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河南省平頂山市寶豐縣2016屆九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題：每小題3分，共24分． 1．sin30°=（　　） A．0 B．1 C． D． 　 2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（　?。? A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 　 3．如圖所示的物體的左視圖為（　?。? A． B． C． D． 　 4．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=3x2先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（　?。? A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 　 5．一個不透明的口袋里有4張形狀完全相同的卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，口袋外有兩張卡片，分別寫有數(shù)字2，3，現(xiàn)隨機(jī)從口袋里取出一張卡片，求這張卡片與口袋外的兩張卡片上的數(shù)能構(gòu)成三角形的概率是（　?。? A． B． C． D．1 　 6．某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是（　?。? A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5 　 7．如圖，一張矩形紙片ABCD的長AB=a，寬BC=b．將紙片對折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：b=（　?。? A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2 　 8．如圖，在以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（x＞0）與AB相交于點D，與BC相交于點E，若BD=3AD，且△ODE的面積是9，則k=（　?。? A． B． C． D．12 　 　 二、填空題：每空3分，共21分． 9．拋物線y=3（x﹣2）2+5的頂點坐標(biāo)是　　　　　　． 　 10．已知正六邊形的周長是12，則它的半徑是　　　　　　． 　 11．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是　　　　　?。? 　 12．已知一次函數(shù)y1=kx+m和二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它們的兩個交點的橫坐標(biāo)是1和4，那么能夠使得y1＜y2的自變量x的取值范圍是　　　　　　． 　 13．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，則⊙O的半徑為　　　　　　cm． 　 14．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為1：，點A的坐標(biāo)為（0，1），則點E的坐標(biāo)是　　　　　?。? 　 15．拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，當(dāng)x＜﹣1時，y隨著x的增大而減?。铝薪Y(jié)論：①abc＞0；②a+b＞0；③若點A（﹣3，y1），點B（3，y2）都在拋物線上，則y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，則b2﹣4ac≤4a．其中結(jié)論錯誤的是　　　　　?。ㄖ惶顚懶蛱枺? 　 　 三、解答題：共8小題，共75分． 16．已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）當(dāng)該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根； （2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根． 　 17．如圖，水平放置的圓柱形排水管的截面為⊙O，有水部分弓形的高為2，弦AB=4，求⊙O的半徑． 　 18．已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點． （1）求證：△ABM≌△DCM； （2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （3）當(dāng)AD：AB=　　　　　　時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）． 　 19．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點． （1）求一次函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)圖象直接寫出使kx+b＜成立的x的取值范圍； （3）求△AOB的面積． 　 20．如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）． 　 21．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE． （1）求證：DE是半圓⊙O的切線． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長． 　 22．永嘉某商店試銷一種新型節(jié)能燈，每盞節(jié)能燈進(jìn)價為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每周銷量y（盞）與銷售單價x（元）之間關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=﹣2x+100．（利潤=售價﹣進(jìn)價） （1）寫出每周的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間函數(shù)解析式； （2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，這種節(jié)能燈每周能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少元？ （3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于30元．若商店想要這種節(jié)能燈每周獲得350元的利潤，則銷售單價應(yīng)定為多少元？ 　 23．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）． （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值； （3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標(biāo)． 　 　  河南省平頂山市寶豐縣2016屆九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：每小題3分，共24分． 1．sin30°=（　　） A．0 B．1 C． D． 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答即可． 【解答】解：sin30°=． 故選C． 【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵． 　 2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（　　） A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2﹣2x=0， x（x﹣2）=0， x=0，x﹣2=0， x1=0，x2=2， 故選D． 【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，難度適中． 　 3．如圖所示的物體的左視圖為（　?。? A． B． C． D． 【考點】簡單組合體的三視圖． 