《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5.3等比數(shù)列及其前n項和課件 .ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5.3等比數(shù)列及其前n項和課件 .ppt（88頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和,【知識梳理】 1.等比數(shù)列及其相關(guān)概念,前面一項,同一個常數(shù),常數(shù),G2=ab,2.等比數(shù)列的通項公式 若等比數(shù)列{an}的首項是a1,公比是q,則其通項公式為___ ____________. 3.等比數(shù)列的前n項和公式 (1)當(dāng)公比q=1時,Sn=___. (2)當(dāng)公比q≠1時,Sn=_________=________.,an=,a1qn-1(n∈N*),na1,4.等比數(shù)列的常見性質(zhì) (1)項的性質(zhì): ①an=amqn-m; ②am-kam+k=am2(mk,m,k∈N*). (i)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則am·an=______=ak2; (ii)若數(shù)列{an},{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan},{|an|}, ,{an2},{an·bn}, (λ≠0)仍然是等比 數(shù)列;,ap·aq,(iii)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.,(2)和的性質(zhì): ①Sm+n=Sn+qnSm; ②若等比數(shù)列{an}共2k(k∈N*)項,則 =q; ③公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn,S2n-Sn, ______仍成等比數(shù)列,其公比為qn,當(dāng)公比為-1時,Sn,S2n-Sn, ______不一定構(gòu)成等比數(shù)列.,S3n-S2n,S3n-S2n,(3)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性: ①滿足 {an}是_____數(shù)列; ②滿足 {an}是_____數(shù)列; ③當(dāng) 時,{an}為___數(shù)列; ④當(dāng)q0時,{an}為擺動數(shù)列.,遞增,遞減,常,(4)其他性質(zhì): ①{an}為等比數(shù)列,若a1·a2·…·an=Tn,則Tn, …成等 比數(shù)列; ②當(dāng)數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列時,數(shù)列{lgan}是公 差為lgq的等差數(shù)列.,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: ①滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列; ②G為a,b的等比中項?G2=ab; ③如果{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列; ④如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列. 其中錯誤的命題是( ) A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②③④,【解析】選D.①錯誤.q=0時{an}不是等比數(shù)列. ②錯誤.G為a,b的等比中項?G2=ab;反之不真,如a=0,b=0,G=0. ③錯誤.如數(shù)列1,-1,1,-1,…. ④錯誤.數(shù)列{an}中可能有小于零的項.,2.已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,若a2=2,2a3+a4=16, 則an等于( ) A.2n-2 B.23-n C.2n-1 D.2n 【解析】選C.設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,則a3=2q,a4=2q2,由此得 4q+2q2=16,即q2+2q-8=0,解得q=2或者q=-4(舍去),所以an= a2qn-2=2n-1.,3.在等比數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,若S3=7,S6=63,則公比q的值 是( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 【解析】選A.易得q≠1,由題意得 兩式相除得 1+q3=9,所以q=2.,4.設(shè){an}是任意等比數(shù)列,它的前n項和,前2n項和與前3n項和 分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 【解析】選D.(特例法)取等比數(shù)列1,2,4,…,令n=1得X=1,Y=3, Z=7代入驗算.,5.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,a1,a9是方程x2-8x+12=0的 兩根,則a4a5a6= . 【解析】因為a52=a1·a9=12,an0,所以a5= 所以a4a5a6= 答案:,6.若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1= (n∈N*),其前n項和為Sn,則 =______. 【解析】由a1=1,an+1= 知{an}是首項為1，公比為 的等比 數(shù)列，所以 故 答案：15,考點1 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 【典例1】(1)(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 (2)(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=( ),【解題視點】(1)先根據(jù)等比中項的性質(zhì)求出x的值,再利用通項公式求第四項. (2)利用S3=a1+a2+a3,根據(jù)通項公式求出q2,再解方程求得a1.,【規(guī)范解答】(1)選A.