基于MATLAB的少片變厚截面板簧輕量化設計 1題目的引入 近年來在許多國家的汽車上采用了一種由單片或2—3片變厚度斷面的彈簧片構成的少片變截面鋼板彈簧，其彈簧片的斷面尺寸沿長度方向是變化的，片寬保持不變。這種少片變截面鋼板彈簧克服了多片鋼板彈簧質量大，性能差（由于片間摩擦的存在，影響了汽車的行駛平順性）的缺點。據(jù)統(tǒng)計，在兩種彈簧壽命相等的情況下，少片變截面鋼板彈簧可減少質量40% ~ 50%。因此，這種彈簧對實現(xiàn)車輛的輕量化，節(jié)約能源和合金彈簧鋼材大為有利。目前我國生產的中、輕型載貨汽車的鋼板彈簧懸架基本上都采用了少片變截面鋼板彈簧。 正是由于汽車輕量化需求，在國內外汽車設計中，逐漸采用少片變截面板簧取代多片等截面板簧。少片變截面板簧制造方便，結構簡單，節(jié)省材料，能夠進一步提高板簧的單位儲能量?；善瑧Ψ植季鶆颍沙浞掷貌牧?，大大減少片間摩擦，減輕簧片磨損，提高板簧壽命，降低板簧動剛度，從而改善車輛的行駛平順性同時對提高汽車動力性、經(jīng)濟性與穩(wěn)定性也極有利。為滿足汽車輕量化需求，在國內外汽車設計中，逐漸采用少片變截面板簧取代多片等截面板簧。 現(xiàn)在汽車上采用的變厚截面彈簧主要有兩種型式。即葉片寬度不變與寬度向兩端變寬的彈簧。這里選取葉片寬度不變的板簧利用MATLAB軟件對截面尺寸進行優(yōu)化設計。 2進行需求分析并建立數(shù)學模型 2.1.設計變量 對于梯形變厚斷面彈簧（圖1），其設計參數(shù)包括長度、、，厚度尺度、，葉片寬度b及葉片數(shù)n。 圖1梯形變厚斷面彈簧截面簡圖 ——端部等厚部分厚度 ——中部等厚部分厚度 ——端部等厚長度 ——中部等厚長度之半 ——彈簧總長之半 ——端部載荷 一般取決于彈簧在汽車上的裝夾情況，因此是預先確定的，即為常數(shù)；寬度b取決于整車布置和彈簧扁鋼的尺寸規(guī)格，在彈簧設計之前可以選定一個適當值；葉片數(shù)n一般小于或等于4，在優(yōu)化設計過程中，可以將其作為常數(shù)。因此，優(yōu)化少片簧結構參數(shù)時，其設計變量共有4個，即 并作為連續(xù)變量來考慮。 2.2目標函數(shù) 設計少片變截面鋼板彈簧是為了滿足車輛輕量化要求，在滿足板簧性能的條件下，盡量降低其質量。故優(yōu)化設計的目標函數(shù)為重量最輕，即求。 2.3約束方程 考慮到鋼板彈簧的布置、剛度、強度、材料、尺寸規(guī)格以及制造工藝等方面的要求，可列出下列約束方程。 （1）彈簧卷耳處應力復雜，為使彈簧卷耳具有足夠的強度，彈簧端部等厚部分的厚度應大于其最小的允許厚度： （2）為了保證彈簧鋼材料的淬透性，彈簧中部最大厚度應限制在某一允許厚度之內： （3）根據(jù)彈簧厚度和不相等，且1mm的要求，得約束方程： （4）考慮彈簧的應力分布和其在區(qū)段內的強度，最大應力應小于允許應力，得約束方程： （5）考慮卷耳的尺寸要求： （6）由彈簧主片最大伸直長度之半應限制在某一允許長度L之內的彈簧總體布置要求，得約束方程： （7）為保證汽車具有良好的平順性，彈簧剛度K對于設計要求的剛度的誤差應小于，由此得約束方程 帶入截面尺寸參數(shù)得： （8） 計算應力應小于材料的允許應力。首先要判斷出彈簧最大應力的位置，然后計算其最大應力。 當時，得約束方程： 當時，彈簧最大應力點出現(xiàn)在彈簧中部截面，由此得約束方程： 由上述分析結果可知少片簧以質量最小為目標函數(shù)的優(yōu)化設計問題，是一個4維8個不等式約束的非線性規(guī)劃問題。 在設計編程的過程中，將n值在1~4之間反復試驗，最終得出，在 n=2時有優(yōu)化結果。所以，可以將n值直接帶入2即可。不必將其作為變量來對待。 3 MATLAB優(yōu)化程序設計 3.1選取常量數(shù)值 端部載荷==5076N 彈簧寬度 b=8cm 端部等厚部分最小允許厚度=0.8cm 取彈簧材料為55SiMnVB，則彈簧最大允許淬透厚度=1.5cm 允許剛度誤差Ka=0.1 螺栓距離s=97mm取中間等厚部分長度=5cm 設計剛度K=397 N/cm 許用應力=350MPa =420MPa 3.2 MATLAB優(yōu)化程序代碼與實現(xiàn) 3.2.1主函數(shù) function f=fun(x) fp=fopen('e:11.txt','r'); %讀取數(shù)據(jù) S=fscanf(fp,'%g');%將數(shù)據(jù)寫入矩陣中 %S=textread('ll.txt'); st=fclose(fp); b=S(1,1); n=S(2,1); l3=S(3,1); f=0.156*b*n*(x(1)*x(3)+0.5*(x(4)-x(3)-l3)*(x(1)+x(2))+x(2)*l3); save ceshii.mat f 3.2.2函數(shù)體 function [c,ceq]=confun(x) %非線性約束 