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第九單元 圓,第29課時(shí) 圓的有關(guān)性質(zhì),A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B＋∠C,[小題熱身],圖29－1,A,2．[2014·臺(tái)州]從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是 ( ) 3．[2015·杭州]圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A＝70°，則∠C＝ ( ) A．20° B．30° C．70° D．110°,B,D,4．[2015·長(zhǎng)沙]如圖29－2，AB是⊙O的直徑， 點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，若BC＝6，AB＝10， OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD的長(zhǎng)為 ________．,圖29－2,4,一、必知8 知識(shí)點(diǎn) 1．圓的有關(guān)概念 定義：在同一平面內(nèi)，線段OP繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)P所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓，定點(diǎn)O叫做________，線段OP叫做_____________． 圓的集合定義：圓是到定點(diǎn)的距離等于______的點(diǎn)的集合． 圓的有關(guān)概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做_______；經(jīng)過圓心的弦叫做_________；圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做_________；大于半圓的弧叫做_________；小于半圓的弧叫做_________；圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做__________．,[考點(diǎn)管理],圓心,圓的半徑,定長(zhǎng),弦,直徑,弧,優(yōu)弧,劣弧,半圓,2．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 如果圓的半徑是r，點(diǎn)到圓心的距離為d，那么： (1)點(diǎn)在圓外?________； (2)點(diǎn)在圓上? ________； (3)點(diǎn)在圓內(nèi)? ________. 3．確定圓的條件 確定圓的條件：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定_______個(gè)圓． 三角形的外接圓：經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓； 三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫圓的內(nèi)接三角形．,dr,d＝r,dr,一,【智慧錦囊】 三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，銳角三角形的 外心在三角形的________，直角三角形的外心是____________ ______________，鈍角三角形的外心在三角形的________．,內(nèi)部,直角三角形,外部,斜邊的中點(diǎn),4．圓的對(duì)稱性 圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形又是一個(gè)_________對(duì)稱圖形，圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性． 5．垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的_________． 推論：(1)平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??； (2)平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦．,中心,弧,【智慧錦囊】 用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常連結(jié)半徑或作出弦心 距，構(gòu)造直角三角形求解．,6．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧________，所對(duì)的弦_________； 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等． 7．圓周角 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，它的兩邊都和圓相交的角； 圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧上圓心角度數(shù)的_________．,相等,相等,一半,推論：(1)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是_______角； (2)90°的圓周角所對(duì)的弦是________； (3)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧_________． 