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第四節(jié) 直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì),【知識(shí)梳理】 1.直線(xiàn)與平面平行 (1)判定定理:,此平,面內(nèi),(2)性質(zhì)定理:,交線(xiàn),2.平面與平面平行 (1)判定定理:,相交,直線(xiàn),(2)性質(zhì)定理:,相交,交線(xiàn),【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: ①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行; ②如果兩個(gè)平面平行,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行或異面; ③若直線(xiàn)a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行,則a∥α;,④若直線(xiàn)a∥平面α,P∈α,則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線(xiàn)a的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條; ⑤若平面α∥平面β,直線(xiàn)a∥平面α,則直線(xiàn)a∥平面β. 其中正確的是( ) A.②⑤ B.①③⑤ C.②③ D.②,【解析】選D.①錯(cuò)誤.當(dāng)這兩條直線(xiàn)為相交直線(xiàn)時(shí),才能保證這兩個(gè)平面平行. ②正確.如果兩個(gè)平面平行,則在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn),則它們平行或異面. ③錯(cuò)誤.若直線(xiàn)a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行,則a∥α或a?α. ④錯(cuò)誤.有且只有一條直線(xiàn),且該直線(xiàn)為過(guò)直線(xiàn)a和點(diǎn)P的平面與平面α的交線(xiàn). ⑤錯(cuò)誤.若平面α∥平面β,直線(xiàn)a∥平面α,則a∥β或a?β.,2.若兩條直線(xiàn)都與一個(gè)平面平行,則這兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系 是( ) A.平行 B.相交 C.異面 D.以上均有可能 【解析】選D.借助長(zhǎng)方體模型可知,兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可以為平行、相交、異面.,3.(2014·長(zhǎng)沙模擬)若直線(xiàn)a⊥b,且直線(xiàn)a∥平面α,則直線(xiàn)b與平面α的位置關(guān)系是( ) A.b?α B.b∥α C.b?α或b∥α D.b與α相交或b?α或b∥α 【解析】選D.當(dāng)b與α相交或b?α或b∥α?xí)r,均滿(mǎn)足直線(xiàn)a⊥b,且直線(xiàn)a∥平面α的情況,故選D.,4.(2014·溫州模擬)下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( ) ①若直線(xiàn)a不在α內(nèi),則a∥α; ②若直線(xiàn)l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α; ③若l與平面α平行,則l與α內(nèi)任何一條直線(xiàn)都沒(méi)有公共點(diǎn); ④平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行. A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】選A.a∩α=A時(shí),a?α,所以①錯(cuò); 直線(xiàn)l與α相交時(shí),l上也可以有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi),故②錯(cuò); l∥α,l與α無(wú)公共點(diǎn),所以l與平面α內(nèi)任一直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn),③正確;長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中平面A1C1與平面D1C都與直線(xiàn)AB平行,但兩平面相交,所以④錯(cuò)誤.,5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中點(diǎn),則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為 . 【解析】如圖.連接BD與AC交于O點(diǎn),連接OE, 所以O(shè)E∥BD1,而OE?平面ACE,BD1?平面ACE, 所以BD1∥平面ACE. 答案:平行,考點(diǎn)1 有關(guān)平行關(guān)系的判斷 【典例1】(1)下列命題正確的是( ) A.若兩條直線(xiàn)和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線(xiàn)平行 B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行 C.