中考數(shù)學(xué) 第一輪 系統(tǒng)復(fù)習(xí) 夯實(shí)基礎(chǔ) 第五章 基本圖形(一)第19講 等腰三角形課件.ppt
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1、第 19講 等腰三角形 1 了解等腰三角形的概念 、 等腰三角形的性質(zhì)定理;底邊上的高 、 中 線及頂角平分線重合 2 掌握等腰三角形的判定定理 , 等邊三角形的性質(zhì)定理 , 以及等邊三 角形的判定定理 3 掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及判定 , 角平分線的性質(zhì)及判定 4 能利用等腰三角形的特性來解決一些簡單的實(shí)際問題 1 等腰三角形的概念 、 性質(zhì) 、 判定 , 在選擇題 、 填空題 、 解答題中均 有出現(xiàn) 2 等腰三角形 、 正三角形是最常見的圖形之一 , 可單獨(dú)成題 , 也常與 平行四邊形 、 圓 、 三角函數(shù)等滲透在綜合題中 3 主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合 、 化歸 、 分
2、類的思想 1 (2016棗莊 )如圖 , 在 ABC中 , AB AC, A 30 , E為 BC延長 線上一點(diǎn) , ABC與 ACE的平分線相交于點(diǎn) D, 則 D等于 ( ) A 15 B 17.5 C 20 D 22.5 【 解析 】 在 ABC中 , AB AC, ABC ACB 75 , 所以 ACE 180 ACB 180 75 105 , D 180 DBC BCD 180 37.5 127.5 15 , 故選 A. A 3 (2016泰安 )如圖,在 PAB中, PA PB, M, N, K分別是 PA, PB, AB上的點(diǎn),
3、且 AM BK, BN AK,若 MKN 44 ,求 P 的度數(shù) 解: PA PB , A B , 在 A M K 和 B K N 中 , AM BK , A B , AK BN , A M K B K N , A M K B K N , M K B M K N B K N A A M K , A M K N 44 , P 180 A B 92 等腰三角形的邊、角 1 (2017預(yù)測 )已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為 2和 4, 則該等腰三 角形的周長是 ____ 【 解析 】 根據(jù)任意兩邊
4、之和大于第三邊 , 知道等腰三角形的腰的長度是 4, 底邊長 2, 即可求得周長 因?yàn)?2 2 4, 所以等腰三角形的腰的長度是 4, 底邊長 2, 周長為 4 4 2 10. 10 2 如圖 , 在 ABC中 , AB AC, 點(diǎn) D在 BC上 , 且 BD AD, DC AC. 求 B的度數(shù) 解析:第 1題由于未說明兩邊哪個(gè)是腰 , 哪個(gè)是底 , 故需分兩種情況討論 : (1)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?2; (2)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?4, 從而得到其周長 ;第 2題設(shè) B為 x , 分別表示出 ADC, CAD, 依據(jù)三角形內(nèi)角和 定理列出方程求解 解: AB AC, B
5、C.同理: B BAD, CAD CDA. 設(shè) B為 x , 則 C x , BAD x , ADC 2x , CAD 2x .在 ADC中 , C CAD ADC 180 , x 2x 2x 180 , x 36 , B 36 1 等腰三角形是兩邊相等的特殊三角形 , 以頂角平分線所在的直線為 對稱軸 2 等腰三角形兩 ________相等 , 簡稱為 “ 等邊對等角 ” 答案: 2.底角 3 (原創(chuàng)題 )如圖, Rt ABC的斜邊 AB與量角器的直徑恰好重合 , B點(diǎn)與 0刻度線的一端重合 , ABC 40 , 射線 CD繞點(diǎn) C轉(zhuǎn)動
