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第五節(jié) 數系的擴充與復數的引入,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)復數的有關概念:,a+bi,a,b,b=0,b≠0,a=0,且b≠0,a=c且,b=d,a=c,且b=-d,實,軸,虛軸,(2)復數的幾何意義: ①復數z=a+bi(a,b∈R)和復平面內的點Z(a,b)一一對應. ②復數z=a+bi(a,b∈R)和向量 一一對應.,(3)復數代數形式的四則運算: ①運算法則: 設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則,(a±c)+(b±d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,②復數加法的運算律: 設z1,z2,z3∈C,則復數加法滿足以下運算律: (ⅰ)交換律:z1+z2=_____; (ⅱ)結合律:(z1+z2)+z3= __________.,z2+z1,z1+(z2+z3),2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)i乘方的周期性: (2)z· =|z|2=| |2.,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法: ①利用復數的運算法則求復數的和差積商的方法; ②以等式或點的坐標的形式給出考查復數的幾何意義的方法. (2)常用思想:函數與方程、數形結合、分類討論.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)若a∈C,則a2≥0.( ) (2)在實數范圍內的兩個數能比較大小,因而在復數范圍內的兩個數也能比較大小.( ) (3)一個復數的實部為0,則此復數必為純虛數.( ) (4)復數的模就是復數在復平面內對應向量的模.( ),【解析】(1)錯誤.若a=i,則a2=-10,因而(1)錯.(2)錯誤.若兩個復數為虛數,或一個為實數,一個為虛數,則它們不能比較大小.(3)錯誤.當虛部也為0時,則此復數為實數0.(4)正確.由復數的幾何意義可知該結論正確. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-2P112A組T2改編)在復平面內,已知6+5i對應的向量為 =(4,5),則 對應的復數為 . 【解析】由已知得 =(6,5),又 =(4,5), 故 =(6,5)+(4,5)=(10,10). 故 對應的復數為10+10i. 答案:10+10i,(2)(選修2-2P112A組T6改編)已知實數m是方程x2+(2+i)x+n+2i=0, n∈R的一個根,則m+n= .,【解析】由已知得m2+(2+i)m+n+2i=0, 即(m2+2m+n)+(m+2)i=0, 故 得 故m+n=-2. 答案:-2,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·新課標全國卷Ⅰ) =( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【解析】選D. =-1-i.,(2)(2014·山東高考)已知a,b∈R,i是虛數單位,若a-i與2+bi互為共軛復數,則(a+bi)2=( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 【解析】選D.因為a-i與2+bi互為共軛復數, 所以a=2,b=1, 所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.,(3)(2014·江蘇高考)已知復數z=(5+2i)2(i為虛數單位),則z的實部為 . 【解析】由題意z=(5+2i)2=21+20i,故實部為21. 答案:21,考點1 復數的有關概念 【典例1】(1)(2014·大綱版全國卷)設z= ,則z的共軛復數為 ( ) (本題源于教材2-2P116A組T1(2)) A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i (2)(2013·上海高考)設m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是純虛數,其中i是虛數 單位,則m= .,【解題提示】(1)利用已知求得復數z后再求z的共軛復數. (2)由純虛數概念求解. 【規(guī)范解答】(1)選D.z= =3i+1, 則 =1-3i. (2)m2+m-2+(m2-1)i是純虛數? ?m=-2. 答案:-2,【易錯警示】解答本例題(2)易出現(xiàn)以下錯誤: (1)條件考慮不完整,只考慮m2+m-2=0得m=-2或m=1,忽略m2-1≠0的條件. (2)雖然考慮了m2-1≠0,但未取舍而保留原答案-2或1.,【規(guī)律方法】求解與復數概念相關問題的技巧 復數的分類、復數的相等、復數的模,共軛復數的概念都與復數的實部與虛部有關,所以解答與復數相關概念有關的問題時,需把所給復數化為代數形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據題意求解.,【變式訓練】(2014·安徽高考)設i是虛數單位, 表示復數z的共軛復 數.若z=1+i,則 =( ) A.-2 B.-2i C.2 D.2i 【解析】選C.因為z=1+i,所以 =1-i, 故 =-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.,【加固訓練】1.(2013·天津高考改編)已知a,b∈R,i是虛數單位.若(a+i)(1+i)=bi,則復數z=a+bi的共軛復數是( ) A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i 【解析】選D.因為(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以a-1=0,a+1=b,即a=1,b=2,所以z=a+bi=1+2i,故復數z的共軛復數是1-2i.,2.(2013·江蘇高考)設z=(2-i)2(i為虛數單位),則復數z的模為 . 【解析】z=(2-i)2=4+i2-4i=3-4i,故|z|=5. 