因為等比數(shù)列的前三項為x,3x+3,6x+6, 所以(3x+3)2=x(6x+6), 即x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3. 當(dāng)x=-1時,3x+3=0不合題意,舍去.故x=-3. 此時等比數(shù)列的前三項為-3,-6,-12.所以等比數(shù)列的首項為-3, 公比為2,所以等比數(shù)列的第四項為-3×24-1=-24. (2)選C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1, 解得q2=9,又因為a5=9,所以a1q4=9,解得a1= .,【互動探究】 若本例已知條件不變,(1)對于第(1)小題,求通項公式an. (2)對于第(2)小題,求前n項和Sn.,【解析】(1)由本例(1)知a1=-3,q=2,所以an=(-3)·2n-1. (2)由本例(2)知a1= ,q=±3,所以 當(dāng)q=3時,Sn= 當(dāng)q=-3時,Sn= 因此Sn= (3n-1)或Sn= [1-(-3)n].,【易錯警示】關(guān)注等比數(shù)列項的符號規(guī)律 等比數(shù)列的通項公式是an=a1qn-1,不管公比q的正負(fù),q20,因此我們可以知道,等比數(shù)列中奇數(shù)項符號相同,偶數(shù)項符號也相同,但在做題時,我們往往會忽視這一點,尤其是在用到等比中項的時候.本例第(1)題就易出現(xiàn)兩種情況不能決定取舍的問題.,【規(guī)律方法】解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法 (1)方程的思想.等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以 “知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而 解. (2)數(shù)形結(jié)合的思想.通項an=a1qn-1可化為an= qn,因此an是 關(guān)于n的函數(shù),點(n,an)是曲線y= qx上一群孤立的點.,(3)分類討論的思想.當(dāng)q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當(dāng)q≠1時, {an}的前n項和Sn= 等比數(shù)列的前n項和公式 涉及對公比q的分類討論,此處是?？键c,也是易錯點. (4)整體思想.應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時,常把qn或 當(dāng) 成整體進(jìn)行求解.,等比數(shù)列設(shè)項技巧 對稱設(shè)元法:一般地,連續(xù)奇數(shù)個項成等比數(shù)列,可設(shè)為…, x,xq,…;連續(xù)偶數(shù)個項成等比數(shù)列,可設(shè)為…, xq, xq3,…(注意:此時公比q20,并不適合所有情況)這樣即可減少 未知量的個數(shù),也使得解方程較為方便.,【變式訓(xùn)練】(2013·四川高考)在等比數(shù)列{an}中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項,求數(shù)列{an}的首項、公比及前n項和. 【思路點撥】首先需要明確等比數(shù)列中2a2為3a1和a3的等差中項,然后設(shè)出公比,利用方程的思想進(jìn)行求解.,【解析】設(shè)該數(shù)列的公比為q.由已知可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2, 所以,a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1. 由于a1(q-1)=2,因此q=1不合題意,應(yīng)舍去. 故公比q=3,首項a1=1. 所以,數(shù)列{an}的前n項和Sn=,【加固訓(xùn)練】 1.在等比數(shù)列{an}中,若公比q1,且a2a8=6,a4+a6=5,則= ( ) 【解析】選D.因為a2a8=6,所以a4a6=6, 又因為a4+a6=5,q1,所以a4=2,a6=3, 所以,2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若 則 =( ) 【解析】選B.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q ,則 ＝1＋q3＝3?q3＝2, 于是,3.設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,記{an},{bn}的前n項和 分別為Sn,Tn.若a3=b3,a4=b4,且 則 = . 【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q. 因為 =5,所以 =5,即2a1+7d=5b1q2(1+q),因為 a3=b3,a4=b4,所以 可得 故2(3-2q)+7(q-1)=5(1+q), 解得q=-3,所以 答案:,考點2 等比數(shù)列的判定與證明 【典例2】(1)(2013·福建高考)已知等比數(shù)列的公比為q,記 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…· am(n-1)+m(m,n∈N*，),則以下結(jié)論一定正確的是( ) A.數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,公差為qm B.數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比為q2m C.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為 D.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為,(2)(2013·陜西高考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列. ①推導(dǎo){an}的前n項和公式. ②設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列. 【解題視點】(1)判定一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列,可利用作差或作比,看看結(jié)果是不是常數(shù). (2)推導(dǎo)數(shù)列{an}的前n項和公式要注意分q=1或q≠1兩種情況討論,利用錯位相減法求解;證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列,一般要用反證法,只需證明前三項不符合等比數(shù)列的條件即可.,【規(guī)范解答】(1)選C.