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1、2018年第35屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題 2018年9月22日 一，（40分）假設(shè)地球是一個(gè)質(zhì)量分布各向同性的球體。從地球上空離地面高度為h的空間站發(fā)射一個(gè)小物體，該物體相對(duì)于地球以某一初速度運(yùn)動(dòng)，初速度方向與其到地心的連線垂直。已知地球半徑為R，質(zhì)量為M，引力常量為G。地球自轉(zhuǎn)及地球大氣的影響可忽略。 （1）若該物體能繞地球做周期運(yùn)動(dòng)，其初速度的大小應(yīng)滿足什么條件？ （2）若該物體的初速度大小為v0，且能落到地面，求其落地時(shí)速度的大小和方向（即速度與其水平分量之間的夾角），以及它從開始發(fā)射直至落地所需的時(shí)間。 已知對(duì)于 有 ，式中C為積分常數(shù)。 

2、二，（40分）如圖，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧左端固定，右端連一質(zhì)量為m的小球，彈簧水平水平，它處于自然狀態(tài)時(shí)小球位于坐標(biāo)原點(diǎn)O；小球課在水平地面上滑動(dòng)，它與地面之間的摩擦因數(shù)為。初始時(shí)小球速度為0，將此時(shí)彈簧相對(duì)于其原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)記為-A0 （A0>0但是它并不是已知量）。重力加速度大小為g，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力 （1）如果小球至多只能向右運(yùn)動(dòng)，求小球最終靜止的位置，和此種情形下 A0 應(yīng)滿足的條件； （2）如果小球完成第一次向右運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)右邊后，至多只能向左運(yùn)動(dòng)，求小球最終靜止的位置，和此種情形下 A0 應(yīng)滿足的條件； （3）如果小球只能完成n 次往返運(yùn)動(dòng)（向右經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，然后向左經(jīng)

3、過(guò)原點(diǎn)，算 1 次往返） （4）如果小球只能完成n 次往返運(yùn)動(dòng)，求小球從開始運(yùn)動(dòng)直至最終靜止的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程。  三、（40 分）如圖，一質(zhì)量為M 、長(zhǎng)為l 的勻質(zhì)細(xì)桿AB 自由懸掛于通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O 點(diǎn)的水平光滑轉(zhuǎn)軸上（此時(shí)，桿的上端A 未在圖中標(biāo)出，可視為與O 點(diǎn)重合），桿可繞通過(guò)O 點(diǎn)的軸在豎直平面（即 x-y 平面， x 軸正方向水平向右）內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)；O 點(diǎn)相對(duì)于地面足夠高，初始時(shí)桿自然下垂；一質(zhì)量為m 的彈丸以大小為v0 的水平速度撞擊桿的打擊中心（打擊過(guò)程中軸對(duì)桿的水平作用力為零）并很快嵌入桿中。在桿轉(zhuǎn)半圈至豎直狀態(tài)時(shí)立即撤除轉(zhuǎn)軸。重力加速度大小為 g 。 （1

4、）求桿的打擊中心到O 點(diǎn)的距離； （2）求撤除轉(zhuǎn)軸前，桿被撞擊后轉(zhuǎn)過(guò) （ ）角時(shí)轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力 （3）以撤除轉(zhuǎn)軸的瞬間為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，求撤除轉(zhuǎn)軸后直至桿著地前，桿端 B 的位置隨時(shí)間t 變化的表達(dá)式 和 ； （4）求在撤除轉(zhuǎn)軸后，桿再轉(zhuǎn)半圈時(shí)O 、B 兩點(diǎn)的高度差。  四、（40 分）Ioffe-Pritchard 磁阱可用來(lái)束縛原子的運(yùn)動(dòng)，其主要部分如圖所示。四根均通有恒定電流 I 的長(zhǎng)直導(dǎo)線 1、2、3、4 都垂直于 x-y 平面，它們與 x-y 平面的交點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2a 、中心在原點(diǎn)O 的正方形的頂點(diǎn)，導(dǎo)線 1、2 所在平面與 x 軸平行，各導(dǎo)線中電流方向已在圖中標(biāo)

