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第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),【知識梳理】 1.直線與平面垂直 (1)定義:直線l與平面α內(nèi)的_____一條直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直.,任意,(2)判定定理與性質(zhì)定理:,兩條相交直線,平行,2.直線和平面所成的角 (1)定義:平面的一條斜線和_________________所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角. (2)范圍: .,它在平面上的射影,3.平面與平面垂直 (1)二面角的有關概念: ①二面角:從一條直線出發(fā)的___________所組成的圖形叫做 二面角. ②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一點,以該點為垂足, 在兩個半平面內(nèi)分別作_________的兩條射線,這兩條射線所 構成的角叫做二面角的平面角. ③二面角的范圍:_____.,兩個半平面,垂直于棱,(2)平面和平面垂直的定義:兩個平面相交,如果所成的二面角 是_________,就說這兩個平面互相垂直. (3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理:,直二面角,垂線,交線,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: ①直線l不可能和兩個相交平面都垂直; ②當α⊥β時,直線l過α內(nèi)一點且與交線垂直,則l⊥β; ③異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為 ④二面角是指兩個相交平面構成的圖形; ⑤若兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面. 其中正確的是( ) A.①②⑤ B.②③⑤ C.①③④ D.①,【解析】選D.①正確.否則兩個平面應平行. ②錯誤.當該點是交線上的點時,l與β不一定垂直. ③錯誤.異面直線所成角的范圍是 而二面角的范圍是[0,π]. ④錯誤.二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形. ⑤錯誤.若平面α⊥平面β,則平面α內(nèi)的直線l與β可平行,可相交,也可在平面β內(nèi).,2.下列條件中,能判定直線l⊥平面α的是( ) A.l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直 B.l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直 C.l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直 D.l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直 【解析】選D.由直線與平面垂直的定義,可知D正確.,3.已知如圖,六棱錐P-ABCDEF的底面是正六 邊形,PA⊥平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是 ( ) A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF C.CF∥平面PAB D.CF⊥平面PAD,【解析】選D.A中,因為CD∥AF,AF?平面PAF,CD?平面PAF,所以CD∥平面PAF成立; B中,因為ABCDEF為正六邊形,所以DF⊥AF. 又因為PA⊥平面ABCDEF,所以PA⊥DF,又因為PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF成立; C中,因為CF∥AB,AB?平面PAB,CF?平面PAB, 所以CF∥平面PAB; 而D中CF與AD不垂直,故選D.,4.直線a⊥平面α,b∥α,則a與b的位置關系是 . 【解析】由b∥α可得b平行于α內(nèi)的一條直線,設為b′.因為a⊥α,所以a⊥b′,從而a⊥b,但a與b可能相交,也可能異面. 答案:垂直(相交垂直或異面垂直),5.將正方形ABCD沿AC折成直二面角后,∠DAB= . 【解析】如圖,取AC的中點O,連接DO,BO,BD, 則DO⊥AC,BO⊥AC,故∠DOB為二面角的平面 角,從而∠DOB=90°.設正方形邊長為1,則 DO=BO= ,所以DB=1,故△ADB為等邊三角形,所以∠DAB=60°. 答案:60°,考點1 有關垂直關系的判斷 【典例1】(1)(2013·新課標全國卷Ⅱ)已知m,n為異面直線, m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α與β相交,且交線垂直于l D.α與β相交,且交線平行于l,(2)(2013·廣東高考)設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是( ) A.