6、, 與量角器外 沿交于點(diǎn) D, 若射線 CD將 ABC分割出以 BC為邊的等腰三角形 , 則點(diǎn) D 在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是 ( ) A 40 B 70 C 70 或 80 D 80 或 140 【 解析 】 點(diǎn) O是 AB中點(diǎn) , 連結(jié) DO. 點(diǎn) D在量角器上對應(yīng)的度數(shù) DOB 2 BCD, 當(dāng)射線 CD將 ABC分割出以 BC為邊的等腰三角形時(shí) , BCD 40 或 70 , 點(diǎn) D在量角器上對應(yīng)的度數(shù) DOB 2 BCD 80 或 140 , 故選 D. D 4 (2017預(yù)測 )如圖, ABC中 , AB AC, BC 12 cm, 點(diǎn) D在 AC上 ,
7、DC 4 cm,將線段 DC沿 BC方向平移 7 cm得到線段 EF, 點(diǎn) E, F分別 落在 AB, BC上,則 EBF的周長是 ____ cm. 【 解析 】 CD沿 CB平移 7 cm至 EF, EF CD, CF 7, BF BC CF 5, EF CD 4, EFB C, AB AC, B C, EB EF 4, C EBF EB EF BF 4 4 5 13. 13 5 已知等腰三角形的周長為 10, 若設(shè)腰長為 x, 則 x的取值范圍是 ______________ 【 解析 】 等腰三角形周長為 10, 腰長為 x, 則 2x 5且 2x 10, 即 2
8、.5 x 5. 2.5 x 5 1 把 “ 等邊對等角 ” 這一性質(zhì)用在不同的等腰三角形中 , 必要時(shí)需利 用方程思想轉(zhuǎn)化為方程來解題 2. 等腰三角形中 , 邊若沒有指出是腰還是底邊 , 應(yīng)分情況討論 , 但一定 要利用 “ 三邊之間的關(guān)系 ” 來檢驗(yàn)解的合理性 等腰三角形的性質(zhì)與判定 6 如圖 , 在 ABC中 , AB AC, BD BC, 等邊 BEF的頂點(diǎn) F在 BC 上 , 邊 EF交 AD于點(diǎn) P, 若 BE 10, BC 14, 求 PE的長 解析:利用等腰三角形的性質(zhì) , 有 AD BC, 在 DPF中先求出 PF的值 解: 4 7 如圖 , 已知 ABC
9、 90 , D是直線 AB上的點(diǎn) , AD BC. (1)如圖 1, 過點(diǎn) A作 AF AB, 并截取 AF BD, 連結(jié) DC, DF, CF, 判 斷 CDF的形狀并證明; (2)如圖 2, E是直線 BC上一點(diǎn) , 且 CE BD, 直線 AE, CD相交于點(diǎn) P, APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎?若是 , 請求出它的度數(shù);若不是 , 請 說明理由 解析: 7(1)證明 AFD和 BDC全等 , 再利用全等三角形的性質(zhì) , 即可 判斷三角形的形狀; (2)作 AF AB于 A, 使 AF BD, 連結(jié) DF, CF, 利 用 SAS證明 AFD和 BDC全等 , 再利用全等三角形的性
10、質(zhì)得得出 APD度數(shù) 解: ( 1 ) CDF 是等腰直角三角形 , 理由如下: AF AD , AB C 90 , F AD DB C , 在 F AD 與 D B C 中 , AD BC , F AD DB C , AF BD , F AD DB C ( SAS ) , FD DC , CDF 是等腰三角形 , F AD D B C , FDA D CB , B DC DCB 90 , B DC FDA 90 , CDF 是等腰直角三角形 ( 2 ) 作 AF AB 于 A , 使 AF BD
11、, 連結(jié) DF , CF , 如圖 , AF AD , AB C 90 , F AD DB C , 在 F AD 與 DB C 中 , AD BC , F AD DB C , AF BD , F AD DB C ( SAS ) , FD DC , CDF 是等腰三角形 , F AD DB C , FDA DCB , B DC DCB 90 , B DC FDA 90 , CDF 是等腰直角三角形 , FCD 45 , AF CE , 且 AF CE , 四邊形 AFC E 是平行四邊 形 ,