5、出。整個(gè)裝置置于勻強(qiáng)磁場(chǎng) （k 為 z 軸正方向單位矢量）中。已知真空磁導(dǎo)率為 。 （2）電流在原點(diǎn)附近產(chǎn)生的總磁場(chǎng)的近似表達(dá)式，保留至線性項(xiàng)； （3）將某原子放入磁阱中，該原子在磁阱中所受磁作用的束縛勢(shì)能正比于其所在位置的總磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，即磁作用束縛勢(shì)能 ， 為正的常量。求該原子在原點(diǎn)O附近所受磁場(chǎng)的作用力； （4）在磁阱中運(yùn)動(dòng)的原子最容易從 x-y 平面上什么位置逸出？求剛好能夠逸出磁阱的原子的動(dòng)能 。  五、（40 分）塞曼發(fā)現(xiàn)了鈉光D 線在磁場(chǎng)中分裂成三條，洛侖茲根據(jù)經(jīng)典電磁理論對(duì)此做出了解釋，他們因此榮獲 1902 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。假定原子中的價(jià)電子（質(zhì)量為

6、m ，電荷量為-e ， ）受到一指向原子中心的等效線性回復(fù)力（r 為價(jià)電子相對(duì)于原子中心的位矢）作用，做固有圓頻率為w0 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，發(fā)出圓頻率為w0 的光?，F(xiàn)將該原子置于沿 z 軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B（為方便起見，將 B 參數(shù)化為 ） （1）選一繞磁場(chǎng)方向勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系，使價(jià)電子在該參考系中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，導(dǎo)出該電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程在直角坐標(biāo)系中的分量形式并求出其解 （2）將（1）問(wèn)中解在直角坐標(biāo)系中的分量形式變換至實(shí)驗(yàn)室參考系的直角坐標(biāo)系； （3）證明在實(shí)驗(yàn)室參考系中原子發(fā)出的圓頻率為w0 的譜線在磁場(chǎng)中一分為三；并對(duì)弱磁場(chǎng)（即）情形，求出三條譜線的頻率間隔。

7、 已知：在轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，運(yùn)動(dòng)電子受到的慣性力除慣性離心力外還受到科里奧利力作用，當(dāng)電子相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系運(yùn)動(dòng)速度為v 時(shí)，作用于電子的科里奧利力為。  六、（40 分）如圖，太空中有一由同心的內(nèi)球和球殼構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)裝置，內(nèi)球和球殼內(nèi)表面之間為真空。內(nèi)球半徑為r = 0.200 m ，溫度保持恒定，比輻射率為e =0.800 ；球殼的導(dǎo)熱系數(shù)為 ，內(nèi)、外半徑分別為 R1 =0.900m 、 R2 = 1.00 m ，外表面可視為黑體；該實(shí)驗(yàn)裝置已處于熱穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)球殼內(nèi)表面比輻射率為 E= 0.800 。斯特藩常量為，宇宙微波背景輻射溫度為T =2.73K 。若單位時(shí)間內(nèi)由球

8、殼內(nèi)表面?zhèn)鬟f到球殼外表面的熱量為Q =44.0W ，求（1）球殼外表面溫度T2 ；（2）球殼內(nèi)表面溫度T1 ；（3）內(nèi)球溫度T0 。 已知：物體表面單位面積上的輻射功率與同溫度下的黑體在該表面單位面積上的輻射功率之比稱為比輻射率。當(dāng)輻射照射到物體表面時(shí)，物體表面單位面積吸收的輻射功率與照射到物體單位面積上的輻射功率之比稱為吸收比。在熱平衡狀態(tài)下，物體的吸收比恒等于該物體在同溫度下的比輻射率。當(dāng)物體內(nèi)某處在 z 方向（熱流方向）每單位距離溫度的增量為時(shí)，物體內(nèi)該處單位時(shí)間在 z 方向每單位面積流過(guò)的熱量為，此即傅里葉熱傳導(dǎo)定律  七、（40 分）用波長(zhǎng)為633 nm 的激光水