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n B.若α∥β,m?α,n?β,則m∥n C.若m⊥n,m?α,n?β,則α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β,【解題視點】(1)作出與直線m,n平行的直線,證明平面α,β相交,然后可證交線與直線l平行. (2)利用面面平行與垂直的判定與性質(zhì)進行判斷.,【規(guī)范解答】(1)選D.因為m,n為異面直線,m⊥平面α, n⊥平面β.所以α,β相交(否則m,n為平行直線). 設α∩β=l′, 則l′⊥m,l′⊥n, 過空間一點P作m′∥m,n′∥n. 則m′,n′可確定平面γ. 由題意知:l⊥γ,l′⊥γ. 所以l∥l′.,(2)選D.對于選項A,分別在兩個垂直平面內(nèi)的兩條直線平行、相交、異面都可能,但未必垂直;對于選項B,分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線平行、異面都可能;對于選項C,兩個平面分別經(jīng)過兩垂直直線中的一條,不能保證兩個平面垂直;對于選項D,m⊥α,m∥n,則n⊥α;又因為n∥β,則β內(nèi)存在與n平行的直線l,因為n⊥α,則l⊥α,由于l⊥α,l?β,所以α⊥β.,【規(guī)律方法】空間垂直關系的判斷方法 (1)借助幾何圖形來說明線面關系要做到作圖快、準、甚至無需作圖在頭腦中形成印象來判斷. (2)尋找反例,只要存在反例,那么結(jié)論就不正確. (3)反復驗證所有可能的情況,必要時要運用判定或性質(zhì)定理進行簡單說明.,【變式訓練】(2014·衡水模擬)設l是直線,α,β是兩個不同的平面( ) A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,則l⊥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β 【解析】選B.對于A,若l∥α,l∥β,則α,β可能相交;對于B,若l∥α,則平面α內(nèi)必存在一直線m與l平行,則m⊥β,又m?α,故α⊥β.選項C,l可能平行于β或l在平面β內(nèi);選項D,l還可能平行于β或在平面β內(nèi).,【加固訓練】 1.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:β∩γ=l,l∥α,m?α且m⊥γ,那么必有( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α∥β且α⊥γ C.α⊥γ且m∥β D.m∥β且l∥m 【解析】選A.m?α且m⊥γ,則α⊥γ;m⊥γ且l?γ,則l⊥m.,2.(2013·杭州模擬)設a,b,c是三條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則a⊥b的一個充分條件是( ) A.a⊥c,b⊥c B.α⊥β,a?α,b?β C.a⊥α,b∥α D.a⊥α,b⊥α 【解析】選C.對于選項C,在平面α內(nèi)存在c∥b,因為a⊥α,所以a⊥c,故a⊥b;A,B選項中,直線a,b可能是平行直線,相交直線,也可能是異面直線;D選項中一定推出a∥b.,考點2 線面垂直的判定和性質(zhì) 【考情】線面垂直的判定和性質(zhì)的應用是高考立體幾何的命題熱點.試題以解答題形式出現(xiàn),主要考查利用判定定理及性質(zhì)定理證明線線垂直、線面垂直等問題,常與線面平行、線線平行問題、體積問題交匯出現(xiàn),試題難度不大,易得分.,高頻考點 通 關,【典例2】(1)已知ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,下列判斷中正確的是( ) A.AB⊥PC B.AC⊥平面PBD C.BC⊥平面PAB D.平面PBC⊥平面PDC,(2)(2013·重慶高考)如圖,四棱錐P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2, ∠ACB=∠ACD= ①求證:BD⊥平面PAC; ②若側(cè)棱PC上的點F滿足PF=7FC, 求三棱錐P-BDF的體積.,【解題視點】(1)畫出圖形,結(jié)合圖形判斷選項的正誤. (2)①由BC=CD及∠ACB=∠ACD證明BD⊥AC,再由PA⊥底面ABCD, 得PA⊥BD.直接利用線面垂直的判定定理證明; ②利用VP-BCD= ·S△BCD·PA,VF-BCD= S△BCD· PA,VP-BDF= VP-BCD-VF-BCD,可求解三棱錐的體積.,【規(guī)范解答】(1)選C.由題意畫出幾何體 的圖形,如圖,顯然AB⊥PC不正確;AC不垂 直PO,所以AC⊥平面PBD不正確;BC⊥AB, PA⊥平面ABCD,PA⊥BC,PA∩AB=A, 所以BC⊥平面PAB,正確.,(2)①因BC=CD,即△BCD為等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC. 因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD. 