12、AE CF , APD FCD 45 1 等腰三角形的判定:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等 , 那么這兩個(gè)角 所對的邊也相等 (簡稱為 “ 等角對等邊 ” ) 2 等 腰 三 角 形 ________________ 、 ________________ 和 ________________互相重合 (簡稱為 “ 三線合一 ” ) 答案 : 2.底邊上的高;頂角平分線;底邊的中線 8 (2016常州 )如圖 , ABC中 , AB AC, BD, CE是高 , BD與 CE相 交于點(diǎn) O. (1)求證: OB OC; (2)若 ABC 50 , 求 BOC的度數(shù)
13、解: (1) AB AC, ABC ACB, BD, CE是 ABC的兩條高 線 , ABC ECB 90 , ACB DBC 90 , DBC ECB, OB OC (2) ABC 50 , AB AC, A 180 2 50 80 , BOC 180 80 100 9 如圖 , 已知 ABC為等腰直角三角形 , BAC 90 , BE是 ABC的平分線 , DE BC, 垂足為 D. (1)寫出圖中所有的等腰三角形 , 不需證明; (2)請你判斷 AD與 BE是否垂直 , 并說明理由; (3)如果 BC 12, 求 AB AE的長 解: (1)
14、 ABD, EAD, CDE, ABC (2) BAE BDE , ABE DBE, BE BE, ABE DBE, AB DB, 又 ABE DBE, AD BE (3) C DEC 45 , CD DE, AE DE DC, AB AE BD DC BC 12 1 要證明一個(gè)三角形為等腰三角形 , 需證明這個(gè)三角形的兩條邊相等 或兩個(gè)角相等 , 這樣往往就轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)三角形全等 2 等腰三角形的底邊上的中線 、 底邊上的高 、 頂角平分線 “ 三線合一 ” , 這個(gè)性質(zhì)應(yīng)用廣泛 , 在遇到等腰三 角形的問題時(shí) , 嘗試作輔助線 , 一是可以把這些線段進(jìn)
15、行轉(zhuǎn)化 , 二是構(gòu)造了全等的三角形 等邊三角形 10 (2017預(yù)測 )如圖 , P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn) , 將線段 AP繞點(diǎn) A順 時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到線段 AQ, 連結(jié) BQ.若 PA 6, PB 8, PC 10, 求四 邊形 APBQ的面積 【 解析 】 連結(jié) PQ, 則可判斷 APQ為等邊三角形 , 所以 PQ AP 6, 證明 APC AQB得到 PC QB 10, 說明 PBQ為直角三角形后 , 利用 S四邊形 APBQ S BPQ S APQ求得結(jié)果 解:連結(jié) PQ , AB C 為等邊三角形 , B AC 60 , AB AC , 線段 AP 繞
16、點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到線段 AQ , AP PQ 6 , P AQ 60 , APQ 為等邊三角形 , PQ AP 6 , CAP B AP 60 , B AP B AQ 60 , CAP B AQ , 在 APC 和 AQ B 中 , AC AB , CAP B AQ , AP AQ , APC AQ B , PC QB 10 , 在 B PQ 中 , PB 2 8 2 64 , PQ 2 6 2 , BQ 2 10 2 , PB 2 PQ 2 BQ 2 , P B Q 為直角三角
17、形 , B PQ 90 , S 四邊形 APBQ S BPQ S APQ 1 2 6 8 3 4 6 2 24 9 3 1 等邊三角形性質(zhì): (1)等邊三角形三條邊都 ______, 三個(gè)內(nèi)角都 ______, 且每個(gè)內(nèi)角都等 于 ________; (2)等邊三角形有 ________條對稱軸 2 等邊三角形的判定: (1)三邊相等的三角形是等邊三角形; (2)三個(gè)角相等的三角形是等邊 三角形; (3)有一個(gè)角為 60 的等腰三角形是等邊三角形 答案 : 1.( 1)相等;相等; 60 ;( 2)三條 11 (2016青島 )如圖 , 以邊長為
