《高三數(shù)學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題二 函數(shù)、導數(shù)、不等式 12_2 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用課件 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題二 函數(shù)、導數(shù)、不等式 12_2 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用課件 理 新人教版（89頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二講 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用,【知識回顧】 1.幾種常見函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型:_____________. (2)二次函數(shù)模型:________________. (3)指數(shù)函數(shù)模型:____________________. (4)對數(shù)函數(shù)模型:_____________________.,y=ax+b(a0),y=ax2+bx+c(a0),y=abx+c(b0且b1),y=blogax+c(a0且a1),(5)分段函數(shù)模型:________________(A1A2=).,2.函數(shù)的零點 (1)函數(shù)的零點及函數(shù)的零點與方程的根的關系 對于函數(shù)f(x),把使f(x)=0的實數(shù)x叫做

2、函數(shù)f(x)的 _____,函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x) 的根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點的 _______.,零點,橫坐標,(2)零點存在性定理 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一 條曲線,并且有_____________,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)有零點,即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也 就是方程f(x)=0的一個根.,f(a)f(b)<0,【易錯提醒】 1.忽略概念致誤:函數(shù)的零點不是一個“點”,而是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標.,2.不能準確應用零點存在性定理致誤:函數(shù)零點存在性

3、定理是說滿足某條件時函數(shù)存在零點,但存在零點時不一定滿足該條件.即函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)存在零點,不一定有f(a)f(b)<0.,【考題回訪】 1.(2016四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(),(參考數(shù)據(jù):lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年,【解析】選B.設x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為 200萬元, 由題可知,130(1+12%)x

4、=200,解得x=log1.12 =3.80,因資金需超過200萬,則x取4,即2019年.,2.(2016天津高考)已知函數(shù)f(x)= (a0且a1)在R上單調(diào)遞減，且關于x的方程|f(x)|= 2-x恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是(),【解析】選C.,由y=loga(x+1)+1在0，+)上遞減，則0

5、3a2時，由圖象可知，符合條件. 綜上：a,3.(2016江蘇高考)已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a0,b0, a1,b1). (1)設a=2,b= . 求方程f(x)=2的根; 若對任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求實 數(shù)m的最大值.,(2)若01,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個零點,求ab的值.,【解析】(1)f(x)=2x+ ,由f(x)=2可得2x+ =2(2x1)2=02x=1x=0; 由題意得22x+ m -6恒成立, 令t=2x+ ,則由2x0可得t =2,此時t2-2 mt-6恒成立,即m 恒成立,,因為t2時 =4,當且僅當t=2時等號成立

6、,因 此實數(shù)m的最大值為4. (2)g(x)=f(x)-2=ax+bx-2, g(x)=axlna+bxlnb=axlnb ,01可 得 則h(x)是遞增函數(shù),而lna0,因此x0= 時,h(x0)=0,,因此x(-,x0)時,h(x)0,則g(x)0,axlnb0,則g(x)0, 則g(x)在(-,x0)上遞減,在(x0,+)上遞增,因此g(x)的最小值為g(x0).,若g(x1) =2,bx0,則g(x)0, 因此x10,因此g(x)在(x1,x0) 有零點,則g(x)至少有兩個零點,與條件矛盾. 若g(x0)0,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個零點, g(x)的最

7、小值為g(x0),可得g(x0)=0, 由g(0)=a0+b0-2=0,,因此x0=0,因此 即lna+lnb=0,ln(ab)=0,則ab=1.,熱點考向一函數(shù)的零點 命題解讀:主要考查利用函數(shù)零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合法確定函數(shù)零點的個數(shù)或其存在范圍,以及應用零點求參數(shù)的值(或范圍),常用高次函數(shù)、分式、指數(shù)式、對數(shù)式、三角式結(jié)構(gòu)為載體,以選擇題、填空題為主;有時與導函數(shù)結(jié)合在解答題中出現(xiàn).,命題角度一確定函數(shù)零點個數(shù)或其存在范圍 【典例1】(1)(2016大慶一模)已知函數(shù)f(x)= 若 ,則f(x)零點所在區(qū)間為(),(2)(2016合肥二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x0 時