從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.,②三棱錐P-BCD的底面BCD的面積 由PA⊥底面ABCD，得 由PF=7FC,得三棱錐F -BCD的高為 故 所以,【通關錦囊】,【特別提醒】在證明線面垂直時,一定要嚴格按照定理要求,不要忽視“平面中的兩條相交直線”這個條件.,【關注題型】,【通關題組】 1.(2014·臺州模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,點M在邊CD上,點F在邊AB上,且DF⊥AM,垂足為E,若將△ADM沿AM折起,使點D位于D′位置,連接D′B,D′C得四棱錐D′-ABCM.,(1)求證:AM⊥D′F. (2)若∠D′EF= ,直線D′F與平面ABCM所成角的大小為 , 求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值.,【解析】(1)因為AM⊥D′E,AM⊥EF, 又因為D′E,EF是平面D′EF內(nèi)兩條相交直線, 所以AM⊥平面D′EF,所以AM⊥D′F. (2)由(1)知AM⊥平面D′EF, 所以平面D′EF⊥平面ABCM,且∠D′EF= , 所以過D′作平面ABCM的垂線,垂足H必在EF上, 所以∠D′FE是D′F與平面ABCM所成角. 因為∠D′EF= ,且∠D′FE= , 所以△D′EF是等邊三角形,,因為D′E=EF即DE=EF,所以△DAF是等腰直角三角形, 設AD=2,所以AF=2,且EF= , 所以四棱錐D′-ABCM的高D′H= . 設直線AD′與平面ABCM所成角為α,則sinα= 所以直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值為,2.(2013·廣東高考)如圖，在邊長為1的等邊△ABC中，D,E分 別是AB,AC邊上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G， 將△ABF沿AF折起，得到如圖所示的三棱錐A-BCF，其中 (1)證明：DE∥平面BCF. (2)證明：CF⊥平面ABF. (3)當 時，求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG．,【解析】(1)在等邊△ABC中，AD=AE，所以 在折疊后 的三棱錐A-BCF中也成立，所以DE∥BC.因為DE?平面BCF， BC?平面BCF，所以DE∥平面BCF. (2)在等邊△ABC中，F(xiàn)是BC的中點， 所以AF⊥FC①， 因為在三棱錐A-BCF中， 所以BC2=BF2+CF2,CF⊥BF②. 因為BF∩AF=F，所以CF⊥平面ABF.,(3)由(1)可知GE∥CF，結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG.,【加固訓練】1.(2014·韶關模擬)已知△ABC的三邊長分別為AB=5,BC=4,AC=3,M是AB邊上的點,P是平面ABC外一點. 給出下列四個命題: ①若PA⊥平面ABC,則三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形; ②若PM⊥平面ABC,且M是AB邊的中點,則有PA=PB=PC; ③若PC=5,PC⊥平面ABC,則△PCM面積的最小值為 ;,④若PC=5,P在平面ABC上的射影是△ABC內(nèi)切圓的圓心,則點P 到平面ABC的距離為 . 其中正確命題的序號是 .(把你認為正確命題的序號 都填上),【解析】由題知AC⊥BC,對于①,若PA⊥平面ABC,則PA⊥BC, 又知PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,因此該三棱錐 P-ABC的四個面均為直角三角形,①正確;對于②,由已知得M為 △ABC的外心,所以MA=MB=MC.因為PM⊥平面ABC,則PM⊥MA, PM⊥MB,PM⊥MC,由三角形全等可知PA=PB=PC,故②正確;對于 ③,要使△PCM的面積最小,只需CM最短,在Rt△ABC中,(CM)min,= ,所以(S△PCM)min= × ×5=6,故③錯誤;對于④,設P點在 平面ABC內(nèi)的射影為O,且O為△ABC的內(nèi)心,由平面幾何知識得內(nèi) 切圓半徑為r=1,且OC= ,在Rt△POC中,PO= 所以點P到平面ABC的距離為 ,故④正確. 答案:①②④,2.(2014·鄭州模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB＝AA1，∠CAB＝ (1)證明：CB1⊥BA1. (2)已知AB＝2， 求三棱錐C1-ABA1的體積．,【解析】(1)如圖所示，連接AB1. 因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， ∠CAB＝ 所以AC⊥平面ABB1A1， 故AC⊥BA1. 又因為AB＝AA1， 所以四邊形ABB1A1是正方形，所以BA1⊥AB1. 又CA∩AB1＝A， 所以BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.,(2)因為AB＝AA1＝2，BC＝ 所以AC＝A1C1＝1. 由(1)知，A1C1⊥平面ABA1， 所以,3.