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1、專題10 數(shù)學思想方法,,第46練分類討論思想,思想方法解讀,,分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想方法，其基本思路是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略. 1.中學數(shù)學中可能引起分類討論的因素： (1)由數(shù)學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等.,(2)由數(shù)學運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列an的前n項和公式等. (3)由性質(zhì)、定理、公式的

2、限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等. (4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等.,(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導致所得的結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等. 2.進行分類討論要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論.其中最重要的一條是“不重不漏”.,3.解答分類討論問題時的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(

3、沒有重復)；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.,?？碱}型精析,,高考題型精練,,題型一由概念、公式、法則、計算性質(zhì)引 起的分類討論,題型二分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用,題型三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論,?？碱}型精析,題型一由概念、公式、法則、計算性質(zhì)引起的分類討論,例1設(shè)集合AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若BA，求實數(shù)a的取值范圍. 解A0，4，BA，于是可分為以下幾種情況. (1)當AB時，B0，4，,(2)當B A時，又可分為兩種情況. 當B時，即B0或B4， 當x0時，有a1； 當x4時，有a7或a1. 又

4、由4(a1)24(a21)0， 解得a1，此時B0滿足條件； 當B時，4(a1)24(a21)<0，解得a<1. 綜合(1)(2)知，所求實數(shù)a的取值范圍為a1或a1.,點評對概念、公式、法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準確把握是解題關(guān)鍵，在本題中，BA，包括B和B兩種情況.解答時就應(yīng)分兩種情況討論，在關(guān)于指數(shù)、對數(shù)的運算中，底數(shù)的取值范圍是進行討論時首先要考慮的因素.,變式訓練1若函數(shù)f(x)ax (a0，a1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m) x 在0，)上 是增函數(shù)，則a________.,若0

5、f(x)x22ax1a在x0,1上有最大值2，求a的值. 解函數(shù)f(x)x22ax1a (xa)2a2a1， 對稱軸方程為xa. (1)當a<0時，f(x)maxf(0)1a， 1a2，a1.,(2)當0a1時，f(x)maxf(a)a2a1， a2a12， a2a10，,(3)當a1時，f(x)maxf(1)a， a2. 綜上可知，a1或a2.,點評本題中函數(shù)的定義域是確定的，二次函數(shù)的對稱軸是不確定的，二次函數(shù)的最值問題與對稱軸息息相關(guān)，因此需要對對稱軸進行討論，分對稱軸在區(qū)間內(nèi)和對稱軸在區(qū)間外，從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可表示函數(shù)的最大值，從而求出a的值.,變式訓練2(2015

6、江蘇)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR). (1)試討論f(x)的單調(diào)性； 解f(x)3x22ax，,當a0時，因為f(x)3x20， 所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；,(2)若bca(實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(，3) 求c的值. 解由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)b，,因為函數(shù)f(x)有三個零點時，,此時，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，,因函數(shù)有三個零點， 則x2(a1)x1a0有兩個異于1的不等實根， 所以(a1)24(1a)a22a30， 且(1)2(a1)1a0，,綜上c1.,題型三

7、根據(jù)圖形位置或形狀分類討論,A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8,取點A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4). (1)當3s<4時，可行域是四邊形OABC，如圖(1)所示，此時，7z<8.,(2)當4s5時，此時可行域是OAC，如圖(2)所示，zmax8.綜上，z3x2y最大值的變化范圍是7,8.,答案D,點評幾類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類 討論 (1)二次函數(shù)對稱軸的變化；(2)函數(shù)問題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖象形狀的變化；(4)直線由斜率引起的位置變化；(5)圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點、線、面的

8、位置變化等.,解若PF2F190，,若F1PF290，,高考題型精練,1.對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1)f(x)0，則必有() A.f(0)f(2)2f(1) 解析依題意，若任意函數(shù)f(x)為常函數(shù)時， 則(x1)f(x)0在R上恒成立；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,若任意函數(shù)f(x)不是常函數(shù)時， 當x1時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)； 當xf(1)，f(2)f(1)， 綜上，則有f(0)f(2)2f(1). 答案C,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.已知數(shù)列an