【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中． 【解答】解：從左面看易得第一層有1個矩形，第二層最左邊有一個正方形． 故選A． 【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖． 　 4．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=3x2先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（　　） A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】先根據(jù)拋物線的頂點式得到拋物線y=3x2的對稱軸為直線x=0，頂點坐標(biāo)為（0，0），則拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點坐標(biāo)為（1，2），然后再根據(jù)頂點式即可得到平移后拋物線的解析式． 【解答】解：∵拋物線y=3x2的對稱軸為直線x=0，頂點坐標(biāo)為（0，0）， ∴拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點坐標(biāo)為（1，2）， ∴平移后拋物線的解析式為y=3（x﹣1）2+2． 故選：C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：先把拋物線的解析式化為頂點式y(tǒng)=a（x﹣k）2+h，其中對稱軸為直線x=k，頂點坐標(biāo)為（k，h），若把拋物線先右平移m個單位，向上平移n個單位，則得到的拋物線的解析式為y=a（x﹣k﹣m）2+h+n；拋物線的平移也可理解為把拋物線的頂點進(jìn)行平移． 　 5．一個不透明的口袋里有4張形狀完全相同的卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，口袋外有兩張卡片，分別寫有數(shù)字2，3，現(xiàn)隨機(jī)從口袋里取出一張卡片，求這張卡片與口袋外的兩張卡片上的數(shù)能構(gòu)成三角形的概率是（　　） A． B． C． D．1 【考點】列表法與樹狀圖法；三角形三邊關(guān)系． 【專題】壓軸題． 【分析】先通過列表展示所有4種等可能的結(jié)果數(shù)，利用三角形三邊的關(guān)系得到其中三個數(shù)能構(gòu)成三角形的有2，2，3；3，2，3；4，2，3共三種可能，然后根據(jù)概率的定義計算即可． 【解答】解：列表如下： 共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中三個數(shù)能構(gòu)成三角形的有2，2，3；3，2，3；4，2，3． 所以這張卡片與口袋外的兩張卡片上的數(shù)能構(gòu)成三角形的概率=． 故選C． 【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：先通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果數(shù)n，再找出其中某事件所占有的結(jié)果數(shù)m，然后根據(jù)概率的定義計算這個事件的概率=．也考查了三角形三邊的關(guān)系． 　 6．某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是（　?。? A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5 【考點】二次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)關(guān)于對稱軸對稱的自變量對應(yīng)的函數(shù)值相等，可得答案． 【解答】解：由函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得 （﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函數(shù)圖象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函數(shù)解析式，得 ， 解得， 函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1 x=2時y=﹣11， 故選：D． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱是解題關(guān)鍵． 　 7．如圖，一張矩形紙片ABCD的長AB=a，寬BC=b．將紙片對折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：b=（　?。? A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2 【考點】相似多邊形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)得到AF=AB=a，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到=，即=，然后利用比例的性質(zhì)計算即可． 【解答】解：∵矩形紙片對折，折痕為EF， ∴AF=AB=a， ∵矩形AFED與矩形ABCD相似， ∴=，即=， ∴（）2=2， ∴=． 故選B． 【點評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等． 　 8．如圖，在以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（x＞0）與AB相交于點D，與BC相交于點E，若BD=3AD，且△ODE的面積是9，則k=（　　） A． B． C． D．12 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】所給的三角形面積等于長方形面積減去三個直角三角形的面積，然后即可求出B的橫縱坐標(biāo)的積即是反比例函數(shù)的比例系數(shù)． 【解答】解：∵四邊形OCBA是矩形， ∴AB=OC，OA=BC， 設(shè)B點的坐標(biāo)為（a，b）， ∵BD=3AD， ∴D（，b）， ∵點D，E在反比例函數(shù)的圖象上， ∴=k，∴E（a，）， ∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣﹣?（b﹣）=9， ∴k=， 故選C． 【點評】此題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，利用了：①過某個點，這個點的坐標(biāo)應(yīng)適合這個函數(shù)解析式；②所給的面積應(yīng)整理為和反比例函數(shù)上的點的坐標(biāo)有關(guān)的形式． 　 二、填空題：每空3分，共21分． 9．拋物線y=3（x﹣2）2+5的頂點坐標(biāo)是?。?，5）?。? 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】由于拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)為（h，k），由此即可求解． 【解答】解：∵拋物線y=3（x﹣2）2+5， ∴頂點坐標(biāo)為：（2，5）． 故答案為：（2，5）． 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)為（h，k）． 　 10．已知正六邊形的周長是12，則它的半徑是　2?。? 【考點】正多邊形和圓． 【分析】由于正六邊形可以由其半徑分為六個全等的正三角形，而三角形的邊長就是正六邊形的半徑，由此即可求解． 【解答】解：∵正六邊形可以由其半徑分為六個全等的正三角形， 而三角形的邊長就是正六邊形的半徑， 又∵正六邊形的周長為12， ∴正六邊形邊長為2， ∴正六邊形的半徑等于2； 故答案為：2． 【點評】此題主要考查正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)；屬于常規(guī)題，熟記正六邊形的半徑等于邊長是解決問題的關(guān)鍵． 　 11．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是　k＜?。? 【考點】根的判別式． 