如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點, 點F為線段CD上的一點,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使 A1F⊥CD,如圖(2).,(1)求證:DE∥平面A1CB. (2)求證:A1F⊥BE. (3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由. 【解析】(1)因為D,E分別為AC,AB的中點, 所以DE∥BC. 又因為DE?平面A1CB,BC?平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB.,(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D,DE⊥CD,A1D∩CD=D, 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F?平面A1DC,所以DE⊥A1F. 又因為A1F⊥CD,且DE∩CD=D,所以A1F⊥平面BCDE, 所以A1F⊥BE.,(3)線段A1B上存在點Q,使A1C⊥平面DEQ. 理由如下:如圖,分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQ∥BC. 又因為DE∥BC, 所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C.,又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點, 所以A1C⊥DP.又DE∩DP=D, 所以A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點Q,使得A1C⊥平面DEQ.,考點3 面面垂直的判定和性質(zhì) 【典例3】(2013·山東高考)如圖,四棱錐 P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD, E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點. (1)求證:CE∥平面PAD. (2)求證:平面EFG⊥平面EMN.,【解題視點】(1)本題考查線面平行的證法,可利用線線平行,也可利用面面平行來證明線面平行. (2)本題考查了面面垂直的判定,在平面EMN中找一條直線MN,確定MN⊥平面EFG即可.,【規(guī)范解答】(1)方法一:取PA的中點H,連接EH,DH. 因為E為PB的中點, 所以EH∥AB,EH= AB. 又AB∥CD,CD= AB, 所以EH∥CD,EH=CD. 因此四邊形DCEH是平行四邊形. 所以CE∥DH.又DH?平面PAD,CE?平面PAD, 因此CE∥平面PAD .,方法二:連接CF.因為F為AB的中點, 所以AF= AB.又CD = AB,所以AF=CD. 又AF∥CD,所以四邊形AFCD為平行四邊形. 因此CF∥AD. 又CF?平面PAD,AD?平面PAD,所以CF∥平面PAD. 因為E,F分別為PB,AB的中點,所以EF∥PA.又EF?平面PAD,AP?平面PAD, 所以EF∥平面PAD.因為CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF,所以CE∥平面PAD.,(2)因為E,F分別為PB,AB的中點, 所以EF∥PA.又AB⊥PA . 所以AB⊥EF . 同理可證AB⊥FG. 又EF∩FG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG, 因此AB⊥平面EFG,,又M,N分別為PD,PC的中點, 所以MN∥CD .又AB∥CD, 所以MN∥AB, 因此MN⊥平面EFG,又MN?平面EMN, 所以平面EFG⊥平面EMN.,【易錯警示】關注面面垂直的條件 本例中(2)證明平面EFG⊥平面EMN,要關注平面與平面垂直判定定理的兩個條件,即MN⊥平面EFG,又MN?平面EMN,避免步驟不全導致失誤.,【互動探究】若本例條件不變,證明:平面EMN⊥平面PAC. 【證明】因為E,F為PB,AB的中點,則EF∥PA, 又因為G為BC的中點,則GF∥AC,而GF∩EF=F,PA∩CA=A,所以平面EFG∥平面PAC. 因為平面EFG⊥平面EMN. 所以平面EMN⊥平面PAC.,【規(guī)律方法】面面垂直的證明方法 (1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決.,提醒:兩平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面.這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù).運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.,【變式訓練】在如圖所示的幾何體中,四邊形 ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E,G,F 分別為MB,PB,PC的中點,且AD=PD=2MA. (1)求證:平面EFG⊥平面PDC. (2)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.,【解析】(1)由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA, 得PD⊥平面ABCD. 