《鴿巢問題》教材分析 一、教學(xué)內(nèi)容 教材編排的“抽屜原理”涉及三種基本的形式：第一種，只要物體的數(shù)量比抽屜多，那么一定有一個抽屜放進了至少兩個物體。第二種，即是“把多于kn（k是正整數(shù)）個元素放入n個集合，總有一個集合里至少有（k+1）元素”。若k為1，就是第一種情況，可見第一種情形實際是第二種情形的特例。第三種情況是把無限多個物體（如紅球、藍球各4個）放進有限多個抽屜（兩種顏色），那么一定有一個抽屜放進了無限多個物體（至少2個同色的球）。 二、教材例題分析 例1：本例描述“抽屜原理”的最簡單的情況。著重探討為什么這樣的結(jié)論是成立的。教材呈現(xiàn)了兩種思考方法：第一種方法是用操作的方法，羅列所有的方法，通過完全歸納的方法看到在這四種情況都是滿足結(jié)論的；還可以是說理的方式，先放3支，在每個筆筒里放1支，這時剩下1支。剩下的1支不管放入哪一個筆筒中，這時都會有一個筆筒里有2支鉛筆。這種方法比第一種方法更為抽象，更具有一般性。 通過本例的教學(xué)，使學(xué)生感知這類問題的基本結(jié)構(gòu)，掌握兩種思考的方法──枚舉和假設(shè)，理解問題中關(guān)鍵詞語“總有”和“至少”的含義，形成對“抽屜原理”的初步認識。 例2：本例描述“抽屜原理”更為一般的形式，即“把多于（是正整數(shù)）個物體任意分放進個空抽屜里，那么一定有一個抽屜中放進了至少（+1）個物體”。教材首先探究把7本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書的情形。當數(shù)據(jù)變得越來越大時，如果還用完全歸納的方法把所有的情形羅列出來的話，對于學(xué)生來說是有困難的。這時需要學(xué)生用到“反證法”這樣一種思想，即如果所有的抽屜最多放2本，那么3個抽屜里最多放6本書，可是題目中是7本書，還剩1本書，怎么辦？這就使學(xué)生明白只要放到任意一個抽屜里即可，總有一個抽屜里至少放進3本書。通過這樣的方式，實際上學(xué)生是在經(jīng)歷“反證法”的這樣一個過程。 例3：跟之前教材的編排是一樣的，是抽屜原理的一個逆向的應(yīng)用。要解決這個問題，可以把兩種“顏色”看成兩個“抽屜”，“同色”就意味著“同一個抽屜”。這樣，就可以把“摸球問題”轉(zhuǎn)化為“抽屜問題”。教材通過學(xué)生的對話，指出了可以通過先猜測再驗證的方法來解決問題，也反映了學(xué)生在解決這個問題時可能會遇到的困難。很多學(xué)生誤以為要摸5次才可以摸出球，這可以讓學(xué)生通過實驗來驗證。 重難點分析：第一，要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。因為“抽屜原理”在生活中的變式是多樣的，在解決這些問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確什么是抽屜原理中的“物體”，什么是“抽屜”，讓學(xué)生把這些具體問題模型化成一個“抽屜問題”。第二，在例1中給出具體的問題（4支鉛筆放到3個筆筒里），讓學(xué)生在探究的過程中，逐漸找到一般的規(guī)律。本單元的教學(xué)重難點是初步了解“抽屜原理（鴿巢原理）”，培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想”。