顯然,{bn}是等比數(shù)列但公比為qm;{cn}是等比數(shù)列;證明如下: cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2…am(n-1)+m, cn+1=amn+1·amn+2…amn+m, =qmqm…qm=(qm)m=,(2)①分兩種情況討論. (i)當(dāng)q=1時,數(shù)列{an}是首項為a1的常數(shù)數(shù)列,所以Sn=a1+a1+…+a1=na1. (ii)當(dāng)q≠1時,Sn=a1+a2+…+an-1+an?qSn=qa1+qa2+…+qan-1+qan. 上面兩式錯位相減: (1-q)Sn=a1+(a2-qa1)+(a3-qa2)+…+(an-qan-1)-qan=a1-qan ?Sn= 綜上,Sn=,②使用反證法. 不妨設(shè){an}是公比q≠1的等比數(shù)列,假設(shè)數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,則 (a2+1)2=(a1+1)(a3+1)即(a1q+1)2 =(a1+1)(a1q2+1), 整理得a1(q-1)2=0得a1=0或q=1均與題設(shè)矛盾,故數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.,【易錯警示】注意對公比的討論 本例第(2)題容易忽略對公比是否為1的討論而致誤,在解決等比數(shù)列問題時,要注意公比是否有限制條件,確定是否應(yīng)進(jìn)行討論.,【規(guī)律方法】等比數(shù)列的判定方法 (1)定義法:若 =q(q為非零常數(shù),n∈N*)或 (q為非零常數(shù)且n≥2,n∈N*),則{an}是等比數(shù)列. (2)中項公式法:若數(shù)列{an}中,an≠0且an+12=an·an+2(n∈N*),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (3)通項公式法:若數(shù)列通項公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*),則{an}是等比數(shù)列.,(4)前n項和公式法:若數(shù)列{an}的前n項和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k≠0,q≠0,1),則{an}是等比數(shù)列. 提醒:(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法,常用于證明,而后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定. (2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.,【變式訓(xùn)練】(2014·金華模擬)已知數(shù)列{an}的首項a1=t0,an+1= n=1,2,… (1)若t= ,求證 是等比數(shù)列并求出{an}的通項公式. (2)若an+1an對一切n∈N*都成立,求t的取值范圍.,【解析】(1)由a10,an+1= 知an0, 所以數(shù)列 是首項為 公比為 的等比數(shù)列，,(2)由(1)知 因為an0,故an+1an得 即 得 又t0，則0t1.,【加固訓(xùn)練】 1.已知數(shù)列{an}滿足a1= ,an= (n≥2,n∈N*). (1)試判斷數(shù)列 是否為等比數(shù)列,并說明理由. (2)設(shè)cn=ansin ,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn.求證:對任 意的n∈N*,Tn,【解析】(1)由 所以 又 -1=3≠0, 所以數(shù)列 是首項為3,公比為-2的等比數(shù)列.,(2)由(1)得 所以 所以 所以,2.已知數(shù)列{an}中,a1= ,點(n,2an+1-an)在直線y=x上,其中 n=1,2,3…. (1)令bn=an+1-an-1,求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列. (2)求數(shù)列{an}的通項.,【解析】(1)a1= ,2an+1=an+n, 則a2= ,a2-a1-1= - -1=- , 又bn=an+1-an-1,bn+1=an+2-an+1-1, 所以 所以{bn}是以- 為首項,以 為公比的等比數(shù)列.,(2)所以an+1-an-1= 所以a2-a1-1= a3-a2-1= an-an-1-1= 將以上各式相加得: 所以an-a1-(n-1)=,所以 所以,3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,a5=18,數(shù)列{bn}的前n項和是 Tn,且Tn+ bn=1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列. (3)記cn=an·bn,求證cn+1≤cn.,【解析】(1)由已知 解得a1=2,d=4. 所以an=2+(n-1)×4=4n-2. (2)由于Tn=1- bn, ① 令n=1，得b1=1- b1， 解得 當(dāng)n≥2時，Tn-1=1- bn-1. ②,①-②得bn= bn-1- bn, 所以bn= bn-1. 又b1= ≠0, 所以 所以數(shù)列{bn}是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列.,因為n≥1,故cn+1-cn≤0.所以cn+1≤cn.,考點3 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【考情】等比數(shù)列的性質(zhì)是高考重點考查的內(nèi)容之一,題型有選擇題、填空題,近幾年也與方程、不等式、三角函數(shù)等內(nèi)容交匯考查,主要考查通項公式的變式、等比中項的變形、前n項和公式的變形等求值運(yùn)算或判斷證明等問題.,高頻考點 通 關(guān),【典例3】(1)(2012·新課標(biāo)全國卷)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 (2)(2012·北京高考)已知{an}為等比數(shù)列,下面結(jié)論中正確的是( ) A.a1+a3≥2a2 B. C.