又BC?平面ABCD,所以PD⊥BC. 因為四邊形ABCD為正方形, 所以BC⊥DC. 又PD∩DC=D,因此BC⊥平面PDC. 在△PBC中,因為G,F分別為PB,PC的中點, 所以GF∥BC,因此GF⊥平面PDC. 又GF?平面EFG,所以平面EFG⊥平面PDC.,(2)因為PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設MA＝1， 則PD＝AD＝2， 所以 由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA， 所以DA即為點P到平面MAB的距離， 所以VP-MAB∶VP-ABCD＝1∶4.,【加固訓練】 1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分別 是AP,AD的中點. 求證:(1)直線EF∥平面PCD. (2)平面BEF⊥平面PAD.,【證明】(1)在△PAD中,因為E,F分別為AP,AD的中點, 所以EF∥PD. 又因為EF?平面PCD,PD?平面PCD, 所以直線EF∥平面PCD.,(2)連接BD.因為AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD為正三角形. 因為F是AD的中點,所以BF⊥AD. 因為平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD. 又因為BF?平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PAD.,2.如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°. (1)證明:平面ADB⊥平面BDC. (2)若BD=1,求三棱錐D-ABC的表面積.,【解析】(1)因為折起前AD是BC邊上的高, 所以當△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又DB∩DC=D,所以AD⊥平面BDC, 又因為AD?平面ADB. 所以平面ADB⊥平面BDC.,(2)由(1)知，DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA, 因為DB=DA=DC=1， 所以AB=BC=CA= ∠ABC=60°，,3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD 為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點. (1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD. (2)點M在線段PC上,PM=tPC,試確定t的 值,使PA∥平面MQB.,【解析】(1)如圖,連接BD,因為四邊形ABCD為菱形, ∠BAD=60°, 所以△ABD為正三角形. 又因為Q為AD的中點, 所以AD⊥BQ. 因為PA =PD,Q為AD的中點,所以AD⊥PQ. 又BQ∩PQ=Q,所以AD⊥平面PQB. 又AD?平面PAD, 所以平面PQB⊥平面PAD.,(2)當 時，PA∥平面MQB. 連接AC交BQ于點N，連接MN. 由AQ∥BC可得，△ANQ∽△CNB，所以 因為PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN， 所以PA∥MN. 所以 即 所以,考點4 線面角與二面角的求法 【典例4】(2014·寧波模擬)如圖所示,三棱 柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且 側(cè)棱垂直于底面,側(cè)棱長是 ,D是AC的中點. (1)求證:B1C∥平面A1BD. (2)求二面角A1-BD-A的大小. (3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.,【解題視點】(1)三棱柱的側(cè)面是矩形,對角線A1B,AB1的交點與點D的連線平行于B1C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形,D為AC的中點,由側(cè)面與底面垂直,可以得到BD⊥平面ACC1A1,BD⊥ A1D,∠A1DA就是二面角的平面角.(3)根據(jù)(2)得平面A1BD⊥平面A1AD,只要過點A作A1D的垂線即可得到點A在平面A1BD內(nèi)的射影,即得到了線面角.,【規(guī)范解答】(1)設AB1與A1B相交于點P,連接PD,則P為AB1的中點,因為D為AC的中點,所以PD∥B1C. 又因為PD?平面A1BD,B1C?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.,(2)由題知,平面ACC1A1⊥平面ABC, 平面ACC1A1∩平面ABC=AC,又因為BD⊥AC,則BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥A1D,所以∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角. 