《機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)第四章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)第四章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法（29頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 一 列方程法,單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng),,只要列出單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，就可以得到振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率,,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 一 列方程法,例4-1-1：建立圖4-1-1(a)所示的均質(zhì)桿繞O點(diǎn)作微幅轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,,解：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)，取均質(zhì)桿為研究對(duì)象，畫其受力圖如圖(b)。根據(jù)動(dòng)量矩定理,,,,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 一 列方程法,即,,解：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)，取均質(zhì)桿為研究對(duì)象，畫其受力圖如圖(b)。根據(jù)動(dòng)量矩定理,,,,,,振動(dòng)系統(tǒng)固有頻

2、率：,,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 二能量法,原理： 對(duì)于單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)，其響應(yīng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，系統(tǒng) 或 。在靜平衡位置，勢(shì)能為0，動(dòng)能達(dá)到最大，即： 。在最大位移處，動(dòng)能為0，勢(shì)能達(dá)到最大，即： 。所以有：,,例：對(duì)圖4-1-1所示的振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能,,,,,,,,,,系統(tǒng)的勢(shì)能,,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-1 單自由度系統(tǒng) 二能量法,令,,例：對(duì)圖4-1-1所示的振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能,,,,,,,,,,系統(tǒng)的勢(shì)能,,,則有：,,,最大動(dòng)能,,,最大勢(shì)能：,由,,,得：,系統(tǒng)的固有頻率,,第4章

3、固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-2 多自由度系統(tǒng) 4-2-1求特征值法,令,,對(duì)于多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，其無(wú)阻尼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方,,,,,,,,,,,,帶入方程4-2-1并消去 項(xiàng)得,,,欲使方程有非0解，令方程的系數(shù)行列式等于0,,,可得到特征方程的n個(gè)特征根 ，即振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率,,,,,4-2-1,,,,特征方程，又稱振幅方程,,,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-2 多自由度系統(tǒng) 4-2-1求特征值法,,例4-2-1：2個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：,,,,,,,,,,,,令其特征方程的系數(shù)行列式等于0得,,,,,即：,,,,,,,,,,,,,可得固有頻率

4、,,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-2 多自由度系統(tǒng) 4-2-2計(jì)算固有頻率的近似法,,一、瑞利法（Rayleigh法）,,,,,,,,,,,,瑞利法從單自由度振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率計(jì)算的能量方法出發(fā)，對(duì)于多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，在作無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)， 響應(yīng)為同步振動(dòng)。系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為：,,,,,系統(tǒng)的勢(shì)能,,,,,,,,,,,,,設(shè),,,,,,帶入得最大動(dòng)能,,,最大勢(shì)能,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,4-2 多自由度系統(tǒng) 4-2-2計(jì)算固有頻率的近似法,,一、瑞利法（Rayleigh法）,,,,,,,,,,,,帶入公式 得：,,,,,利用4-2-7精確計(jì)算多自由度振動(dòng)系統(tǒng)

5、的固有頻率，前提條件是需要已知系統(tǒng)的振型，這是無(wú)法做到的。但振動(dòng)系統(tǒng)的一階振型的近似值一般可以預(yù)測(cè)，大都數(shù)情況下與其靜載荷作用下產(chǎn)生的靜變形十分接近。,,,,,,,,,,,,,例如例4-2-1所給出的振動(dòng)問(wèn)題，若取,,,,,,,,代入式4-2-7進(jìn)行試算：,,4-2-7,,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,一、瑞利法（Rayleigh法）,,,,,,,,,,,,,,,,若取,,,,,,,,,,,,,若取,,,,,,,,與精確解相比，一階固有頻率的相對(duì)計(jì)算誤差,,,,,代入式4-2-7進(jìn)行試算,,,,二階固有頻率的相對(duì)計(jì)算誤差,瑞利法的計(jì)算精度決定于對(duì)振型的假設(shè)。計(jì)算一階固有頻率精度較高但數(shù)值偏

6、大,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,二、鄧克利法（Dunkenley法）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)于二個(gè)自由度系統(tǒng)：,,,,,,,,,,,,,,,展開整理,對(duì)于多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，若用柔度法建立的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：,,4-2-8,同樣地令,,,,特征方程,,,(a),第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,二、鄧克利法（Dunkenley法）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一般有 ，即 因此有,,,,,,,,,,,,,,,設(shè) 為方程的兩個(gè)根，則有,,比較（a）（b）兩式，可得,,,,,,,（b）,,,,,第4章 固有頻

7、率的實(shí)用計(jì)算方法,,二、鄧克利法（Dunkenley法）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,用Dunkenley法求解上例,,,,,,,,,,,,,,,一般地，對(duì)于具有n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng),,即Dunkenley法計(jì)算自由度的振動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率的計(jì)算公式。,,,,,,,,,,,,,,,Dunkenley法計(jì)算結(jié)果偏小,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,4-3 傳遞矩陣法（Transfer Matrix Method）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,傳遞矩陣法屬于一種半解析數(shù)值解法，其基本思路：將系統(tǒng)離散成若干單元，每一個(gè)

