晨，法國巴黎郊外進(jìn)行了場決斗。槍聲響后，一個青年搖搖晃晃地倒下了。第二天一早，他就匆匆離開了人間，死時還不到21歲。死前這個青年沉痛地說：“請原諒我不是為國犧牲。我是為一些微不足道的事而死的?！边@個因決斗而死去的青年，就是近代數(shù)學(xué)的奠基人之一、歷史上最華輕的著名數(shù)學(xué)家伽羅華。1811年10月2

55、5日，伽羅華出生在法國巴黎附近的一個小鎮(zhèn)上。110更加不幸的法國數(shù)學(xué)家伽羅華伽羅華 伽羅華（1811.10.251832.5.30）浪漫的法國人一直為他們早逝的劃時代的、人類有史以來最聰明的、思想最深刻的、最倒霉的數(shù)學(xué)家感到自責(zé)。他留下了100頁數(shù)學(xué)文稿，被發(fā)展成一門艱深、應(yīng)用廣泛的學(xué)科-抽象代數(shù)或稱群論。111經(jīng)常被老師斥為笨蛋 小時候，伽羅華并末表現(xiàn)出特殊的數(shù)學(xué)才能，相反，他12歲進(jìn)入巴黎的一所公文中學(xué)后，還經(jīng)常被老師斥為笨蛋。伽羅華當(dāng)然不是笨蛋，他性格偏執(zhí)，對學(xué)校死板的教育方式很不適應(yīng)，漸漸地，他對很多課程都失去了興趣，學(xué)習(xí)成績一直很一般。112伽羅華遇到了數(shù)學(xué)教師里沙 在中學(xué)的第三年，

56、伽羅華遇到了數(shù)學(xué)教師里沙。里沙老師非常善于啟發(fā)學(xué)生思維，他把全副精力都傾注在學(xué)生身上，還常常利用業(yè)余時間去大學(xué)聽課，向?qū)W生傳授新知識。很快，伽羅華就對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極大的興趣。他在里沙老師的指導(dǎo)下，迅速學(xué)完了學(xué)校的數(shù)學(xué)課程，自學(xué)了許名數(shù)學(xué)大師的著作。113他盯上了著名的世界數(shù)學(xué)難題 不久，伽羅華的眼睛盯上了：高次方程的求根公式問題。16世紀(jì)時，意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞和卡當(dāng)?shù)热?，發(fā)現(xiàn)了三次方程的求根公式。這個公式公布后沒兩年，卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生費(fèi)拉里就找到了四次方程的求根公式。當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們非常樂觀，以為馬上就可以寫出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，時光流逝了幾百年，誰也找不出一個這樣的

57、求根公式。114站在巨人阿貝爾的肩膀上面 這樣的求根公式究竟有沒有呢?在伽羅華剛上中學(xué)不久，年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾已經(jīng)作出了回答：“沒有?！卑⒇悹枏睦碚撋嫌枰宰C明，無論怎樣用加、減、乘、除以及開方運(yùn)算，無論將方程的系數(shù)怎樣排列，它都決不可能是一般五次方程的求根公式。115伽羅華向世紀(jì)難題發(fā)起了挑戰(zhàn) 1828年，也就是阿貝爾去世的前一年，伽羅華也向這個數(shù)學(xué)難題發(fā)起了挑戰(zhàn)。他自信找到了徹底解決的方法，便將自己的觀點寫成論文，寄給法國巴黎科學(xué)院。負(fù)責(zé)審查伽羅華論文的是柯西和泊松，他們都是當(dāng)時世界上第一流的數(shù)學(xué)家?？挛鞑幌嘈乓粋€中學(xué)生能夠解決這樣著名的難題，順手把論文扔在一邊，不久就丟失了；兩年后，伽

58、羅華再次將論文送交巴黎科學(xué)院。這次，負(fù)責(zé)審查伽羅華論文的是傅立葉。不巧，也就是在這一 年，這位年邁的著名數(shù)學(xué)家去世了。伽羅華的論文再一次 給丟失了。116他考進(jìn)了巴黎高等師范學(xué)校 伽羅華的論文一再被丟失的情況，使他很氣憤。這時，他已考進(jìn)了巴黎高等師范學(xué)校；并得知了阿貝爾去世的消息，同時又發(fā)現(xiàn)，阿貝爾的許多結(jié)論，他已經(jīng)在被丟失的論文中提出過。在1831年，伽羅華向巴黎科學(xué)院送交了第三篇論文，題目是關(guān)于用根式解方程的可解性條件。這一次，著名數(shù)學(xué)家泊松仔細(xì)審查了伽羅華的論文。117年邁的泊松感到難于理解 由于論文中出現(xiàn)了“代換群”等嶄新的數(shù)學(xué)概念和方法，泊松感到難于理解。幾個月后，他將論文退還給伽羅