18、 20 cm的正三角形紙板的各頂點(diǎn)為端點(diǎn) , 在各邊上分別截取 4 cm長的六條線段 , 過截得的六個(gè)端點(diǎn)作所在邊 的垂線 , 形成三個(gè)有兩個(gè)直角的四邊形 把它們沿圖中虛線剪掉 , 用 剩下的紙板折成一個(gè)底為正三角形的無蓋柱形盒子 , 求它的容積 解: AB C 為等邊三角形 , O PQ 為等邊三角形 , A B C 60 , AB BC AC , PO Q 60 , ADO AK O 90 . 連結(jié) AO , 作 QM OP 于 M , 在 Rt A O D 中 , O AD O AK 30 , AD 4 cm , OD
19、AD t a n30 4 3 3 cm , 同理: BE AD 4 cm , PQ DE 20 2 4 12 ( cm ) , QM Q P s in 6 0 12 3 2 6 3 ( cm ) , 無蓋柱形 盒子的容積 1 2 6 3 4 3 3 12 1 4 4 ( cm 3 ) 等邊三角形是一種特殊的等腰三角形 , 利用等邊三角形的軸對稱性 , 構(gòu)造含有 30 的直角三角形 , 來計(jì)算解題 線段的垂直平分線 12 (2017預(yù)測 )如圖 , 線段 AC的垂直平分線交線段 AB于點(diǎn) D, A 50 , 則 BDC ( ) A 50
20、 B 100 C 120 D 130 【 解析 】 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到 DA DC, 根據(jù)等腰三角形的 性質(zhì)得到 DCA A, 根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可 DE是線段 AC的垂直平分線 , DA DC, DCA A 50 , BDC DCA A 100 , 故選 B. B 1 經(jīng)過線段中點(diǎn) , 并且垂直于這條線段的直線 , 叫做這條線段的垂 直平分線 (中垂線 ) 2 垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等 13 如圖 , 在等腰 ABC中 , AB AC, DBC 15 , AB的垂直平 分線 MN交 AC于
21、點(diǎn) D, 則 A的度數(shù)是 _______ 【 解析 】 A DBA, 又 AB AC, ABC ACB, A 2( DBA 15 ) 180 , 即 3 A 30 180 , A 50 . 50 14 直線 CP是經(jīng)過等腰直角三角形 ABC的直角頂點(diǎn) C, 并且在三角形 的外側(cè)所作的直線 , 點(diǎn) A關(guān)于直線 CP的對稱點(diǎn)為 E, 連結(jié) BE, CE, 其 中 BE交直線 CP于點(diǎn) F. (1)若 PCA 25 , 求 CBF的度數(shù); (2)連結(jié) AF, 設(shè) AC與 BE的交點(diǎn)為點(diǎn) M, 請判斷 AFM的形狀; (3)求證: EF2 BF2 2BC 2. 解: (1
22、)由題意可知直線 CP是線段 AE的中垂線 , PCA 25 , PCE 25 , BCE 140 , CA CB, CE CB, CBF 20 (2) AFM是直角三角形 直線 CP是線段 AE的中垂線 , FA FE, CE CA, CF CF, ECF ACF, CEM CAF, CEM CBM, CAF CBM.在 AFM與 BCM中 , CAF CBM, AMF BMC, AFM BCM 90 , 即 AFM是 以 AM為斜邊的直角三角形 (3) AFM是以 AM為斜邊的直角三角形 , ABC是等腰直角三角形 , AFB ACB 90 , AF2 BF2 AB2, 即 EF2 BF2 2BC2 根據(jù)垂直平分線的性質(zhì) , 點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 , 就能轉(zhuǎn)化為 等腰三角形問題
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