答案:5,考點2 復數的幾何意義 【典例2】(1)(2014·新課標全國卷Ⅱ)設復數z1,z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱,z1=2+i,則z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i (2)(2014·重慶高考)復平面內表示復數i(1-2i)的點位于(本題源于教材2-2P116A組T1(3))( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解題提示】(1)利用對稱得出兩復數實虛部關系后代入可解. (2)利用復數運算后虛部與實部的正負判斷. 【規(guī)范解答】(1)選A.因為z1=2+i,z1與z2關于虛軸對稱,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5,故選A. (2)選A.i(1-2i)=2+i,對應復平面內的點為(2,1),位于第一象限.,【互動探究】本例(2)中i(1-2i)對應點關于實軸對稱的點對應的復數為 . 【解析】由i(1-2i)=2+i可知其對應點坐標為(2,1),其關于實軸對稱點坐標為(2,-1),故其對應的復數為2-i. 答案:2-i,【規(guī)律方法】復數幾何意義及應用 (1)復數z、復平面上的點Z及向量 相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)? . (2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系,因此可把復數、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時可運用數形結合的方法,使問題的解決更加直觀.,提醒:|z|的幾何意義:令z=x+yi(x,y∈R),則|z|= ,由此可知 表示復數z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義;|z1-z2|的幾何意義 是復平面內表示復數z1,z2的兩點之間的距離.,【變式訓練】在復平面內,復數z= (i為虛數單位)的共軛復數對 應的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】選D.z= =i+1, =1-i.所以復數z的共軛復數對 應的點位于第四象限.,【加固訓練】1.(2013·湖南高考)復數z=i·(1+i)(i為虛數單位)在復平面上對應的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】選B.因為z=i·(1+i)=-1+i,而(-1,1)對應的點在第二象限,所以選B.,2.(2015·臨沂模擬)已知復數z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們在復平 面上對應的點分別為A,B,C.若 =λ +μ (λ,μ∈R),求λ+ μ的值.,【解析】由已知得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-4), 故 =(3,-4), =(-1,2), =(1,-1), 若 =λ +μ ,即(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1), 得 解得 故λ+μ=-1+2=1.,考點3 復數的四則運算 知·考情 復數的四則運算是高考考查的一個重要考向,常利用復數的加減乘運算求復數,利用復數的相等或除法運算求復數,利用復數的有關概念求復數等,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:復數的加減乘法運算 【典例3】(2014·福建高考)復數z=(3-2i)i的共軛復數 等于( ) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 【解題提示】利用復數的運算法則進行計算. 【規(guī)范解答】選C.因為z=2+3i,所以 =2-3i.,命題角度2:復數的除法運算 【典例4】(2014·天津高考)i是虛數單位,復數 =( ) 【解題提示】利用復數除法運算,分子分母同乘以分母的共軛復數求解. 【規(guī)范解答】選A. =1-i.,悟·技法 利用復數的四則運算求復數的一般思路. (1)復數的乘法運算滿足多項式的乘法法則,利用此法則后將實部與虛部分別寫出即可. (2)復數的除法運算主要是利用分子、分母同乘以分母的共軛復數進行運算化簡. (3)利用復數的相關概念解題時,通常是設出復數或利用已知聯(lián)立方程求解.,通·一類 1.(2014·湖北高考)i為虛數單位, =( ) A.-1 B.1 C.-i D.i 【解析】選A. =-1.,2.(2014·遼寧高考)設復數z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=( ) A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i 【解析】選A.由(z-2i)(2-i)=5得z= +2i= +2i =2+i+2i=2+3i.,【一題多解】選A.設z=a+bi(a,b∈R), 則由(z-2i)(2-i)=5,得 z-2i= =2+i, 又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i, 所以a+(b-2)i=2+i, 所以 得 故z=2+3i.,3.(2014·四川高考)復數 = . 【解析】 =(1-i)2=-2i. 答案:-2i,自我糾錯12 復數有關概念的應用 【典例】(2013·陜西高考)設z是復數,則下列命題中的假命題是( ) A.若z2≥0,則z是實數 B.若z20,則z是虛數 C.若z是虛數,則z2≥0 D.若z是純虛數,則z20,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:上述解題過程錯在對純虛數與虛數概念含混不清,搞不明白,純虛數一定是虛數,而虛數不一定是純虛數,從而判斷錯誤.,【規(guī)避策略】 1.弄清虛數與純虛數的區(qū)別,對于z=a+bi(a,b∈R),若b≠0,則z為虛數,若b≠0且a=0,則z為純虛數. 2.利用排除法解題時,不要找到一個就停止,這樣極易誤選,應該將剩余選項再觀察,若有選項適合,應將兩個進行比較再確定正確答案.,【自我矯正】選C.設z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi. 對于A:若z2≥0,則 故b=0或a,b都為0, 即z為實數,所以A正確; 對于B:若z20,則 即 故z為純虛數,即z是虛數,所 以B正確; 對于C:若z是虛數,則b≠0,z2=a2-b2+2abi,,由于a的值不確定,故z2無法與0比較大小,所以C錯誤; 對于D:若z是純虛數, 則 z2=-b20成立,所以D正確.,