59、華；囑咐寫一份詳盡的闡述送來，可是，伽羅華已經(jīng)沒有時間了。在大學(xué)里，伽羅華由于積極參加資產(chǎn)階級革命活動，被學(xué)校開除了。118伽羅華預(yù)感到死亡即將來臨 1831年5月和7月，他又因參加游行示威活動兩次被捕入獄，遭受路易-菲利浦王朝的迫害，直到1832年4月29日，由于監(jiān)獄里流行傳染病，伽羅華才得以出獄。枷羅華恢復(fù)自由不到一個月，愛上一個女人，并因此被迫與一個軍官決斗。決斗前夕,伽羅華預(yù)感到死亡即將來臨，他匆忙將數(shù)學(xué)研究心得扼要地寫在一張字條上，并附以自己的論文手稿，請他的朋友交給當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家們。119他堅信自己的理論正確 伽羅華自豪地寫道：“你可以公開請求雅可比或者高斯，不是對這些東西的正確性

60、，而是對它的重要性表示意見。”我希望，今后能有人認(rèn)識這些東西的奧妙，并作出恰當(dāng)?shù)慕忉尅?846年 法國數(shù)學(xué)家劉維爾首先“認(rèn)識到這些東西的奧妙”將它們發(fā)表在自已主辦的刊物上，并撰寫序言熱情向數(shù)學(xué)界推薦。120高斯關(guān)于正多邊形作圖的定理變成了明顯的推論或者簡單的習(xí)題。1870年，法國數(shù)學(xué)家約勞當(dāng)根據(jù)伽羅華根據(jù)伽羅華的思想，寫出了一部重要的數(shù)學(xué)著作抽象代數(shù)學(xué)，人們這才認(rèn)識到伽羅華的偉大。應(yīng)用伽羅華理論，不僅高次方程求根公式問題得到了徹底的解決，而且阿貝爾定理、古希臘三大幾何作圖難題、高斯關(guān)于正多邊形作圖的定理等著名的數(shù)學(xué)難題，都變成了明顯的推論或者簡單的練習(xí)題。121數(shù)學(xué)真理顯示了強(qiáng)大的威力 數(shù)學(xué)真

61、理顯示了強(qiáng)大的威力。更重要的是，伽羅華理論的出現(xiàn)，改變了代數(shù)學(xué)的面貌。從這時起，方程論已經(jīng)不是代數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容了，它漸漸轉(zhuǎn)向了研究代數(shù)結(jié)構(gòu)本身，并不斷地向各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域滲透。到19世紀(jì)末期，伽羅華開創(chuàng)的數(shù)學(xué)研究，形成了一門重要的數(shù)學(xué)分支-近世代數(shù)學(xué)。這時，伽羅華已經(jīng)去世多年了。他生前沒有享受到他應(yīng)當(dāng)享有的巨大榮譽(yù)。122假如伽羅華長壽（我們暢想）假如伽羅華沒有遇見那個姑娘 假如他能夠長壽，數(shù)學(xué)的今天也許沒有這樣復(fù)雜 如果他能夠活到高斯那樣的歲數(shù)，它與高斯誰更偉大 也許，伽羅華會成為最偉大的科學(xué)家，并與阿基米德，牛頓，愛因斯坦齊名123數(shù)學(xué)王子高斯：最聰明、最多才、最長壽的數(shù)學(xué)家 近代數(shù)學(xué)的重要的

62、奠基者，也是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一 1777年4月30日，高斯生于德國的布倫茲維克城。這位罕見的數(shù)學(xué)奇才，用他輝煌的數(shù)學(xué)成就和異常敏捷的數(shù)學(xué)思維能力，給后世留下了許許多多近乎神話的傳說。高斯的祖父是農(nóng)民，父親是個泥瓦匠，由于生活很貧困；壓根兒就沒打算送高斯去上學(xué)124天分改變?nèi)松?驚人的數(shù)學(xué)天賦，使父親改變了主意 10歲讓他的老師驚訝得說不出話來 數(shù)學(xué)老師激動地向?qū)W校報告了這件事，還買了最好一本數(shù)學(xué)書送給高斯125公爵夫人感到不可思議 公爵認(rèn)為這個天才少年是布倫茲克城的驕傲，決定資助他上大學(xué)深造 1795年18歲的高斯進(jìn)入著名的哥廷根大學(xué) 哥廷根大學(xué)因為高斯而享譽(yù)世界126高斯的成就 179

