函數(shù)的概念和函數(shù)的表示法 考點(diǎn)一：由函數(shù)的概念判斷是否構(gòu)成函數(shù) 函數(shù)概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。 例1. 下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，能確定y是x的函數(shù)的是（ ） ① A={x x∈Z}，B={y y∈Z}，對(duì)應(yīng)法則f：x→y=; ② A={x x>0,x∈R}, B={y y∈R}，對(duì)應(yīng)法則f：x→=3x; ③ A=R,B=R, 對(duì)應(yīng)法則f：x→y=; 變式1. 下列圖像中，是函數(shù)圖像的是（ ） y y y y O O O O X X X X ① ② ③ ④ 變式2. 下列式子能確定y是x的函數(shù)的有（ ） ①=2 ② ③y= A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè) 變式3. 已知函數(shù)y=f（x），則對(duì)于直線x=a（a為常數(shù)），以下說(shuō)法正確的是（ ） A. y=f（x）圖像與直線x=a必有一個(gè)交點(diǎn) B.y=f（x）圖像與直線x=a沒(méi)有交點(diǎn) C.y=f（x）圖像與直線x=a最少有一個(gè)交點(diǎn) D.y=f（x）圖像與直線x=a最多有一個(gè)交點(diǎn) 變式4.對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，以下說(shuō)法正確的有…(　　) ①y是x的函數(shù) ②對(duì)于不同的x，y的值也不同 ③f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量 ④f(x)一定可以用一個(gè)具體的式子表示出來(lái) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 變式5．設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(　　) A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 考點(diǎn)二：同一函數(shù)的判定 函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域。 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等。 例2. 下列哪個(gè)函數(shù)與y=x相同（ ） ①. y= ②. ③. ④.y=t ⑤.；⑥. 變式1.下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)相同（ ） A. B. C. D. 變式2. 下列各組函數(shù)表示相等函數(shù)的是（ ） A. 與 B. 與 C. （x≠0） 與 （x≠0） D. ，x∈Z 與，x∈Z 變式3. 下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？ （1） （2） （3） 考點(diǎn)三：求函數(shù)的定義域 （1）當(dāng)f（x）是整式時(shí)，定義域?yàn)镽； （2）當(dāng)f（x）是分式時(shí)，定義域是使分母不為0的x取值集合； （3）當(dāng)f（x）是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式取非負(fù)值的x取值集合； （4）當(dāng)f（x）是零指數(shù)冪或負(fù)數(shù)指數(shù)冪時(shí)，定義域是使冪的底數(shù)不為0的x取值集合； （5）當(dāng)f（x）是對(duì)數(shù)式時(shí)，定義域是使真數(shù)大于0且底數(shù)為不等于1的正數(shù)的x取值集合； 已學(xué)函數(shù)的定義域和值域 1．一次函數(shù):定義域R, 值域R; 2．反比例函:定義域, 值域; 3．二次函數(shù):定義域R 值域：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 例3. ①函數(shù)的定義域是（ ） A. B. ( -1 , 1 ) C. [ -1 , 1 ] D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) ②函數(shù)y＝＋的定義域是(用區(qū)間表示)________． 變式1. 求下列函數(shù)的定義域 (1)； (2)； (3). (4) (5)y＝x＋；　 (6)y＝； (7)y＝＋(x－1)0. 求復(fù)合函數(shù)的定義域 例5. 已知函數(shù)f（）定義域?yàn)? 求f（x）的定義域 變式1. 已知函數(shù)f（）的定義域?yàn)閇 0，3 ]，求f（x）的定義域 變式2. 已經(jīng)函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇 0 , 4], 求f的定義域 考點(diǎn)四：求函數(shù)的值域 例6．求下列函數(shù)的值域 ① ， x∈{1，2 ,3，4，5 } ( 觀察法 ) ② ，x∈ ( 配方法 ：形如 ) ② ( 換元法：形如 ) ④ ( 分離常數(shù)法：形如 ) ④ ( 判別式法：形如 ) 變式1. 