8．圓內(nèi)接四邊形 圓內(nèi)接四邊形：如果一個(gè)四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓． 性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．,直,直徑,相等,二、必會(huì)2 方法 1．添加輔助線 (1)有關(guān)弦的問題，常作其弦心距，構(gòu)造直角三角形，如圖29－3； (2)有關(guān)直徑的問題，常作直徑所對(duì)的圓周角，如圖29－4.,圖29－3,圖29－4,2．分類討論 在圓中，常涉及到分類討論，如一條弦所對(duì)的弧有優(yōu)弧和劣弧兩種，則其所對(duì)的圓周角不一定相等；另外，有關(guān)于弦的問題也需要分類討論，如有兩條弦時(shí)，需要分在同側(cè)還是異側(cè)等．此類問題是中考的熱點(diǎn)考題．,三、必明3 易錯(cuò)點(diǎn) 1．弦和弧的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上，但弦是線段，弧是曲線； 2．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，半徑不是弦；半圓不是直徑． 3．應(yīng)用圓心角、弦、弧、弦心距的關(guān)系時(shí)，前提條件是“在同圓或等圓中”，它提供了圓心角、弧、弦、弦心距之間的轉(zhuǎn)化方法．如果沒有“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，在應(yīng)用時(shí)推出的結(jié)論是錯(cuò)誤的．,類型之一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 如圖29－5，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AC＝3，BC＝4，CP，CM分別是 AB上的高和中線，如果圓A是以點(diǎn)A為圓 心，半徑長(zhǎng)為2的圓，那么下列判斷正確 的是 ( ) A．點(diǎn)P，M均在圓A內(nèi) B．點(diǎn)P，M均在圓A外 C．點(diǎn)P在圓A內(nèi)，點(diǎn)M在圓A外 D．點(diǎn)P在圓A外，點(diǎn)M在圓A內(nèi),C,圖29－5,【解析】 ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∵AP＝1.82， ∴點(diǎn)P在圓A內(nèi)，點(diǎn)M在圓A外． 【點(diǎn)悟】 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑的大小作出判斷．,[2015·杭州模擬]在一個(gè)三角形中，已知AB＝AC＝6 cm，BC＝8 cm，D是BC的中點(diǎn)，以D為圓心作一個(gè)半徑為5 cm的圓，則下列說法正確的是 ( ) A．點(diǎn)A在⊙D外 B．點(diǎn)B在⊙D上 C．點(diǎn)C在⊙D內(nèi) D．無法確定 【解析】 ∵BC＝8 cm，D是BC的中點(diǎn)， ∵⊙D的半徑r＝5 cm，且5＞4， ∴點(diǎn)C在⊙D內(nèi)．,C,類型之二 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 [2014·黃石]如圖29－6，A，B是圓 O上的兩點(diǎn)，∠AOB＝120°，C是弧AB 的中點(diǎn)． (1)求證：AB平分∠OAC； (2)延長(zhǎng)OA至P使得OA＝AP，連結(jié)PC， 若圓O的半徑R＝1，求PC的長(zhǎng)． 【解析】 (1)求出等邊三角形AOC和等邊三角形OBC，推出OA＝OB＝BC＝AC； (2)求出AC＝OA＝AP，求出∠PCO＝90°，∠P＝30°.,圖29－6,解：(1)證明：連結(jié)OC， ∵∠AOB＝120°，C是弧AB的中點(diǎn)， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵OA＝OC，∴△ACO是等邊三角形， ∴OA＝AC，同理OB＝BC， ∴OA＝AC＝BC＝OB， ∴四邊形AOBC是菱形， ∴AB平分∠OAC； (2)由(1)知OA＝AC，又∵OA＝AP，∴AP＝AC，∵∠PAC＝180°－∠OAC＝120°， ∴∠APC＝∠ACP＝30°，,例2答圖,【點(diǎn)悟】 (1)在同圓(或等圓)中，圓心角(或圓周角)、弧、弦中只要有一組量相等，則其他對(duì)應(yīng)的各組量也分別相等．利用這個(gè)性質(zhì)可以將問題互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到求解或證明的目的；(2)注意圓中的隱含條件：半徑相等；(3)注意分類討論思想的應(yīng)用．,,20,圖29－7,,變式跟進(jìn)答圖,類型之三 垂徑定理及其推論 [2015·六盤水]趙州橋是我國(guó)建筑史上 的一大創(chuàng)舉，它距今約1 400年，歷經(jīng)無 數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無恙．如 圖29－8，若橋跨度AB約為40 m，主拱高 CD約10 m，則橋弧AB所在圓的半徑R＝_______m. 根據(jù)勾股定理， 得R2＝202＋(R－10)2， 解得R＝25(m)． 所以圓的半徑為25 m.,圖29－8,25,1．