8、,f(x)= 則關于x的函數(shù)F(x)=f(x) -a(0

9、析】由典例1(2)解析知函數(shù)f(x)與y=a有5個交點, 設其橫坐標從左到右分別為x1,x2,x3,x4,x5,則 = -3, =3,而- (-x3+1)=alog2(1-x3)=ax3=1- 2a,可得x1+x2+x3+x4+x5=1-2a. 即所有零點之和為1-2a.,2.若把典例1(2)條件中“01時零點個數(shù)為1. 當a=-1或a=1時,零點個數(shù)為3. 當-1

10、=x2,若g(x)=f(x)-logax在x (0,+)上有且僅有三個零點,則a的取值范圍為(),A.3,5B.4,6 C.(3,5)D.(4,6) 【解題導引】根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性畫出f(x)和y=logax在(0,+)上的圖象,根據(jù)交點個數(shù)列出不等式,解出a.,【規(guī)范解答】選C.因為f(x)-f(-x)=0, 所以f(x)=f(-x), 所以f(x)是偶函數(shù), 根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性畫出f(x)的圖象如圖所示:,因為g(x)=f(x)-logax在x(0,+)上有且僅有三個零 點, 所以y=f(x)和y=logax的圖象在(0,+)上只有三個交 點, 所以 解得3

11、律方法】 1.判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 (1)直接求零點:令f(x)=0,則方程解的個數(shù)即為零點的個數(shù). (2)利用零點存在性定理:利用該定理還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點.,(3)數(shù)形結(jié)合法:對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形,常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出的函數(shù)圖象交點問題.,2.利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解. (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解. (3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題,從而構(gòu)建不等式求解.,【題組過關】 1.(2016武漢一模)函數(shù)f(x)=lnx+x3-9的零點

12、所在的區(qū)間為() A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4),【解析】選C.由于函數(shù)f(x)=lnx+x3-9在(0,+)上是增函數(shù),f(2)=ln2-10,故函數(shù)f(x)=lnx+x3-9在區(qū)間(2,3)上有唯一的零點.,2.(2016赤峰一模)若函數(shù)y=f(x)(xR)滿足f(x+2)= f(x),且x-1,1時,f(x)=1-x2,g(x)= 則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間-5,5內(nèi)的零點的個數(shù) 為() A.5B.7C.8D.10,【解析】選C.本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)與方程.由f(x+2)=f(x)可得f(x)是周期為2的周期函數(shù);畫出函數(shù)f(x)與g

13、(x)的圖象(如圖所示);它們在區(qū)間-5,5內(nèi)有8個交點,所以函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間-5,5內(nèi)的零點的個數(shù)為8.,3.(2016亳州二模)已知函數(shù)f(x)= (a0,且a1)的圖象上關于y軸對稱的點至少有5對,則 實數(shù)a的取值范圍為(),【解析】選D.若x0, 因為x0時,f(x)=sin -1, 所以f(-x)=sin -1 =-sin -1, 則若f(x)=sin -1(x0)關于y軸對稱,,則f(-x)=-sin -1=f(x), 即y=-sin -1,x<0, 設g(x)=-sin -1,x<0, 作出函數(shù)g(x)的圖象, 要使y=-sin -1,x<0與f(x)