求下列函數(shù)的值域 ① ② ② ④ ⑤ y = ⑥ 考點(diǎn)五：求函數(shù)的解析式 例7 . 已知f（x）= ，求f（）的解析式 （ 代入法 / 拼湊法/換元法 ） 變式1. 已知f（x）= ， 求f（）的解析式 變式2. 已知f（x+1）= ，求f（x）的解析式 變式3. 已知，試求的解析式. 例8. 若f [ f（x）] = 4x+3，求一次函數(shù)f（x）的解析式 （ 待定系數(shù)法 ） 變式1. 已知f（x）是二次函數(shù)，且，求f（x）. 變式2.一次函數(shù)滿(mǎn)足，求該函數(shù)的解析式. 變式3．已知多項(xiàng)式，，且.試求、的值. 變式4．已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)的解析式. 變式5．已知二次函數(shù)f（x）＝x2－bx＋c滿(mǎn)足f（1＋x）＝f（1－x）， 且f（0）＝3，求f（x）的解析式. 變式6.已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）. 例9. 已知f（x）2 f（x）= x ，求函數(shù)f（x）的解析式 （ 消去法/ 方程組法 ） 變式1. 已知2 f（x） f（x）= x+1 ，求函數(shù)f（x）的解析式 變式2. 已知2 f（x）f = 3x ，求函數(shù)f（x）的解析式 例10. 設(shè)對(duì)任意數(shù)x，y均有，求f（x）的解析式. （ 賦值法 / 特殊值法） 變式1. 已知對(duì)一切x，y∈R，都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式. 考點(diǎn)六：函數(shù)的求值 例11. 已經(jīng)函數(shù)f（x）= ，求f（2）和f（a）+f (a)的值 變式1. 已知f（2x）= ，求f（2）的值 例12. 已知函數(shù)，求f（1）+f（）的值 變式1. 已知函數(shù) ，求f [f（）]的值 變式2. 已知函數(shù)，求f（5）的值 例13 . 設(shè)函數(shù)，求滿(mǎn)足f（x）=的x值 變式1. 已知函數(shù)，若f（x）=2，求x的值 考點(diǎn)七：映射 例1．判斷下列對(duì)應(yīng)是否是映射？ 變式1.下列各組映射是否是同一映射？ 變式2.判斷下列兩個(gè)對(duì)應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？ （1）設(shè)A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，對(duì)應(yīng)法則 （2）設(shè)，對(duì)應(yīng)法則 （3），， （4）設(shè) （5）， 考點(diǎn)八：函數(shù)的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）圖象法 例1某種筆記本每個(gè)5元，買(mǎi) x{1,2,3,4}個(gè)筆記本的錢(qián)數(shù)記為y（元），試寫(xiě)出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像. 例2 國(guó)內(nèi)投寄信函（外埠），每封信函不超過(guò)20g付郵資80分，超過(guò)20g而不超過(guò)40g付郵資160分，依次類(lèi)推，每封x g(0＜x100)的信函應(yīng)付郵資為（單位：分），試寫(xiě)出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像. 例3 畫(huà)出函數(shù)y=|x|=的圖象. 例4求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域. ①； ③ ； ③； ④ 函數(shù)的單調(diào)性與最值 增函數(shù)與減函數(shù) 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 例1 如圖，是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). 例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù). 例3 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù). 練習(xí)1．函數(shù)y=x2+x+2單調(diào)減區(qū)間是( ) A、 B、（-1，+∞） C、 　D、（-∞，+∞） 2．下面說(shuō)法正確的選項(xiàng) （　　?。? A．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是函數(shù)的定義域 B．函數(shù)的多個(gè)單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間 C．具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象一定是奇函數(shù)的圖象 3．函數(shù)f(x)=2x2－mx+3,當(dāng)x∈時(shí),增函數(shù),當(dāng)x∈時(shí),是減函數(shù), 則f（1）等于（　?。? A．－3 B．13 C．7 D．