63、6年3月20日，他用直尺圓規(guī)作出正17邊形（古希臘人提出2000年而未能解決的著名難題）就在這一天，高斯決定畢生致力于數(shù)學(xué)研究，這時高斯已是轟動歐洲的新聞人物了 同年，高斯告訴人們什么樣的正多邊形能用直尺和圓規(guī)作出，什么樣的正多邊形不能用直尺與圓規(guī)作出，比如正7、正11邊形就作不出，正257、正65537邊形就能用直尺與圓規(guī)作出127高斯的成就 同年，高斯發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的雙周期性，有使他獲得巨大的榮譽(yù) 1799年，高斯證明代數(shù)基本定理：一個牛頓、拉格朗日等大批數(shù)學(xué)家沒有證明的數(shù)學(xué)結(jié)論。這也是高斯的博士論文。22歲，高斯成為一代數(shù)學(xué)宗師。年輕的高斯風(fēng)靡了整個國際數(shù)學(xué)界，被認(rèn)為是一個“能從九霄云外

64、的高度掌握星空和深奧數(shù)學(xué)的天才”被榮為“數(shù)學(xué)王子”128高斯的成就 1816年高斯就知道歐幾里得的“第五公理”可以突破，他得到了一個嶄新的幾何學(xué)“非歐幾何”但他懾于宗教勢力，未能發(fā)表他的論文，從而，失去了在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)上又一個重大的貢獻(xiàn) 高斯在天文上的貢獻(xiàn)。（哥廷根大學(xué)天文臺臺長）高斯的墓碑上刻著正17棱柱，以此紀(jì)念偉大的高斯129數(shù)學(xué)的主要成就數(shù)學(xué)的主要成就 變量數(shù)學(xué)時代逐步形成：解析幾何、高等代數(shù)、變量數(shù)學(xué)時代逐步形成：解析幾何、高等代數(shù)、微積分微積分 它們構(gòu)成現(xiàn)在大學(xué)理科非數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課它們構(gòu)成現(xiàn)在大學(xué)理科非數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課 這一時期數(shù)學(xué)發(fā)展的動力來源于歐洲資本主義這一時期數(shù)學(xué)發(fā)展的動力

65、來源于歐洲資本主義社會的發(fā)展，所以近代數(shù)學(xué)的成就幾乎都是在社會的發(fā)展，所以近代數(shù)學(xué)的成就幾乎都是在歐洲完成的歐洲完成的 幾個文明古國已經(jīng)衰敗，中國在變量數(shù)學(xué)中幾幾個文明古國已經(jīng)衰敗，中國在變量數(shù)學(xué)中幾乎沒有貢獻(xiàn)乎沒有貢獻(xiàn)130變量數(shù)學(xué)德發(fā)展結(jié)果 行成下在大學(xué)數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的三大門類課程：微積分，高等代數(shù)，高等幾何 為數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展奠定基礎(chǔ)：全面開始了數(shù)學(xué)方方面面的研究工作 幾何上，代數(shù)上積聚了重大突破的能量 數(shù)學(xué)進(jìn)入自己的黃金時代131第四章：近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期 第四階段：近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期從19世紀(jì)20年代至今數(shù)學(xué)發(fā)展極為昌盛快速，成為一棵根繁葉茂的參天大樹，深入到人類生活的各個領(lǐng)域。從內(nèi)容上看，它研究

66、了最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，建立了抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、集合論、數(shù)理邏輯、概率統(tǒng)計、圖論、運(yùn)籌學(xué)、模糊數(shù)學(xué)等等學(xué)科，它們成為現(xiàn)在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的主要課程或成為計算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識。132迎來三件驚天動地的大事：18世紀(jì)與19世紀(jì)之交，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)已經(jīng)完備，沒有發(fā)展的余地了 數(shù)學(xué)寧靜了一段時間，終于迎來了暴風(fēng)驟雨 由俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基提出了與傳統(tǒng)的歐幾里得幾何不同的幾何理論，（它否定了歐氏幾何的平行公理）引發(fā)了一場數(shù)學(xué)革命，被稱為數(shù)學(xué)狂飆 經(jīng)過近百年的發(fā)展，數(shù)學(xué)和人類迎來三件驚天動地的大事 133愛因斯坦、電子計算機(jī)、空間技術(shù)：源于愛因斯坦的數(shù)學(xué)推導(dǎo)E=C2M(C為光速，M為物質(zhì)的質(zhì)量，E為能量)而掌握的原子能 源于數(shù)學(xué)和電子學(xué)的電子計算機(jī) 源于數(shù)學(xué)與天文、工業(yè)的空間技術(shù)，將人類帶入一個全新時代 源于數(shù)學(xué)的邊緣學(xué)科紛紛誕生，從數(shù)學(xué)中分出的計算機(jī)科學(xué)成為二十世紀(jì)末二十一世紀(jì)最活躍、最賺錢的科學(xué)技術(shù)。134今天的數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)發(fā)展至今，有眾多門類，包羅萬象，多姿多彩，一般分為純碎數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。純碎數(shù)學(xué)的是不考慮實際問題，依靠人類的思維抽象、推導(dǎo)出的理論，應(yīng)用數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)之