14、=loga(-x),x<0的圖象至 少有5個交點,,則0logaa-2, 即7< ,綜上可得0

15、f(x)=x3-3x+m的導函數(shù)為:f(x)= 3x2-3,所以f(x)=x3-3x+m的極大值為f(-1)=2+m,極小 值為f(1)=-2+m. 因為該函數(shù)只有一個零點,所以f(-1)=2+m0,所以m2.,熱點考向二函數(shù)與方程的綜合應用 命題解讀:主要考查以高次式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式、三角式以及絕對值式為載體的方程解的個數(shù)或由其解的個數(shù)求參數(shù)的值(或范圍),常與函數(shù)的圖象與性質(zhì)交匯命題,以選擇題、填空題為主.,【典例3】(1)(2016安慶一模)已知函數(shù)f(x)= 若函數(shù)g(x)=f(x)-k僅有一個零點,則k 的取值范圍是(),(2)(2016山東高考)已知函數(shù)f(x)= 其

16、中m0,若存在實數(shù)b,使得關于x的方程f(x)=b有三個 不同的實根,則m的取值范圍是________.,【解題導引】(1)轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點為方程的根,利用數(shù)形結(jié)合求解即可. (2)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=f(x)與y=b的圖象有三個不同的交點問題,數(shù)形結(jié)合求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.函數(shù)f(x)= 若函數(shù)g(x)=f(x)-k僅有一個零點, 即f(x)=k,只有一個解, 在平面直角坐標系中畫出,y=f(x)的圖象, 結(jié)合函數(shù)圖象可知,方程只有一個解時,k(-,0),(2)由圖象可知,要滿足題設要求,必須有mm2- 2mm+4m,所以m2-2m2+4m0,整理后,解得 m3. 答案:,【規(guī)律方法

17、】應用函數(shù)思想確定方程解的個數(shù)的兩種方法 (1)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解. (2)分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解.,【題組過關】 1.(2016湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(-x)只有一個零點,則實數(shù)的值是(),【解析】選C.令y=f(2x2+1)+f(-x)=0,且f(x)是奇函 數(shù),則f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-),又因為f(x)是R上 的單調(diào)函數(shù),所以2x2+1=x-只有一個零點,即2x2-x+ 1+=0只有一個解,則=1-8(1+)=0,解得=- .,2.(2016

18、長沙二模)已知f(x)= 若存在實 數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點,則a的取值范 圍是________.,【解析】依題意可知,問題等價于方程x3=b(xa)與方 程x2=b(xa)的根的個數(shù)和為2,若兩個方程各有一個根, 則可知關于b的不等式組 有解,所以a21;,若方程x3=b(xa)無解,方程x2=b(xa)有2個根; 則可知關于b的不等式組 有解,從而a<0, 綜上,實數(shù)a的取值范圍是(-,0)(1,+). 答案:(-,0)(1,+),【加固訓練】 1.設函數(shù)f(x)=-x,g(x)=lg(ax2-4x+1),若對任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),則

19、實數(shù)a的取值范圍為() A.(-,4B.(0,4 C.(-4,0D.4,+),【解析】選A.f(x)=-x0,所以f(x)的值域是 (-,0. 設g(x)的值域為A,因為對任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),所以(-,0A.設y=ax2-4x+1的值域為B,則(0,1B. 顯然當a=0時,上式成立.當a0時,=16-4a0,,解得0

20、C.當x(2,3)時,x-2(0,1), 則f(x)=2f(x-2)-2=2(x-2)2-2(x-2)-2, 即為f(x)=2x2-10 x+10, 當x3,4時,x-21,2, 則f(x)=2f(x-2)-2= -2.,當x(0,1)時,當x= 時,f(x)取得最小值,且為- ; 當x1,2時,當x=2時,f(x)取得最小值,且為 ; 當x(2,3)時,當x= 時,f(x)取得最小值,且為- ; 當x3,4時,當x=4時,f(x)取得最小值,且為-1. 綜上可得,f(x)在(0,4上的最小值為- .,若x(0,4時,t2- f(x)恒成立, 則有t2- - .解得1t .,熱點考向三函數(shù)的