若一條直線(xiàn)平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行 D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行,(2)(2013·廣東高考)設(shè)l為直線(xiàn),α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是( ) A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l⊥α,l⊥β,則α∥β C.若l⊥α,l∥β,則α∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β,【解題視點(diǎn)】(1)本題旨在考查立體幾何的線(xiàn)、面位置關(guān)系及線(xiàn)面平行的判定和性質(zhì),需要熟練掌握定義、定理. (2)本題考查空間推理論證能力,應(yīng)熟練運(yùn)用平行與垂直的判定與性質(zhì),還要能舉出反例.,【規(guī)范解答】(1)選C.若兩條直線(xiàn)和同一平面所成角相等,這兩條直線(xiàn)可能平行,也可能為異面直線(xiàn),也可能相交,所以A錯(cuò);一個(gè)平面上的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行或相交,故B錯(cuò);若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面可以平行,也可以相交,故D錯(cuò);只有選項(xiàng)C正確. (2)選B.對(duì)于選項(xiàng)A,若l∥α,l∥β,則平面α,β可能相交,此時(shí)交線(xiàn)與l平行,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行;對(duì)于選項(xiàng)C,能推出兩個(gè)平面相交且兩個(gè)平面垂直;對(duì)于選項(xiàng)D,l∥β,l⊥β,l?β都有可能.,【規(guī)律方法】有關(guān)平行關(guān)系判斷的技巧 (1)熟悉線(xiàn)面關(guān)系的各個(gè)定理,無(wú)論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題,都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除,再逐步判斷其余選項(xiàng). (2)特別注意定理所要求的條件是否完備,圖形是否有特殊情形.,【變式訓(xùn)練】已知兩條直線(xiàn)a,b,兩個(gè)平面α,β,則下列結(jié)論中正確的是( ) A.若a?β,且α∥β,則a∥α B.若b?α,a∥b,則a∥α C.若a∥β,α∥β,則a∥α D.若b∥α,a∥b,則a∥α,【解析】選A.A.因?yàn)棣痢桅?又a?β,所以a∥α,故A正確; B.因?yàn)閎?α,a∥b,若a?α,則a不可能與α平行,故B錯(cuò)誤; C.因?yàn)閍∥β,α∥β,若a?α,則結(jié)論不成立,故C錯(cuò)誤; D.因?yàn)閎∥α,a∥b,若a?α,則結(jié)論不成立,故D錯(cuò)誤.,【加固訓(xùn)練】1.(2014·大同模擬)若兩條不同的直線(xiàn)與同一平面所成的角相等,則這兩條直線(xiàn)( ) A.平行 B.相交 C.異面 D.以上皆有可能,【解析】選D.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中, BC1∥AD1,兩直線(xiàn)與平面ABCD所成角相等, BC1與B1C相交,兩直線(xiàn)與平面ABCD所成角相等, BC1與A1D異面,兩直線(xiàn)與平面ABCD所成角也相等.,2.設(shè)a,b為不重合的兩條直線(xiàn),α,β為不重合的兩個(gè)平面,給出下列命題: ①若a?α,b?α,a,b是異面直線(xiàn),那么b∥α; ②若a∥α且b∥α,則a∥b; ③若a?α,b∥α,a,b共面,那么a∥b; ④若α∥β,a?α,則a∥β. 上面命題中,所有真命題的序號(hào)是 .,【解析】①中的直線(xiàn)b與平面α也可能相交,故不正確; ②中的直線(xiàn)a,b可能平行、相交或異面,故不正確;由線(xiàn)面平行的性質(zhì)得③正確;由面面平行的性質(zhì)可得④正確. 答案:③④,考點(diǎn)2 直線(xiàn)與平面平行的判定和性質(zhì) 【考情】平行關(guān)系是空間幾何中的一種重要關(guān)系,包括線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行,其中線(xiàn)面平行在高考試題中出現(xiàn)頻率很高,一般出現(xiàn)在解答題中.考查線(xiàn)面平行的判定定理與性質(zhì)定理在證明或判斷中的應(yīng)用.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例2】(1)(2014·麗水模擬)正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F, G分別是A1B1,CD,B1C1的中點(diǎn),則正確命題是( ) A.AE⊥CG B.AE與CG是異面直線(xiàn) C.四邊形AEC1F是正方形 D.AE∥平面BC1F,(2)(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn). ①證明:BC1∥平面A1CD; ②設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱錐C-A1DE的體積.,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)正方體的幾何特征,可以判斷出AE與CG相 交,但不垂直,由此可以判斷出A,B的真假.分析四邊形AEC1F,即 可判斷C的真假.由線(xiàn)面平行的判定定理,可以判斷出D的真假, 進(jìn)而得到答案. (2)①連接AC1,構(gòu)造中位線(xiàn),利用線(xiàn)線(xiàn)平行證線(xiàn)面平行; ②利用條件中的垂直關(guān)系求出A1D,DE,A1E的長(zhǎng),確定DE⊥A1D,再 利用 ×CD求體積.,【規(guī)范解答】(1)選D.