若a1=a3,則a1=a2 D.若a3a1,則a4a2,【解題視點】(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)將a5a6替換為a4a7,然后聯(lián)立方程組求得a4,a7的值,最后將a4,a7及公比q的值整體代入a1+a10求出其值. (2)利用等比數(shù)列的基本量和基本不等式進(jìn)行計算.,【規(guī)范解答】(1)選D.方法一:因為{an}為等比數(shù)列,所以a5a6=a4a7=-8,聯(lián)立 解得或所以q3=- 或q3=-2, 故a1+a10= +a7·q3=-7.,方法二:因為{an}為等比數(shù)列, 所以a5a6=a4a7=-8, 又a4+a7=2,聯(lián)立方程組可得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4. 根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì),a1,a4,a7,a10也成等比數(shù)列. 若a4=4,a7=-2,得a1=-8,a10=1,a1+a10=-7; 若a4=-2,a7=4,得a10=-8,a1=1, 仍有a1+a10=-7,綜上選D.,(2)選B.,【通關(guān)錦囊】,【通關(guān)題組】 1.(2014·臺州模擬)在等比數(shù)列{an}中,已知a2+a3=1,a4+a5=2, 則a8+a9等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q2= =2,故 a8+a9=(a4+a5)q4=2×22=8.,2.(2014·紹興模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=18,則log3a1+log3a2+…+log3a10=( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 【解析】選B.因為{an}為等比數(shù)列,且a5a6+a4a7=18, 所以2a5a6=18,即a5a6=9, 所以log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1·a2·…·a10)=log3(a5a6)5 =5log3(a5a6)=5log39=5×2=10.,3.(2014·石家莊模擬)設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an},Sn為前n項和,且S10=10,S30=70,那么S40= . 【解析】依題意,數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比數(shù)列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S200,因此S20=30,S20-S10=20,S40=10+20+40+80=150. 答案:150,4.(2014·杭州模擬)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},若 2a4+a3-2a2-a1=8,則2a8+a7的最小值為 . 【解析】設(shè){an}的公比為q,由2a4+a3-2a2-a1=8,得(2a2+a1)q2- (2a2+a1)=8,所以(2a2+a1)(q2-1)=8,顯然q21,2a8+a7=(2a2+ a1)q6= 令t=q2,則2a8+a7= 設(shè)函數(shù)f(t)= (t1), f′(t)= ,易知當(dāng)t∈(1, )時f(t)為減函數(shù),當(dāng)t∈ ( ,+∞)時,f(t)為增函數(shù),所以f(t)的最小值為f( )=54,故 2a8+a7的最小值為54. 答案:54,【加固訓(xùn)練】 1.(2012·安徽高考)公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且a3a11=16,則a5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】選A.a3a11=16?a72=16?a7=4=a5×22?a5=1.,2.(2014·黃岡模擬)在等比數(shù)列{an}中,“8a2-a5=0”是“{an}為遞增數(shù)列”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分又不必要條件 D.充要條件 【解析】選C.由8a2-a5=0,得到a5=8a2.又a5=q3a2,則q=2,而a10時,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,a10時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.當(dāng){an}為遞增數(shù)列時,q不一定等于2. 則“8a2-a5=0”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.,3.(2014·商丘模擬)已知x1,y1,且 lnx, ,lny成等比數(shù)列, 則xy的最小值是 . 【解析】由已知條件得 lnx·lny,即lnx·lny= ,又 lnx·lny≤ ,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立,所以 [ln(xy)]2≥1,又x1,y1,所以ln(xy)≥1,即xy≥e,xy的最小 值為e. 答案:e,【創(chuàng)新體驗4】以數(shù)列為載體的創(chuàng)新問題 【典例】(2014·連云港模擬)定義一個“等積數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它后一項的積都是同一常數(shù),那么這個數(shù)列叫“等積數(shù)列”,這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公積. 已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=2,公積為5,則這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為 .,【審題視點】,【解析】這個數(shù)列為2, ,2, ,2, ,…,若n是偶數(shù),則Sn= 若n是奇數(shù),則 故Sn= 答案:Sn=,【創(chuàng)新點撥】 1.