9、平照射豎直圓珠筆中的小彈簧，在距離彈簧4.2 m 的光屏（與激光水平照射方向垂直）上形成衍射圖像，如圖 a 所示。其右圖與 1952 年拍攝的首張DNA 分子雙螺旋結(jié)構(gòu)X 射線衍射圖像（圖 b）十分相似。 利用圖 a 右圖中給出的尺寸信息，通過(guò)測(cè)量估算彈簧鋼絲的直徑d1 、彈簧圈的半徑 R 和彈簧的螺距 p；圖 b 是用波長(zhǎng)為0.15 nm 的平行X 射線照射DNA 分子樣品后，在距離樣品9.0 cm 的照相底片上拍攝的。假設(shè) DNA 分子與底片平行，且均與X 射線照射方向垂直。根據(jù)圖 b 中給出的尺寸信息，試估算DNA 螺旋結(jié)構(gòu)的半徑 R 和螺距。 說(shuō)明：由光學(xué)原理可知，彈簧上兩段互成

10、角度的細(xì)鐵絲的衍射、干涉圖像與兩條成同樣角度、相同寬度的狹縫的衍射、干涉圖像一致。 八、（40 分）1958 年穆斯堡爾發(fā)現(xiàn)的原子核無(wú)反沖共振吸收效應(yīng)（即穆斯堡爾效應(yīng)）可用于測(cè)量光子頻率極微小的變化，穆斯堡爾因此榮獲 1961 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。類似于原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)，原子核也具有分立的能級(jí)，并能通過(guò)吸收或放出光子在能級(jí)間躍遷。原子核在吸收和放出光子時(shí)會(huì)有反沖，部分能量轉(zhuǎn)化為原子核的動(dòng)能（即反沖能）。此外，原子核的激發(fā)態(tài)相對(duì)于其基態(tài)的能量差并不是一個(gè)確定值，而是在以 E0 為中心、寬度為 的范圍內(nèi)取值的。對(duì)于 57Fe 從第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的躍遷， ， 。已知質(zhì)量 ，普朗克常

11、量 ，真空中的光速c= 3.0ⅹ108 m/ s 。 （1）忽略激發(fā)態(tài)的能級(jí)寬度，求反沖能，以及在考慮核反沖和不考慮核反沖的情形下，57Fe從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)發(fā)出的光子的頻率之差； （2）忽略激發(fā)態(tài)的能級(jí)寬度，求反沖能，以及在考慮核反沖和不考慮核反沖的情形下，57Fe從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)吸收的光子的頻率之差； （3）考慮激發(fā)態(tài)的能級(jí)寬度，處于第一激發(fā)態(tài)的靜止原子核57 Fe* 躍遷到基態(tài)時(shí)發(fā)出的光子能否被另一個(gè)靜止的基態(tài)原子核57 Fe 吸收而躍遷到第一激發(fā)態(tài)57 Fe* （如發(fā)生則稱為共振吸收）？并說(shuō)明理由。 （4）現(xiàn)將 57Fe 原子核置于晶體中，該原子核在躍遷過(guò)程中不發(fā)生反沖?，F(xiàn)有兩塊這樣的晶體，其中一塊靜止晶體中處于第一激發(fā)態(tài)的原子核57 Fe* 發(fā)射光子，另一塊以速度V 運(yùn)動(dòng)的晶體中處于基態(tài)的原子核 57Fe 吸收光子。當(dāng)速度V 的大小處于什么范圍時(shí)，會(huì)發(fā)生共振吸收？如果由于某種原因，到達(dá)吸收晶體處的光子頻率發(fā)生了微小變化，其相對(duì)變化為10-10 ，試設(shè)想如何測(cè)量這個(gè)變化（給出原理和相關(guān)計(jì)算）？