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1、第二章極限與連續(xù),,極限概念是貫穿整個微積分的基本概念，微分運算、定積 分運算、級數(shù)運算等高等數(shù)學(xué)的運算的實質(zhì)即是某種極限運算。 極限觀念的建立使我們從初等數(shù)學(xué)走向了高等數(shù)學(xué)。,對于極限的思想，先看兩個例子： 古代哲學(xué)家莊周所著的莊子. 天下篇引用過一句話： “一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。,我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家劉徽“ 割圓術(shù) ” 求圓的 面積和周率 的方法 :“ 割之彌細 , 所失彌小,割之又割 , 以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣 ”它包含了“用已知 逼近未知, 用近似逼近精確”的重要極限思想 .,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,播放

2、,(魏晉)劉徽,,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,,說明：劉徽從圓內(nèi)接正六邊形，逐次邊數(shù)加倍到正 3072邊形得到圓周率 的近似值為3.1416,一、數(shù)列的定義,例如,第一節(jié)數(shù)列的極限,注意：,1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取,,,,,,,,,,,,,2.數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù)：,定義:,定義:,例如,是單調(diào)遞增數(shù)列；,是單調(diào)遞減數(shù)列；,沒有單調(diào)性.,播放,二、數(shù)列極限的定義,,問題:,當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,通過上面演示實驗的觀察:,例1,,解,,,解,,,解,問題:,“無限接近”意味著什么?和

3、“接近”有何區(qū)別？如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.,注意：,,,,,,,,,,幾何解釋:,,,,,,,,,其中,,,,即在a的任意小的鄰域里都聚集著數(shù)列的無窮多項， 只有有限個落在外面.,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例：,證,所以,,注意：,例：,證,故,2. 收斂數(shù)列一定有界.,證: 設(shè),取,則,當(dāng),時,,從而有,取,則有,由此證明收斂數(shù)列必有界.,有,三、收斂數(shù)列的性質(zhì),1. 收斂數(shù)列的極限唯一.,3. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .,注: 此性質(zhì)反過來不一定成立 .,例如,,數(shù)列,雖有界但不收斂 .,注:,若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，,則原數(shù)列一定發(fā)散 .,例如，,發(fā)散 !,,內(nèi)容小結(jié):,1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用,2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):,唯一性 ; 有界性 ;,收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限,課后預(yù)習(xí)函數(shù)的極限、單側(cè)極限的概念,作業(yè):,P48. 2（1）（2）（3）（4）,