【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=（﹣3）2﹣4k＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根據(jù)題意得△=（﹣3）2﹣4k＞0， 解得k＜． 故答案為：k＜． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根． 　 12．已知一次函數(shù)y1=kx+m和二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它們的兩個交點的橫坐標(biāo)是1和4，那么能夠使得y1＜y2的自變量x的取值范圍是　x＞4或x＜1?。? 【考點】二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】求能夠使得y1＜y2的自變量x的取值范圍，實質(zhì)上就是根據(jù)圖象找出函數(shù)y1=kx+m的值小于y2=ax2+bx+c的值時x的取值范圍，由兩個函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)及圖象的位置，可求范圍． 【解答】解：依題意得，能夠使得y1＜y2的自變量x的取值范圍， 實質(zhì)上就是根據(jù)圖象找出函數(shù)y1=kx+m的值小于y2=ax2+bx+c的值時x的取值范圍， 由兩個函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)及圖象的位置可以知道此時x的取值范圍x＞4或x＜1． 故填空答案：x＞4或x＜1． 【點評】解答此題的關(guān)鍵是把解不等式的問題轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值大小的問題，然后結(jié)合兩個函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)解答，本題鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法． 　 13．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，則⊙O的半徑為　2　cm． 【考點】垂徑定理；等腰直角三角形；圓周角定理． 【專題】計算題． 【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根據(jù)垂徑定理得到BE=AB=，且△BOE為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解． 【解答】解：連結(jié)OB，如圖， ∵∠BCD=22°30′， ∴∠BOD=2∠BCD=45°， ∵AB⊥CD， ∴BE=AE=AB=×2=，△BOE為等腰直角三角形， ∴OB=BE=2（cm）． 故答案為：2． 【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱说妊苯侨切蔚男再|(zhì)和圓周角定理． 　 14．如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為1：，點A的坐標(biāo)為（0，1），則點E的坐標(biāo)是　（，）?。? 【考點】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】由題意可得OA：OD=1：，又由點A的坐標(biāo)為（1，0），即可求得OD的長，又由正方形的性質(zhì)，即可求得E點的坐標(biāo)． 【解答】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：， ∴OA：OD=1：， ∵點A的坐標(biāo)為（0，1）， 即OA=1， ∴OD=， ∵四邊形ODEF是正方形， ∴DE=OD=． ∴E點的坐標(biāo)為：（，）． 故答案為：（，）． 【點評】此題考查了位似變換的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關(guān)鍵． 　 15．拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，當(dāng)x＜﹣1時，y隨著x的增大而減小．下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b＞0；③若點A（﹣3，y1），點B（3，y2）都在拋物線上，則y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，則b2﹣4ac≤4a．其中結(jié)論錯誤的是?、邰荨。ㄖ惶顚懶蛱枺? 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】根據(jù)題意畫出拋物線的大致圖象，利用函數(shù)圖象，由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸位置得b＜0，由拋物線與y軸的交點位置得c＜0，于是可對①進(jìn)行判斷；由于拋物線過點（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根據(jù)拋物線的對稱性和對稱軸方程得到0＜﹣＜，變形可得a+b＞0，則可對②進(jìn)行判斷；利用點A（﹣3，y1）和點B（3，y2）到對稱軸的距離的大小可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，兩式相減得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左邊分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，則可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)頂點的縱坐標(biāo)公式和拋物線對稱軸的位置得到＜c≤﹣1，變形得到b2﹣4ac＞4a，則可對⑤進(jìn)行判斷． 【解答】解：如圖， ∵拋物線開口向上， ∴a＞0， ∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)， ∴b＜0， ∵拋物線與y軸的交點在x軸下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①的結(jié)論正確； ∵拋物線過點（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2， ∴0＜﹣＜， ∴+=＞0，∴a+b＞0，所以②的結(jié)論正確； ∵點A（﹣3，y1）到對稱軸的距離比點B（3，y2）到對稱軸的距離遠(yuǎn)， ∴y1＞y2，所以③的結(jié)論錯誤； ∵拋物線過點（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0， ∴am2﹣a+bm+b=0， a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0， ∴a（m﹣1）+b=0，所以④的結(jié)論正確； ∵＜c， 而c≤﹣1， ∴＜﹣1， ∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的結(jié)論錯誤． 故答案為③⑤． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點． 　 三、解答題：共8小題，共75分． 16．已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）當(dāng)該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根； （2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根． 【考點】根的判別式． 【分析】（1）設(shè)方程的另一個根為x，則由根與系數(shù)的關(guān)系得：x+1=﹣a，x?1=a﹣2，求出即可； （2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進(jìn)行解答． 【解答】解：（1）設(shè)方程的另一個根為x， 則由根與系數(shù)的關(guān)系得：x+1=﹣a，x?1=a﹣2， 解得：x=﹣，a=， 即a=，方程的另一個根為﹣； （2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0， ∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根． 