由正方體的幾何特征,可得AE⊥C1G, 但AE與平面BCC1B1不垂直, 故AE⊥CG不成立; 由于EG∥AC,故A,E,G,C四點(diǎn)共面, 所以AE與CG是異面直線(xiàn)錯(cuò)誤; 在四邊形AEC1F中,AE=EC1=C1F=AF,但AF與AE不垂直, 故四邊形AEC1F是正方形錯(cuò)誤; 而AE∥C1F,由線(xiàn)面平行的判定定理,可得AE∥平面BC1F.,(2)①連接AC1,交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1中點(diǎn). 又D是AB的中點(diǎn),連接DF,則BC1∥DF. 因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD. ②因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱, 所以AA1⊥CD. 由已知AC=CB,D為AB的中點(diǎn), 所以CD⊥AB.,又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1＝AC＝CB＝2,AB＝ 得 ∠ACB=90°，CD= ，A1D= , DE= ,A1E=3, 故A1D2+DE2=A1E2, 即DE⊥A1D. 所以,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】證明線(xiàn)面平行時(shí),要注意說(shuō)明已知直線(xiàn)不在平面內(nèi).,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2014·寧波模擬)已知直線(xiàn)m,n和平面α,則m∥n的一個(gè)必要不充分條件是( ) A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥α C.m∥α,n?α D.m,n與α成等角,【解析】選D.對(duì)于A,m∥α,n∥α為m∥n的既不充分也不必要條件;對(duì)于B,m⊥α,n⊥α為m∥n的充分不必要條件;對(duì)于C, m∥α,n?α為m∥n的既不充分也不必要條件;對(duì)于D,m,n與α成等角為m∥n的必要不充分條件,故選D.,2.(2014·湖州模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是平行四邊形,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)M,N分別為BC,PA的中點(diǎn).在線(xiàn)段PD上是否存在一點(diǎn)E,使NM∥平面ACE?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.,【解析】在PD上存在一點(diǎn)E,使得NM∥平面ACE, 且E為線(xiàn)段PD的中點(diǎn).證明如下:如圖, 取PD的中點(diǎn)E,連接NE,EC,AE, 因?yàn)镹,E分別為PA,PD的中點(diǎn), 所以NE AD.,又在平行四邊形ABCD中,CM AD. 所以NE MC, 即四邊形MCEN是平行四邊形.所以NM EC. 又EC?平面ACE,NM?平面ACE,所以MN∥平面ACE, 即在PD上存在一點(diǎn)E,且E為線(xiàn)段PD的中點(diǎn),使得NM∥平面ACE.,3.(2014·石家莊模擬)如圖,在直角 梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,BC= CD= AB=2,G為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),將 △ADG沿GD折起,使平面ADG⊥平面BCDG,得到幾何體A-BCDG. (1)若E,F分別為線(xiàn)段AC,AD的中點(diǎn),求證:EF∥平面ABG. (2)求三棱錐C-ABD的體積.,【解析】(1)因?yàn)檎郫B前后CD,BG的位置關(guān)系不變, 所以CD∥BG. 因?yàn)樵凇鰽CD中,E,F分別為AC,AD的中點(diǎn), 所以EF∥CD.所以EF∥BG. 又因?yàn)镋F?平面ABG,BG?平面ABG, 所以EF∥平面ABG.,(2)因?yàn)锽C=CD= AB=2,G為線(xiàn)段AB的中點(diǎn), 所以CD=BG. 又因?yàn)椤螧=90°,CD∥BG,BC=CD, 所以四邊形BCDG是一個(gè)正方形, 所以BG⊥DG,AG⊥DG,折疊后仍然成立, 因?yàn)槠矫鍭DG⊥平面BCDG,所以AG⊥平面BCDG, 所以V三棱錐C-ABD=V三棱錐A-BCD= AG×S△BCD= ×2× ×2×2= .,【加固訓(xùn)練】1.(2013·菏澤模擬)如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是 棱長(zhǎng)為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是 上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP= ,過(guò)P,M,N的平面交上底面于PQ, Q在CD上,則PQ= .,【解析】如圖,連接AC,易知MN∥平面ABCD,所以MN∥PQ. 因?yàn)镸N∥AC,所以PQ∥AC. 又因?yàn)锳P＝ ， 所以 所以 答案：,2.(2013·洛陽(yáng)模擬)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中點(diǎn),在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使DE∥平面AB1C1?