fp=fopen('e:12.txt','r'); %讀取數(shù)據(jù) S=fscanf(fp,'%g');%將數(shù)據(jù)寫入矩陣中 st=fclose(fp); %S=textread('l2.txt'); o1=S(1,1); %o1=350MPa o2=S(2,1); %o1=420MPa b=S(3,1); %b=8cm l3=S(4,1); %l3=5cm ke=S(5,1); %ke=397 MPa ka=S(6,1); %ka=0.01 p=S(7,1); %p=5076 n=S(8,1); %n=2 cc=6*p*x(3)*0.01/(n*b*x(1)^2); c(1)=cc-o1; if x(3)<=(x(4)-5)*(2*x(1)/x(2)-1) ccc=6*p*(x(4)-5)/(b*n*x(2)^2); c(2)=ccc-o2; else ccc=1.5*p*(x(2)-x(1))*(((x(4)-5)-x(3))/(x(2)-x(1)))^2/(b*n*(x(1)*(x(4)-5)-x(2)*x(3))); c(2)=ccc-o2; end A=x(3)/(x(4)-5); B=x(1)/x(2); D=A/B; k=D^(3)-1.5*(1-A)^(3)/(1-B)^(3)*(2*log(B)+4*(1-B)*(1-D)/(1-A)-(1-D)^(2)*(1-B^(2))/(1-A)^(2))-1; E=9.66*10^(6)*b*n*x(2)^(3)/(ke*x(4)^(3)+ke*(x(4)-l3)^(3)*k)-1; c(3)=abs(E)-ka; c=[c(1);c(2);c(3)]; ceq=[]; t=[x(1),x(2),x(3),x(4)]; disp(t);%顯示矩陣 fs=fopen('e:13.txt','w');%存入數(shù)據(jù) fprintf(fs,'%5.3f',x(1)); fs1=fopen('e:14.txt','w'); fprintf(fs1,'%5.3f',x(2)); fs2=fopen('e:15.txt','w'); fprintf(fs2,'%5.3f',x(3)); fs3=fopen('e:16.txt','w'); fprintf(fs3,'%5.3f',x(4)); status=fclose(fs);status=fclose(fs1);status=fclose(fs2);status=fclose(fs3); 3.2.3命令窗口調用優(yōu)化程序進行優(yōu)化 %format long x0=[0.5;1.0;8;35] ; A=[1,-1,0,0]; b=[-0.1]; Aeq=[]; beq=[]; lb=[0.8; 1.0;5.0;30.0]; ub=[1.5; 1.5;10.0;35.0]; options=optimset('Largescale','off'); [x,f,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@confun,options); load ceshii.mat fs4=fopen('e:17.txt','w'); fprintf(fs4,'%5.3f',f); 運行程序，得到如下數(shù)據(jù)： 表1 變量值及目標函數(shù)值 片數(shù)n /cm /cm /cm /cm f/kg n=2 0.894 1.027 8.034 34.999 83.406 整理結果進行圓整后得：=9㎜ ; =10㎜ ; =80㎜ ; =350㎜ 此時質量最輕，為83.406kg。 4變截面鋼板彈簧的校核 4.1彈簧最大應力點及最大應力 圖2 梯形變厚端面葉片板簧幾何形狀 圖2中，過B點做拋物線的切線。便得到梯形葉片彈簧ABCD。當在L1XL2長度范圍內。梯形彈簧BC長度上任意一點厚度均大于拋物線彈簧上對應點的厚度。因此梯形彈簧在這段上的任意截面的應力均小于拋物線彈簧上對應點的應力。又因為拋物線上各處應力相等，且等于B點處的應力，所以梯形彈簧BC長度范圍內任意截面上的應力必然小于B點處的應力。 圖中梯形彈簧的BC直線的方程為： （1） 若彈簧端部厚度=h1,則葉片等厚部分理論長度值。 (2) 假設梯形葉片實際等厚部分的長度為L1則當時即理論長度大于實際長度時，最大應力應出現(xiàn)在x>L2區(qū)段內，另外當β<0.5 時即2h1<h2則<0,有<L1。彈簧最大應力點在x<L2區(qū)段內。若最大應力點不是出現(xiàn)在B點，則由： (3) 令 則可得彈簧最大應力點位置 X= (4) 彈簧最大應力為： （5） 根據(jù)上述分析，下面來確定本設計彈簧最大應力點位置。由于本次設計的兩片彈簧尺寸相同，所以只校核一片即可。 L=350mm h1=9mm h2=10mm 故最大應力點在B點。 由式（5）校核最大應力 故 滿足要求。 4.2彎曲應力 考慮到彈簧的應力分布與其在L1段的強度點C處的彎曲應力為 故，符合設計要求。 9