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專題 用等效法解決帶電體在勻強(qiáng)電場中的圓周運(yùn)動問題 方法概述 1.等效法就是將一個復(fù)雜的物理問題,等效為一個熟知的物理模型或問 題的方法。常見的等效法有“分解”“合成”“等效類比”“等效替 換”“等效變換”“等效簡化”等。,2.帶電粒子在勻強(qiáng)電場和重力場組成的復(fù)合場中做圓周運(yùn)動的問題是 一類重要而典型的題型。對于這類問題,若采用常規(guī)方法求解,過程復(fù) 雜,運(yùn)算量大。若采用“等效法”求解,則過程比較簡捷。 分析突破 1.求出重力與電場力的合力,將這個合力視為一個“等效重力”。 2.將a= 視為“等效重力加速度”。 3.將物體在重力場中做圓周運(yùn)動的規(guī)律遷移到等效重力場中分析求解。,例1 在水平向右的勻強(qiáng)電場中,有一質(zhì)量為m、帶正電的小球,用長為l 的絕緣細(xì)線懸掛于O點(diǎn),當(dāng)小球靜止時,細(xì)線與豎直方向夾角為θ,如圖所 示,現(xiàn)給小球一個垂直于懸線的初速度,小球恰能在豎直平面內(nèi)做圓周 運(yùn)動,試問:,(1)小球在做圓周運(yùn)動的過程中,在哪一位置速度最小?速度最小值多大? (2)小球在B點(diǎn)的初速度多大?,解析 如圖所示,小球所受到的重力、電場力均為恒力,二力的合力為F= 。,假設(shè)重力場與電場的疊加場為“等效重力場”,則F為等效重力,小球在疊 加場中的等效重力加速度為g'= ,其方向斜向右下,與豎直方向成θ角。 小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的過程中,只有等效重力做功,動能與等效重 力勢能可相互轉(zhuǎn)化,其總和不變。與重力勢能類比知,等效重力勢能為Ep= mg'h,其中h為小球距等效重力勢能零勢能點(diǎn)的高度。,(1)設(shè)小球靜止的位置B為零勢能點(diǎn),由于動能與等效重力勢能的總和不變, 則小球位于和B點(diǎn)對應(yīng)的同一直徑上的A點(diǎn)時等效重力勢能最大,動能最 小,速度也最小。設(shè)小球在A點(diǎn)的速度為vA,此時細(xì)線的拉力為零,等效重力 提供向心力,,則:mg'=m , 得小球的最小速度為vA= 。 (2)設(shè)小球在B點(diǎn)的初速度為vB,由能量守恒得: m = m +mg'·2l, 將vA的數(shù)值代入得:vB= 。 答案 (1)A點(diǎn)速度最小 (2),則:mg'=m , 得小球的最小速度為vA= 。 (2)設(shè)小球在B點(diǎn)的初速度為vB,由能量守恒得: m = m +mg'·2l, 將vA的數(shù)值代入得:vB= 。 答案 (1)A點(diǎn)速度最小 (2) 例2 如圖所示,絕緣光滑軌道AB部分是傾角為30°的斜面,AC部分為豎直 平面上半徑為R的圓軌道,斜面與圓軌道相切。整個裝置處于場強(qiáng)為E、方,向水平向右的勻強(qiáng)電場中?，F(xiàn)有一個質(zhì)量為m的帶正電小球,電荷量為q= ,要使小球能安全通過圓軌道,在O點(diǎn)的初速度應(yīng)滿足什么條件? 解析 小球先在斜面上運(yùn)動,受重力、電場力、支持力,然后在圓軌道上 運(yùn)動,受重力、電場力、軌道作用力,如圖所示,類比重力場,將電場力與重 力的合力視為等效重力mg',大小為mg'= = ,tan θ= = ,得θ=30°,等效重力的方向與斜面垂直指向右下方,小球在斜面上勻速運(yùn)動。,例2 如圖所示,絕緣光滑軌道AB部分是傾角為30°的斜面,AC部分為豎直 平面上半徑為R的圓軌道,斜面與圓軌道相切。整個裝置處于場強(qiáng)為E、方,因要使小球能安全通過圓軌道,在圓軌道的“等效最高點(diǎn)”(D點(diǎn))滿足“等 效重力”剛好提供向心力,即有:mg'= ,因θ=30°與斜面的傾角相等,由幾 何關(guān)系知 =2R,令小球以最小初速度v0運(yùn)動,由動能定理知: -2mg'R= m - m 解得v0= ,因此要使小球安全通過圓軌道,初速度應(yīng)滿足v≥,。 答案 v≥,例3 如圖所示,在豎直平面內(nèi)固定的圓形絕緣軌道的圓心為O、半徑 為r、內(nèi)壁光滑,A、B兩點(diǎn)分別是圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)。該區(qū)間存在 方向水平向右的勻強(qiáng)電場,一質(zhì)量為m、帶負(fù)電的小球在軌道內(nèi)側(cè)做完整 的圓周運(yùn)動(電荷量不變),經(jīng)過C點(diǎn)時速度最大,O、C連線與豎直方向的夾 角θ=60°,重力加速度為g。求:,,(1)小球所受到的靜電力的大小; (2)小球在A點(diǎn)速度v0多大時,小球經(jīng)過B點(diǎn)時對圓軌道的壓力最小?,(2)小球要到達(dá)B點(diǎn),必須滿足到達(dá)D點(diǎn)時速度最小,在D點(diǎn)速度最小時,小球 經(jīng)B點(diǎn)時對軌道的壓力也最小。設(shè)在D點(diǎn)時軌道對小球的壓力恰為零。 =m , 得v= 由軌道上A點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)的過程得:,解析 (1)小球在C點(diǎn)速度最大,則在該點(diǎn)靜電力與重力的合力沿半徑方 向,所以小球受到的靜電力大小 F=mg tan 60°= mg,mgr(1+cos θ)+Fr sin θ= m - mv2 解得:v0=2 答案 (1) mg (2)2,例4 如圖所示的裝置是在豎直平面內(nèi)放置的光滑絕緣軌道,處于水平向 右的勻強(qiáng)電場中,帶負(fù)電荷的小球從高h(yuǎn)的A處由靜止開始下滑,沿軌道ABC 運(yùn)動并進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)做圓周運(yùn)動。已知小球所受電場力是其重力的 ,圓環(huán) 半徑為R,斜面傾角θ=60°,BC段長為2R。若使小球在圓環(huán)內(nèi)能做完整的圓 周運(yùn)動,h至少為多少?,解析 小球所受的重力和電場力都為恒力,故可將兩力等效為一個力F, 如圖所示,可知F=1.25mg,方向與豎直方向夾角為37°。由圖可知,小球能否 做完整的圓周運(yùn)動的臨界點(diǎn)是D點(diǎn),設(shè)小球恰好能通過D點(diǎn),即達(dá)到D點(diǎn)時圓 環(huán)對小球的彈力恰好為零。 由圓周運(yùn)動規(guī)律知F=m ,,即1.25mg=m 由動能定理得 mg(h-R-R cos 37°)- mg(h cot θ+2R+R sin 37°)= m 解得h≈7.7R 答案 7.7R,