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.,【解析】存在點(diǎn)E,且E為AB的中點(diǎn). 證明如下: 取AB的中點(diǎn)E,BB1中點(diǎn)F,連接DE,DF,EF, 則B1F∥C1D,B1F=C1D, 所以四邊形B1FDC1為平行四邊形. 所以DF∥B1C1.,又DF?平面AB1C1, B1C1?平面AB1C1, 所以DF∥平面AB1C1. 同理EF∥平面AB1C1. 因?yàn)镈F∩EF=F,DF?平面DEF,EF?平面DEF, 所以平面DEF∥平面AB1C1. 因?yàn)镈E?平面DEF,所以DE∥平面AB1C1.,考點(diǎn)3 面面平行的判定和性質(zhì) 【典例3】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F, G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證: (1)B,C,H,G四點(diǎn)共面. (2)平面EFA1∥平面BCHG.,【解題視點(diǎn)】(1)要證明B,C,H,G四點(diǎn)共面,只需要證明直線(xiàn)GH與直線(xiàn)BC共面,即證明GH∥BC即可. (2)要證明平面EFA1與平面BCHG平行,可利用面面平行的判定定理證明.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镚,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn), 所以GH是△A1B1C1的中位線(xiàn), 所以GH∥B1C1. 又因?yàn)锽1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四點(diǎn)共面. (2)因?yàn)镋,F分別是AB,AC的中點(diǎn),所以EF∥BC. 因?yàn)镋F?平面BCHG,BC?平面BCHG, 所以EF∥平面BCHG.,因?yàn)锳1G EB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形, 所以A1E∥GB. 因?yàn)锳1E?平面BCHG,GB?平面BCHG, 所以A1E∥平面BCHG. 因?yàn)锳1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.,【互動(dòng)探究】在本例條件下,若D1,D分別為B1C1,BC的中點(diǎn),求證:平面A1BD1∥平面AC1D. 【證明】如圖所示,連接A1C交AC1于點(diǎn)H, 因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形, 所以H是A1C的中點(diǎn), 連接HD,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn), 所以A1B∥HD.,因?yàn)锳1B?平面A1BD1, DH?平面A1BD1, 所以DH∥平面A1BD1. 又由三棱柱的性質(zhì)知,D1C1 BD, 所以四邊形BDC1D1為平行四邊形, 所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1, BD1?平面A1BD1, 所以DC1∥平面A1BD1,又因?yàn)镈C1∩DH=D, 所以平面A1BD1∥平面AC1D.,【規(guī)律方法】 1.判定面面平行的方法,2.面面平行的性質(zhì) (1)兩平面平行,則一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一平面. (2)若一平面與兩平行平面相交,則交線(xiàn)平行. 提醒:利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)需要說(shuō)明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行.,重視三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的問(wèn)題的指導(dǎo)思想,解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律,又要看清題目的具體條件,選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.,【變式訓(xùn)練】1.(2014·溫州模擬)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是( ) A.存在一條直線(xiàn)a,a∥α,a∥β B.存在一條直線(xiàn)a,a?α,a∥β C.存在兩條平行直線(xiàn)a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在兩條異面直線(xiàn)a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,【解析】選D.由兩異面直線(xiàn)a,b,a?α,b?β,a∥β知在β內(nèi)存在直線(xiàn)a′,使得a∥a′,同理在α內(nèi)有直線(xiàn)b′使得b∥b′.由于a與b異面,平移后必相交.故可得出α∥β.,2.如圖所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體,點(diǎn)E在AA1上,點(diǎn)F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中點(diǎn). (1)求證:E,B,F,D1四點(diǎn)共面. (2)求證:平面A1GH∥平面BED1F.,【證明】(1)連接FG. 因?yàn)锳E=B1G=1,所以BG=A1E=2, 又BG∥A1E, 所以四邊形BGA1E為平行四邊形.則A1G∥BE.,又C1F∥B1G,C1F=B1G, 所以四邊形C1FGB1為平行四邊形. 