21、實際意義 命題解讀:主要考查涉及物價、投入、產(chǎn)出、路徑、工程、環(huán)保等國計民生的實際問題,常以面積、條件、利潤等優(yōu)化問題出現(xiàn),與函數(shù)的最值、不等式、導數(shù)的應用綜合命題,一般為解答題.,【典例4】一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池,池的深度一定(平面圖如圖所示),如果池四周用墻建造單價為400元/米,中間兩道隔墻建造單價為248元/米,池底建造單價為80元/平方米,水池所有墻的厚度忽略不計.,(1)試設計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價. (2)若由于地形限制,該池的長和寬都不能超過16米,試設計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價.,【解題導引

22、】(1)先設出一個變量,得出關于總造價的關系式,進而求出最小值即可. (2)注意池底的限制條件,重新求(1)中解析式的最值即可.,【規(guī)范解答】 (1)設污水處理池的寬為x米,則長為 米. 總造價f(x)=400 +2482x+80162 =1296x+ +12960 =1296 +12960 12962 +12960,=38880(元), 當且僅當x= (x0), 即x=10時取等號, 所以當污水處理池的長為16.2米,寬為10米時總造價最 低,總造價最低為38880元.,(2)由限制條件知 所以 x16, 設g(x)=x+ 當x= 時,總造價最低, 最低價為1296 +12

23、960=38882(元), 所以當污水處理池的長為16米,寬為 米時總造價最 低,總造價最低為38882元.,【規(guī)律方法】應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序 和解題關鍵 (1)一般程序: (2)解題關鍵:解答這類問題的關鍵是確切地建立相關 函數(shù)解析式,然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有 關知識加以綜合解答.,【題組過關】 1.(2016哈爾濱二模)某市家庭煤氣的使用量x(m3)和 煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)= 已知 某家庭今年前三個月的煤氣費如表:,若四月份該家庭使用了20m3的煤氣,則其煤氣費為() A.11.5元B.11元 C.10.5元D.10元,【解析】選A.經(jīng)分析

24、知:A4,C=4. 根據(jù)題意有: 解得: 所以f(20)=4+0.5(20-5)=11.5.,2.(2016成都一模)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:)滿足函數(shù)關系y=ekx+b(e= 2.718為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0的保鮮時間是192小時,在22的保鮮時間是48小時,則該食品在33的保鮮時間是________小時.,【解析】由題意得 當x=33時,y=e33k+b=(e11k)3eb= 192=24. 答案:24,【加固訓練】 1.某人想開一家服裝專賣店,經(jīng)過預算,該門面需要 門面裝修費20000元,每天需要房租、水電等費用100 元,受經(jīng)

25、營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響,專賣店 銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關系式是R=R(x)=,則總利潤最大時,該門面經(jīng)營的 天數(shù)是() A.100B.150C.200D.300,【解析】選D.由題意知,總成本C=20000+100 x. 所以總利潤P=R-C = 則P= 所以P在0,300上單調(diào)遞增,在(300,+)上單調(diào)遞減, 由題意易知當x=300時,總利潤最大.,2.(2016廈門模擬)某地一漁場的水質(zhì)受到了污染.漁 場的工作人員對水質(zhì)檢測后,決定往水中投放一種藥劑 來凈化水質(zhì).已知每投放質(zhì)量為m(mN*)個單位的藥劑 后,經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足 y

26、=mf(x),其中f(x)= 當藥劑在水中釋 放的濃度不低于6(毫克/升)時稱為有效凈化;當藥劑在,水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時稱為最佳凈化. (1)投放的藥劑質(zhì)量為m=6,試問漁場的水質(zhì)達到有效凈化一共可持續(xù)幾天? (2)投放的藥劑質(zhì)量為m,為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內(nèi)的漁場的水質(zhì)達到最佳凈化,試確定應該投放的藥劑質(zhì)量m的取值范圍.,【解析】(1)由題設知投放的藥劑質(zhì)量為m=6,漁場的水 質(zhì)達到有效凈化6f(x)6f(x)1 或 0