[2015·衢州]一條排水管的截面如圖29－9所示，已知排水管的半徑OA＝1 m，水面寬AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，則此時(shí)排水管水面寬CD等于________m.,1.6,圖29－9,【解析】 連結(jié)OC，作OE⊥AB，垂足為E， 與CD交于F點(diǎn)，OA＝1 m，EA＝0.6 m根據(jù) 勾股定理得OE＝0.8 m，EF＝0.2 m，則 OF＝0.6 m， 在Rt△OCF中，OF＝0.6 m，OC＝1 m， 得CF＝0.8 m， 因此CD＝1.6 m，故答案為1.6 m.,變式跟進(jìn)1答圖,2．[2014·紹興]把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其主視圖如圖29－10所示，⊙O與矩形ABCD的邊BC，AD分別相切和相交(E，F(xiàn)是交點(diǎn))．已知EF＝CD＝8，則⊙O的半徑為______．,圖29－10,5,【解析】 由題意，⊙O與BC相切，記切 點(diǎn)為G，作直線OG，分別交AD，劣弧EF 于點(diǎn)H，I，再連結(jié)OF， 在矩形ABCD中，∵AD∥BC，IG⊥BC， ∴IG⊥AD， 設(shè)⊙O的半徑為r，則OH＝8－r， 在Rt△OFH中，r2－(8－r)2＝42， 解得r＝5.,變式跟進(jìn)2答圖,【點(diǎn)悟】 在已知直徑與弦垂直的問題中，常連結(jié)半徑構(gòu)造直角三角形，其中斜邊為圓的半徑，兩直角邊是弦長(zhǎng)的一半和圓心到弦的距離，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理來計(jì)算．,類型之四 圓周角定理及其推論 [2015·德州改編]如圖29－11，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)判斷△ABC的形狀，并說明理由； (2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．,圖29－11,備用圖,【解析】 (1)利用圓周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，從而可判斷△ABC的形狀； (2)在PC上截取PD＝AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，從而BP＝CD. 解：(1)△ABC是等邊三角形． 理由如下：在⊙O中，,∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC為等邊三角形； (2)PC＝PA＋PB， 證明：在PC上截取PD＝AP，如答圖所示， 又∵∠APC＝60°， ∴△APD是等邊三角形， ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°， 即∠ADC＝120°. 又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，,例4答圖,∴∠ADC＝∠APB， 在△APB和△ADC中， ∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD， 又∵PD＝AP，∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP. 即PC＝PA＋PB.,1．[2015·深圳]如圖29－12，AB為⊙O直徑， 已知∠DCB＝20°，則∠DBA為( ) A．50° B．20° C．60° D．70° 【解析】 ∵AB為⊙O直徑， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°－∠DCB＝90°－20°＝70°， ∴∠DBA＝∠ACD＝70°.,D,圖29－12,,圖29－13,,變式跟進(jìn)2答圖①,變式跟進(jìn)2答圖②,(2)如答圖②，連結(jié)OP，BC，OP交于BC于D點(diǎn)，連結(jié)PB， ∵P是BC的中點(diǎn)， ∴OP⊥BC于D，BD＝CD，,【點(diǎn)悟】 (1)由圓周角與圓心角的關(guān)系可知：圓周角定理是建立在圓心角的基礎(chǔ)上的，有了圓周角定理，就多了一種證明角相等關(guān)系或倍分關(guān)系的方法． (2)直徑所對(duì)圓周角為直角，反之亦成立，在圓的有關(guān)證明和計(jì)算中要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活運(yùn)用，使問題簡(jiǎn)單化．,圓的計(jì)算中謹(jǐn)防漏解 (襄陽中考)圓的半徑為13 cm，兩弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD ＝10 cm，則兩弦AB，CD的距離是 ( ) A．7 cm B．17 cm C．12 cm D．7 cm或17 cm 【錯(cuò)解】如答圖①，作OE⊥CD，交AB于F， CD于E，連結(jié)OB，OD.已知CD＝10 cm， ∴DE＝5 cm.∵OD＝13 cm， ∴利用勾股定理可得OE＝12 cm. 同理可求OF＝5 cm，∴EF＝7 cm.選擇A.,易錯(cuò)警示答圖①,【錯(cuò)因】當(dāng)已知條件中沒有明確圖時(shí)，要注意分類討論，錯(cuò)解 忽略這一點(diǎn)，造成丟解．此題可以分兩種情況，即兩弦在圓心 的一側(cè)時(shí)和在兩側(cè)時(shí)，所以此題的答案有兩個(gè)． 【正解】第一種情況：兩弦在圓心的一側(cè)時(shí)， 即錯(cuò)解結(jié)論；第二種情況：如答圖②，兩弦在 圓心的不同側(cè)，此時(shí)EF＝OE＋OF＝17 cm.其 他和第一種一樣．故選D.,易錯(cuò)警示答圖②,