高考考情:先定義一個(一類)新數(shù)列,然后要求根據(jù)新定義推斷這個新數(shù)列的一些性質(zhì)或判斷一個數(shù)列是否屬于這類新數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一個命題方向,考查頻次較高. 2.命題形式:常見的有新定義、新法則、新運(yùn)算等,形式新穎,常給人耳目一新的感覺.,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決數(shù)列新定義問題,首先要弄清新定義的本質(zhì)含義,緊扣題目所給定義進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化. 2.方法選取:對于數(shù)列新定義問題,可結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)以及解決數(shù)列問題時常用的方法求解.,【新題快遞】 1.若數(shù)列{an}滿足 =p(p為正常數(shù),n∈N*),則稱{an}為“等 方比數(shù)列”.甲:數(shù)列{an}是等方比數(shù)列;乙:數(shù)列{an}是等比數(shù) 列,則( ) A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的充要條件 C.甲是乙的必要條件但不是充分條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件,【解析】選C.乙?甲,但甲 乙,如數(shù)列2,2,-2,-2,-2,是等方 比數(shù)列,但不是等比數(shù)列.,2.定義“等平方和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的平方和都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等平方和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的平方和,已知數(shù)列{an}是等平方和數(shù)列,且a1=1,平方和為5,且an0,則a2015= ,這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為 .,【解析】由定義知a12+a22=5,a1=1, 所以a22=4,因為an0,所以a2=2. 又由a22+a32=5,所以a32=1, 因為a30,所以a3=1,由此可知a4=2,a5=1,… 即數(shù)列{an}的奇數(shù)項均為1,偶數(shù)項均為2，所以a2 015=1.,當(dāng)n為偶數(shù)時， 當(dāng)n為奇數(shù)時， 答案:,【規(guī)范解答】函數(shù)在研究數(shù)列問題中的應(yīng)用 【典例】(15分)(2014·桂林模擬)已知:函數(shù)f(x)在(-1,1)上 有定義, =-1,且對?x,y∈(-1,1)有f(x)+f(y)= (1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性. (2)對于數(shù)列{xn},有x1= ,xn+1= 試證明數(shù)列{f(xn)} 成等比數(shù)列. (3)求證:,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)在f(x)+f(y)= 中, 令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0), …………………………………………………………………1分 再令x=y=0得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0①,……………3分 所以f(-x)=-f(x),又函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù). …………………………………………………………………4分,(2)由 因為 等號當(dāng)且僅當(dāng)|xn+1|=1時成立,當(dāng)xn+1 =1時,根據(jù)xn= 得xn=1,進(jìn)而xn-1=xn-2=…=x1=1,與已知x1 = 矛盾,故xn+1≠1,同理xn+1≠-1,故 所以 ②.………………………………………6分 所以f(xn+1)= 因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù), 所以f(xn+1)=f(xn)-f(xn+1),2f(xn+1)=f(xn).,因為xn≠0,否則與x1= 矛盾, 所以f(xn)≠f(0)=0③, 所以 ……………………………………………9分 因為f(x1)=f( )=-1, 所以{f(xn)}是以-1為首項, 為公比的等比數(shù)列.………10分,(3)根據(jù)(2)可得f(xn)= ……………………………11分 因為 ………………………13分 ………………………14分 又因為n∈N*, 所以-2+ -2, 所以 ………………………………………15分,【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓(xùn)練,能力遷移 函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R),數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n),且f(x)同時滿足: ①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素; ②在定義域內(nèi)存在0f(x2)成立. (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式. (2)求數(shù)列{an}的通項公式.,【解析】(1)因為不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素,所以Δ=a2-4a=0,解得a=0或a=4. 當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上遞增,不滿足條件②; 當(dāng)a=4時,函數(shù)f(x)=x2-4x+4在(0,2)上遞減,滿足條件②. 綜上得a=4,即f(x)=x2-4x+4.,(2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-2)2, 當(dāng)n=1時,a1=S1=1; 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5. 所以an=,