【點評】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩個根，則x1+x2=﹣，x1?x2=，要記牢公式，靈活運用． 　 17．如圖，水平放置的圓柱形排水管的截面為⊙O，有水部分弓形的高為2，弦AB=4，求⊙O的半徑． 【考點】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理． 【分析】首先過點O作OC⊥AB于點D，交于點C，連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r﹣2，由垂徑定理得BD=AB，再利用勾股定理可得結(jié)果． 【解答】解：過點O作OC⊥AB于點D，交于點C，連接OB， 設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r﹣2， ∵OC⊥AB， ∴BD=AB=×4=2， 在Rt△BOD中， ∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣2）2+（2）2=r2， 解得r=4． 【點評】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，利用定理是解答此題的關(guān)鍵． 　 18．已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點． （1）求證：△ABM≌△DCM； （2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （3）當(dāng)AD：AB=　2：1　時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）． 【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；正方形的判定． 【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根據(jù)M是AD的中點，可得AM=DM，然后再利用SAS證明△ABM≌△DCM； （2）四邊形MENF是菱形．首先根據(jù)中位線的性質(zhì)可證明NE∥MF，NE=MF，可得四邊形MENF是平行四邊形，再根據(jù)△ABM≌△DCM可得BM=CM進(jìn)而得ME=MF，從而得到四邊形MENF是菱形； （3）當(dāng)AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形，證明∠EMF=90°根據(jù)有一個角為直角的菱形是正方形得到結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠D=90°， 又∵M(jìn)是AD的中點， ∴AM=DM． 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）． （2）解：四邊形MENF是菱形． 證明如下： ∵E，F(xiàn)，N分別是BM，CM，CB的中點， ∴NE∥MF，NE=MF． ∴四邊形MENF是平行四邊形． 由（1），得BM=CM，∴ME=MF． ∴四邊形MENF是菱形． （3）解： 當(dāng)AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形．理由： ∵M(jìn)為AD中點， ∴AD=2AM． ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB． ∵∠A=90， ∴∠ABM=∠AMB=45°． 同理∠DMC=45°， ∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°． ∵四邊形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 故答案為：2：1． 【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及菱形的判定和正方形的判定，關(guān)鍵是掌握菱形和正方形的判定方法． 　 19．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點． （1）求一次函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)圖象直接寫出使kx+b＜成立的x的取值范圍； （3）求△AOB的面積． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）先把A、B點坐標(biāo)代入y=求出m、n的值；然后將其分別代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解方程組求得它們的值即可； （2）根據(jù)圖象可以直接寫出答案； （3）分別過點A、B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別是E、C點．直線AB交x軸于D點．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面積公式可以直接求得結(jié)果． 【解答】解：（1）∵點A（m，6），B（3，n）兩點在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上， ∴m=1，n=2， 即A（1，6），B（3，2）． 又∵點A（m，6），B（3，n）兩點在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上， ∴． 解得， 則該一次函數(shù)的解析式為：y=﹣2x+8； （2）根據(jù)圖象可知使kx+b＜成立的x的取值范圍是0＜x＜1或x＞3； （3）分別過點A、B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別是E、C點．直線AB交x軸于D點． 令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）． ∵A（1，6），B（3，2）， ∴AE=6，BC=2， ∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：先由點的坐標(biāo)求函數(shù)解析式，然后解由解析式組成的方程組求出交點的坐標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 　 20．如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題． 【分析】過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E=∠F=90°，攔截點D處到公路的距離DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出CF=CD=500米，則DA=BE+CF=（500+500）米． 【解答】解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E=∠F=90°，攔截點D處到公路的距離DA=BE+CF． 在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ∴∠BCE=30°， ∴BE=BC=×1000=500米； 在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米， ∴CF=CD=500米， ∴DA=BE+CF=（500+500）米， 故攔截點D處到公路的距離是（500+500）米． 【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義，進(jìn)而作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE． （1）求證：DE是半圓⊙O的切線． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長． 