則FG∥B1C1,FG=B1C1. 又B1C1∥D1A1,B1C1=D1A1, 所以FG∥D1A1,FG=D1A1. 則四邊形A1GFD1為平行四邊形. 則A1G∥D1F,所以D1F∥BE. 故E,B,F,D1四點(diǎn)共面.,(2)因?yàn)镠是B1C1的中點(diǎn),所以B1H= . 又B1G=1, 又 且∠FCB=∠GB1H=90°. 所以△B1HG∽△CBF, 則∠B1GH=∠CFB=∠FBG.所以HG∥FB. 又由(1)知,A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE=B, 所以平面A1GH∥平面BED1F.,【加固訓(xùn)練】 1.已知平面α∥平面β,P是α,β外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)m與α,β分別交于A,C,過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)n與α,β分別交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,則BD的長(zhǎng)為( ) A.16 B.24或 C.14 D.20,【解析】選B.分兩種情況考慮.,如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在兩平面同側(cè)時(shí)，連AB，CD，則AB∥CD， 故 即 解得BD＝ . 同理，如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在兩平面之間時(shí)，可得BD＝24.,2.(2013·南通模擬)如圖所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn). (1)當(dāng) 等于何值時(shí),BC1∥平面AB1D1? (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求 的值.,【解析】(1)如圖所示,取D1為線(xiàn)段A1C1的中點(diǎn), 此時(shí) =1. 連接A1B,交AB1于點(diǎn)O,連接OD1. 由棱柱的性質(zhì)知,四邊形A1ABB1為平行四邊形, 所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn). 在△A1BC1中,點(diǎn)O,D1分別為A1B,A1C1的中點(diǎn), 所以O(shè)D1∥BC1.,又因?yàn)镺D1?平面AB1D1, BC1?平面AB1D1, 所以BC1∥平面AB1D1. 所以當(dāng) =1時(shí),BC1∥平面AB1D1.,(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得 BC1∥D1O, 所以 又由題可知 所以 ＝1，即 ＝1.,【規(guī)范解答8】平行關(guān)系證明的規(guī)范解答 【典例】(14分)(2014·德州模擬)如圖, 幾何體E-ABCD是四棱錐,△ABD為正三角 形,CB=CD,CE⊥BD. (1)求證:BE=DE. (2)若∠BCD=120°,M為線(xiàn)段AE的中點(diǎn),求證:DM∥平面BEC.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)如圖, 取BD中點(diǎn)為O，①連接OC,OE, 則由BC=CD,知CO⊥BD.…………………………………1分,又CE⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC?平面EOC,所以BD⊥平面EOC. 所以BD⊥OE.……………………………3分 又因?yàn)镺是BD中點(diǎn), 所以BE=DE.…………………………………………………4分,(2)如圖,取AB的中點(diǎn)N,連接DM,DN,MN, 因?yàn)镸是AE的中點(diǎn), 所以MN∥BE.…………………………………………………6分,又MN?平面BEC，BE?平面BEC，② 所以MN∥平面BEC.…………………………………………8分 又因?yàn)椤鰽BD為正三角形， 所以∠BDN＝30°， 又CB＝CD，∠BCD＝120°， 因此∠CBD＝30°， 所以DN∥BC.③ ……………………………………………10分,又DN?平面BEC，BC?平面BEC，② 所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N， 故平面DMN∥平面BEC， 又DM?平面DMN， 所以DM∥平面BEC.…………………………………………14分,【點(diǎn)題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓(xùn)練,能力遷移 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分別是PB, PC的中點(diǎn). (1)求證:EF∥平面PAD. (2)求三棱錐E-ABC的體積.,【解析】(1)在△PBC中,E,F分別是PB,PC的中點(diǎn), 所以EF∥BC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以BC∥AD,所以EF∥AD. 又因?yàn)锳D?平面PAD,EF?平面PAD, 所以EF∥平面PAD.,(2)連接AE,AC,EC,過(guò)E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G,如圖所示. 則EG⊥平面ABCD,且EG= PA. 在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2, 所以AP=AB= ,EG= . 所以S△ABC= AB·BC= 所以VE-ABC= S△ABC·EG=,