8、單元與鄰近單元界面上用位移協(xié)調(diào)條件和力的平衡條件予以聯(lián)系；每一單元可以用牛頓第二定律建立運(yùn)動(dòng)方程，從而建立單元兩端之間的傳遞矩陣。求解從系統(tǒng)的邊界開始，在邊界上有的外力及位移關(guān)系是已知的，求出另一側(cè)的力和位移；依次進(jìn)行下去最后可得到問(wèn)題的解。傳遞矩陣法既可求振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，也可以求振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題。,,,,,,,,,,,,,,,,第4章 固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,4-3 傳遞矩陣法（Transfer Matrix Method）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,圖

9、4-3-1 軸的縱向振動(dòng)離散化模型,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,傳遞矩陣法的求解步驟,1.系統(tǒng)的離散化,利用集中質(zhì)量法將具有分布質(zhì)量的連續(xù)系統(tǒng)離散為具有n個(gè)自由度的鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，如圖4-3-1(b),并進(jìn)行編號(hào),2.建立點(diǎn)場(chǎng)矩陣,取第i個(gè)質(zhì)量彈簧元件研究,兩端狀態(tài)向量關(guān)系,,寫成矩陣形式,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,

10、,,,,,,,,,,,,場(chǎng)傳遞矩陣,研究質(zhì)量元件,在沒(méi)有外激勵(lì)力作用時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，可得下列關(guān)系式,若振動(dòng)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則有,,,,,,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,即,質(zhì)量 兩側(cè)狀態(tài)向量之間的關(guān)系方程,,,,,,,,,點(diǎn)傳遞矩陣,,3.求系統(tǒng)的傳遞矩陣,第i個(gè)質(zhì)量彈簧單元的狀態(tài)向量傳遞關(guān)系,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸

11、的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,令 ,稱振動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量,寫成簡(jiǎn)潔的形式,對(duì)于圖4-3-1(b)所示的振動(dòng)系統(tǒng)，最右端狀態(tài) 與最左端狀態(tài) 之間的關(guān)系,,,,,,,,,,,第i個(gè)質(zhì)量彈簧單元的傳遞矩陣,,,4-3-7,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,稱系統(tǒng)的總的傳遞矩陣,而狀態(tài)向量 依賴于邊界條件。,4.求系統(tǒng)的固有頻率,,,,,,,,,,,,,,,,求系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，從最左邊的狀態(tài) 向量 出發(fā)，利用式4-3-7

12、計(jì)算最右邊的狀態(tài)向量 得到一個(gè)關(guān)于 的方程式，其中滿足所需解決問(wèn)題邊界條件的 就是系統(tǒng)的固有頻率。,,,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)于圖5-3-1所示的懸臂梁的縱向振動(dòng)問(wèn)題，其邊界條件為 ， ，代入3-3-7式有,從而得 ， 。滿足 的 即 為系統(tǒng)的固有頻率。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,

13、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,例4-3-1用傳遞矩陣法求圖4-3-2所示的單自由度系統(tǒng)的固有頻率,解：1：編號(hào)：如圖所示 2：計(jì)算點(diǎn)、場(chǎng)矩陣,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,點(diǎn)矩陣,,場(chǎng)矩陣,,3、計(jì)算傳遞矩陣：,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4、求系統(tǒng)的固有頻率(無(wú)阻尼自由振動(dòng)) 根據(jù)

14、邊界條件 代入：,,,,,,,固有頻率,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例4-3-2用傳遞矩陣法求圖4-3-3所示的2個(gè)自由度系統(tǒng)的固有頻率,,,,,,,解：1：編號(hào)：如圖所示 2：計(jì)算點(diǎn)、場(chǎng)矩陣及傳遞矩陣,,圖4-3-3,,,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-1傳遞矩陣法分析軸的縱向振

15、動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3.求系統(tǒng)的固有頻率(無(wú)阻尼自由振動(dòng)) 由邊界條件 代入上式得:,,,,,,,由上式的第2式得：,,,,即：,,可解出兩個(gè)根，即系統(tǒng)的固有頻率：,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-2傳遞矩陣法分析圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一 傳遞矩陣的計(jì)算,,,,,,,圖4-3-4b)為系統(tǒng)的某一具有代表性的第n段單元。其點(diǎn)矩陣形式的動(dòng)力方程為,,,,,為第n段單元對(duì)轉(zhuǎn)

16、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,,圖4-3-4 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)單元狀態(tài)向量表示,,,,場(chǎng)矩陣形式的彈性方程,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-2傳遞矩陣法分析圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一 傳遞矩陣法的計(jì)算,,,,,,,第n段單元的傳遞矩陣,,,,,,,,,系統(tǒng)的傳遞矩陣的計(jì)算公式仍然可以表示為,,,,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-2傳遞矩陣法分析圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),,,,

17、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二 算法流程圖,,,,,,,,,,圖4-3-5(a)所示的一端固定一端自由的圓軸作扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)，其中桿長(zhǎng)為l ，軸徑為d ，材料的切變模量為G ，密度為 ，用傳遞矩陣法計(jì)算一階固有頻率。,,,,,,,,,,,,第4章固有頻率的實(shí)用計(jì)算方法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4-3-2傳遞矩陣法分析圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二 算法流程圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖4-3-7 傳遞矩陣法的計(jì)算結(jié)果,在01000rad/s范圍內(nèi)，計(jì)算得到的前3階固有頻率為158.5，475和791.5rad/s。而由理論解分別為159.08，477.24和795.4rad/s,相對(duì)誤差分別為0.365%，0.469%和0.490%。,