9、的前n項和Snpn1(p是常數(shù))，則數(shù)列an是() A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.以上都不對,高考題型精練,解析Snpn1， a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)， 當p1且p0時，an是等比數(shù)列； 當p1時，an是等差數(shù)列； 當p0時，a11，an0(n2)，此時an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列. 答案D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,只有直線ykx1與直線x0垂直(如圖)或直線

10、ykx1與直線y2x垂直(如圖)時，平面區(qū)域才是直角三角形.,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由圖形可知斜率k的值為0或 1 2 . 答案D,高考題型精練,4.(2014四川)設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA||PB|的取值范圍是(),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,解析由動直線xmy0知定點A的坐標為(0,0)， 由動直線mxym30知定點B的坐標為(1,3)， 且兩直線互相垂直， 故點P在以AB為直徑的圓上運動. 故當點P與點A或點B重合時，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

11、高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,當點P與點A或點B不重合時，在RtPAB中，有|PA|2|PB|2|AB|210. 因為|PA|2|PB|22|PA||PB|， 所以2(|PA|2|PB|2)(|PA||PB|)2， 當且僅當|PA||PB|時取等號，,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,答案B,高考題型精練,5.拋物線y24px (p0)的焦點為F，P為其上的一點，O為坐標原點，若OPF為等腰三角形，則這樣的點P的個數(shù)為() A.2 B.3 C.4 D.6 解析當|PO||PF|時，點P在線段OF的中垂線上， 此時，點P的位置有兩個； 當|OP||

12、OF|時，點P的位置也有兩個； 對|FO||FP|的情形，點P不存在. 事實上，F(xiàn)(p,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,又y24px，x22px0， 解得x0或x2p， 當x0時，不構(gòu)成三角形. 當x2p(p0)時，與點P在拋物線上矛盾. 符合要求的點P一共有4個. 答案C,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,7.已知函數(shù)f(x)ax33x1對于x1,1總有f(x)0成立，則a

13、________. 解析若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,當x<0即x1,0)時，,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,g(x)在區(qū)間1，0)上單調(diào)遞增， 因此g(x)ming(1)4，從而a4，綜上得a4. 答案4,高考題型精練,8.(2014浙江)若某程序框圖如圖所示，當輸入50時，則該程序運行后輸出的結(jié)果是________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析輸入n50，由于i1，S0， 所以S2011，i2，此時不滿足S50； 當i2時，S212

14、4，i3，此時不滿足S50；,高考題型精練,當i3時，S24311，i4，此時不滿足S50； 當i4時，S211426，i5，此時不滿足S50； 當i5時，S226557，i6，此時滿足S50， 因此輸出i6. 答案6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,9.已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M. (1)求拋物線的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以拋物線的方程為y24x.,高考題型精練,(2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K(m,0

15、)是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系. 解由題意知，圓M的圓心為點(0,2)，半徑為2. 當m4時，直線AK的方程為x4， 此時，直線AK與圓M相離； 當m4時，由(1)知A(4,4)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,即4x(4m)y4m0， 圓心M(0,2)到直線AK的距離,令d2，解得m1.,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以，當m1時，直線AK與圓M相離； 當m1時，直線AK與圓M相切； 當m<1時，直線AK與圓M相交.,高考題型精練,10.已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x) x (xa).

16、 (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 解函數(shù)的定義域為0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,若a0，則f(x)0，f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間0，).,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間0,2上的最小值. 寫出g(a)的表達式； 求a的取值范圍，使得6g(a)2. 解由(1)知，若a0，f(x)在0,2上單調(diào)遞增， 所以g(a)f(0)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,若a6，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，,高考題型精練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,令6g(a)2.若a0，無解. 若0