【考點】切線的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）連接OD，OE，由AB為圓的直徑得到三角形BCD為直角三角形，再由E為斜邊BC的中點，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE為公共邊，利用SSS得到三角形OBE與三角形ODE全等，由全等三角形的對應(yīng)角相等得到DE與OD垂直，即可得證； （2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC為AC的一半，根據(jù)BC=2DE求出BC的長，確定出AC的長，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC為等邊三角形，可得出DC的長，由AC﹣CD即可求出AD的長． 【解答】（1）證明：連接OD，OE，BD， ∵AB為圓O的直徑， ∴∠ADB=∠BDC=90°， 在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點， ∴DE=BE， 在△OBE和△ODE中， ， ∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠ODE=∠ABC=90°， 則DE為圓O的切線； （2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴BC=AC， ∵BC=2DE=4， ∴AC=8， 又∵∠C=60°，DE=CE， ∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2， 則AD=AC﹣DC=6． 【點評】此題考查了切線的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 　 22．永嘉某商店試銷一種新型節(jié)能燈，每盞節(jié)能燈進(jìn)價為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每周銷量y（盞）與銷售單價x（元）之間關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=﹣2x+100．（利潤=售價﹣進(jìn)價） （1）寫出每周的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間函數(shù)解析式； （2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，這種節(jié)能燈每周能夠獲得最大利潤？最大利潤是多少元？ （3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于30元．若商店想要這種節(jié)能燈每周獲得350元的利潤，則銷售單價應(yīng)定為多少元？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)每軸的利潤w=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z與x之間的函數(shù)解析式， （2）根據(jù)利潤的表達(dá)式，利用配方法可得出利潤的最大值； （3）先得出銷售利潤的表達(dá)式，然后建立方程，解出即可得出銷售單價； 【解答】解：（1）w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100） =﹣2x2+136x﹣1800， ∴z與x之間的函數(shù)解析式為z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）； （2）∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512， ∴當(dāng)x=34時，w取得最大，最大利潤為512萬元． 答：當(dāng)銷售單價為34元時，廠商每周能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元． （3）周銷售利潤=周銷量×（單件售價﹣單件制造成本）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800， 由題意得，﹣2x2+136x﹣1800=350， 解得：x1=25，x2=43， ∵銷售單價不得高于30元， ∴x取25， 答：銷售單價定為25元時廠商每周能獲得350萬元的利潤； 【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是得出月銷售利潤的表達(dá)式，要求同學(xué)們熟練掌握配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用． 　 23．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）． （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值； （3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標(biāo)． 【考點】二次函數(shù)綜合題；菱形的性質(zhì)． 【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 【分析】方法一： （1）首先求得A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式； （2）設(shè)M的橫坐標(biāo)是x，則根據(jù)M和N所在函數(shù)的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標(biāo)，利用x表示出MN的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解； （3）BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則BC=MC，據(jù)此即可列方程，求得x的值，從而得到N的坐標(biāo)． 方法二： （1）略． （2）求出點M，N的參數(shù)坐標(biāo)，并得到MN的長度表達(dá)式，從而求出MN的最大值． （3）因為BM與NC相互垂直平分，所以四邊形BCMN為菱形，因為MN∥BC，所以只需MN=BC可得出四邊形BCMN為平行四邊形，再利用NC⊥BM進(jìn)行求解． 【解答】方法一： 解：（1）由直線y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又點（﹣1，4）經(jīng)過二次函數(shù)， 根據(jù)題意得：， 解得：， 則二次函數(shù)的解析式是：y=﹣﹣x+1； （2）設(shè)N（x，﹣x2﹣x+1）， 則M（x，﹣x+1），P（x，0）． ∴MN=PN﹣PM =﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1） =﹣x2﹣x =﹣（x+）2+， 則當(dāng)x=﹣時，MN的最大值為； （3）連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分， 即四邊形BCMN是菱形， 則MN=BC，且BC=MC， 即﹣x2﹣x=， 且（﹣x+1）2+（x+3）2=， 解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）． 故當(dāng)N（﹣1，4）時，BM和NC互相垂直平分． 方法二： （1）略． （2）設(shè)N（t，﹣）， ∴M（t，﹣t+1）， ∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1， ∴MN=﹣， 當(dāng)t=﹣時，MN有最大值，MN=． （3）若BM與NC相互垂直平分，則四邊形BCMN為菱形． ∴NC⊥BM且MN=BC=， 即﹣=， ∴t1=﹣1，t2=﹣2， ①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0）， ∴KNC==2， ∵KAB=﹣， ∴KNC×KAB=﹣1， ∴NC⊥BM． ②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0）， ∴KNC==，KAB=﹣， ∴KNC×KAB≠﹣1，此時NC與BM不垂直． ∴滿足題意的N點坐標(biāo)只有一個，N（﹣1，4）． 【點評】本題是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的判定的綜合應(yīng)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決實際問題中求最大值或最小值問題．