由m而定的其它常數(shù) 4.如果函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　?。? A．a(chǎn)≥－3　　　　B．a(chǎn)≤－3 C．a(chǎn)≤5　　　　　D．a(chǎn)≥3 5. 函數(shù)在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，則 （ ?。? A． B． C． 　　　D． ６. 已知函數(shù) 求: (1) 當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的最值;　 (2) 當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的最值． 函數(shù)的奇偶性 觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性. 偶函數(shù)： 奇函數(shù)： 例1．判斷下列函數(shù)的奇偶性 （1） （2） （3） 例2．判斷下列函數(shù)的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 例3．已知是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)． 證明：在（－∞，0）上也是增函數(shù)． 練習(xí)1．判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由． ① ② 2．設(shè)＞0時(shí)，，試問(wèn)：當(dāng)＜0時(shí)，的表達(dá)式是什么？ 學(xué)案（6）反函數(shù)（一）（選講） 復(fù)習(xí) 觀圖回答： A B a b A B b a 的意義是什么？ 新課 1．試求函數(shù)的值域. (提示：利用分離常數(shù)法與反解法，在這里我們突出利用反解法) 2．反函數(shù)的定義： 試?yán)枚x填寫(xiě)下表： 函數(shù) 反函數(shù) 定義域 A 值 域 B 3.試討論原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)系： 4．試求(1)y=2x+1 (2)y=2x+1的反函數(shù),并對(duì)比有何不同. 5．求解反函數(shù)的步驟: 例 求下列函數(shù)的反函數(shù) (1) (2) (3) (4) 練習(xí) 1.已知函數(shù)，那么它的反函數(shù)為( ) A、 B、 C、 D、 2.函數(shù)的反函數(shù)是( ) A、 B、 C、 D、 3.已知點(diǎn)(a,b)在y=f(x)的圖像上，則下列各點(diǎn)中位于其反函數(shù)圖像上的點(diǎn)是（ ） A、 B、 C、 D、 4.若函數(shù)，則的值為（ ） A、 B、 C、15 D、 5.函數(shù)的反函數(shù)為，求,b,c的值 6.已知，求f(x) 學(xué)案（7）反函數(shù)（二）（選講） 目標(biāo)： 1．了解互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系的定理及其證明； 2．會(huì)利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題. 復(fù)習(xí)： 1．反函數(shù)的定義： 2．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)與間的關(guān)系： 函數(shù) 反函數(shù) 定義域 A B 值 域 B A 3．反函數(shù)的求法：一反解、二互換、三標(biāo)明； 4. 原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x 對(duì)稱(chēng). 新課： 例1．求函數(shù)的反函數(shù),并利用對(duì)稱(chēng)關(guān)系作出其反函數(shù)的圖象. 例2．求函數(shù)的值域. 例3 已知= (x＜-1)，求 . 例4若點(diǎn)A(1,2)既在函數(shù)=的圖象上，又在的反函數(shù)的圖象上，求,b的值. 例5若，試求反函數(shù). 練習(xí)： 1．求下列函數(shù)的反函數(shù)： （1）； （2）y=-6x+12(x≤3); （3）y=(x≤-2). 2. 已知函數(shù)y=x+2的反函數(shù)是y=3x+b，求,b的值. 3.函數(shù)f(x)是否有反函數(shù)？ ；當(dāng)時(shí)，反函數(shù)為 ，定義域?yàn)? ；當(dāng)時(shí)，反函數(shù)為 ，定義域?yàn)? 。 4.設(shè)f(x)的反函數(shù)為，，則 ，f(3)= 5.若點(diǎn)(1,2)既在函數(shù)的圖象上，又在函數(shù)f(x)的反函數(shù)的圖象上，則= ,b= 6. f(x)在上為遞增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是 解答題 7.函數(shù)y=f(x)的圖象是過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線，其反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-1)，求函數(shù)f(x) 學(xué)案（8）函數(shù)圖象變換 目標(biāo) 根據(jù)函數(shù)解析式作出它們的圖象，并且能根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)；同時(shí)了解圖象的簡(jiǎn)單變換（平移變換和對(duì)稱(chēng)變換）. 新課 1.根據(jù)所給定義域，畫(huà)出函數(shù)的圖象,并確定其最值. （1） （2） （ 3 ）且xZ 2.函數(shù)-2和的圖象分別是由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)如何變化得到的. 練習(xí) 1．已知二次函數(shù)y＝x2＋4x＋1，不求值比較f（－3）和f（5）的大小關(guān)系． 2．方程x2－2x＋4＝0的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 3．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋x＋(＞0)，若f(m)＜0，則f(m＋1)的值是（　?。? 　 （A）正數(shù)　 （B）負(fù)數(shù)　?。–）零　?。―）符號(hào)與有關(guān) 4．不等式（－2）x2＋2（－2）x－4＜0對(duì)xR恒成立，則的取值范圍是________． 5．已知二次函數(shù)y＝x2＋（3＋6）x＋2是偶函數(shù)，則的取值范圍是_______． 6．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c滿(mǎn)足f（4）＝f（1），那么?。ā　。? 　　?。ˋ）f（2）＞f（3） ?。˙）f（2）＜f（3） 　　?。–）f（2）＝f（3）　 （D）f（2）與f（3）的大小關(guān)系不能確定 7．已知二次函數(shù)y＝2x2＋4（－3）x＋5在區(qū)間（－∞，3）上是減函數(shù)，則的取值范圍是_______． 8．若二次函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇，－4]，則m的取值范圍是（　?。? 　 （A）[0，4]?。˙）[，4]?。–）[，3]　?。―）[，＋∞] 9．設(shè)二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c，對(duì)任意的實(shí)數(shù)t都有f（2＋t）＝f（2—t）成立，在函數(shù)值f（2）、f（1）、f（－1）、f（5）中，最小的一個(gè)不可能是（　?。? 　?。ˋ）f（2） ?。˙）f（1）　?。–）f（－1）　?。―）f（5） 10．已知函數(shù)y＝x＋b和y＝x2＋bx＋c，那么它們的圖象是（　?。? （A） 　（B）　 ?。–）　 ?。―） 函數(shù)的應(yīng)用 例1如圖，一動(dòng)點(diǎn)P自邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)出發(fā)，沿正方形的邊界運(yùn)動(dòng)一周，再回到A點(diǎn).若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離為y.求A、P 兩點(diǎn)間的距離y與點(diǎn)P的路程式 x之間的函數(shù)關(guān)系式. P B A D P C P A B C N M D Q P 例2在底邊BC=60,高AD=40的△ABC中作內(nèi)接矩形MNPQ。 設(shè)矩形的面積為S，MN=x ，寫(xiě)出S與此同時(shí)x之間的 函數(shù)關(guān)系式，并求其定義域和值域。 例3 某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCD（如圖）上劃出一塊長(zhǎng)方形的地面修建一座公寓樓。問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使公寓樓地面的面積最大，并求出最大的面積。 G 100m 60m B A N E D C 70m 80m M 練習(xí) 1．有一塊梯形木板，上、下底長(zhǎng)分別為2m、3m，高為2.5m，應(yīng)當(dāng)如何安排與底邊平行的鋸線,才能使鋸下的矩形木條的面積最大？這個(gè)最大面積是多少？ 2.已知等腰梯形的周長(zhǎng)是60cm，腰與下底的夾角為60，一腰長(zhǎng)為x，寫(xiě)出梯形面積y與x的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)x取何值時(shí)，梯形面積最大，最大值為多少？ 3．某旅行社組織到北京參觀，共需6天，每人往返機(jī)票、食宿、門(mén)票等費(fèi)用共需3200元，如果把每人的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為4600元，只有20人參加旅游團(tuán).高于4600元，沒(méi)有人參加。如果每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)從4600元每降低100元，參加旅游團(tuán)人數(shù)就增加10人。試問(wèn)：每人收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為多少時(shí)，該旅行社所獲利潤(rùn)最大？此時(shí)參加旅游團(tuán)的人數(shù)是多少？