因為 則 即二面角A1-BD-A的大小是,(3)作AM⊥A1D于M.由(2)，易知BD⊥平面ACC1A1， 因為AM?平面ACC1A1，所以BD⊥AM. 因為A1D∩BD=D，所以AM⊥平面A1BD. 連接MP，易知∠APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角. 因為AA1= ，AD=1，所以在Rt△AA1D中，∠A1DA= ， 所以AM=1×sin 60°= 所以sin∠APM= 所以直線AB1與平面A1BD所成 的角的正弦值為 .,【規(guī)律方法】 1.求空間角的三個步驟 (1)找:根據(jù)圖形找出相關的線面角或二面角. (2)證:證明找出的角即為所求的角. (3)算:根據(jù)題目中的數(shù)據(jù),通過解三角形求出所求角. 2.空間角的求法 (1)線面角的求法:找出斜線在平面上的射影,作出垂線,確定垂足.,(2)二面角的求法: ①直接法:根據(jù)概念直接作,如二面角的棱是兩 個等腰三角形的公共底邊,就可以取棱的中點; ②垂線法:如圖,過二面角的一個半平面內(nèi)一點 A作另一個半平面的垂線,再從垂足B向二面角 的棱作垂線,垂足為C,這樣二面角的棱就垂直于 這兩個垂線所確定的平面ABC,連接AC,則AC也與二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其補角.,【變式訓練】(2014·海口模擬)如圖,在 四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA, BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD, (1)求證:平面PED⊥平面PAC. (2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ,求二面角 A-PC-D的平面角的余弦值.,【解析】(1)如圖所示,取AD的中點F, 連接BF,則FD BE, 所以四邊形FBED是平行四邊形,所以 FB∥ED. 因為Rt△BAF和Rt△CBA中, 所以Rt△BAF∽Rt△CBA,易知BF⊥AC,所以ED⊥AC.,又因為平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA, 所以PA⊥平面ABCD,ED?平面ABCD, 所以PA⊥ED,因為PA∩AC=A, 所以ED⊥平面PAC,因為ED?平面PED, 所以平面PED⊥平面PAC.,(2)設ED交AC于G，連接PG， 則∠EPG是直線PE與平面PAC所成的角.設BE=1， 由△AGD∽△CGE，知 因為AB=AD=2,所以 因為sin∠EPG= 所以PE=3,AE= ,PA= 作GH⊥PC于H，連接HD，由PC⊥DE,PC⊥平面HDG， 所以PC⊥HD，所以∠GHD是二面角A-PC-D的平面角.,因為△PCA∽△GCH,所以 則 得cos∠GHD= ,即二面角A-PC-D的平面角的余弦值為,【加固訓練】 1.正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為 ( ),【解析】選D.BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所 成的角,在三棱錐D-ACD1中,由三條側(cè)棱兩兩垂直得點D在底 面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的中心H,連接D1H,DH,則 ∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角,設正方體棱長為a,則 cos∠DD1H=,2.在三棱錐P-ABC中,PC,AC,BC兩兩垂直, BC=PC=1,AC=2,E,F,G分別是AB,AC,AP的 中點. (1)證明:平面GFE∥平面PCB. (2)求二面角B-AP-C的正切值.,【解析】(1)因為G,E,F分別為AP,AB,AC的中點,所以GF∥PC,EF∥BC, 又GF?平面PBC,EF?平面PBC, PC?平面PBC,BC?平面PBC, 所以GF∥平面PBC,EF∥平面PBC, 又GF∩EF=F,所以平面GFE∥平面PCB.,(2)過C作CH⊥AP交AP于點H,連接BH, 因為PC,AC,BC兩兩垂直,所以BC⊥平面APC, 所以BC⊥AP,又CH∩BC=C,所以AP⊥平面BHC, 所以AP⊥BH,所以∠CHB就是二面角B-AP-C的平面角. 在Rt△PAC中,CH= 在Rt△BHC中,tan∠CHB= 故二面角B-AP-C的正切值為 .,3.(2014·哈爾濱模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分別為PC，CD的中點，DE=EC. (1)求證：平面ABE⊥平面BEF. (2)設PA=a,若平面EBD與平面ABCD所成 銳二面角θ∈ 求a的取值范圍.,【解析】(1)因為AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F為CD的中點， 所以四邊形ABFD為矩形，AB⊥BF. 因為DE=EC，所以DC⊥EF,又AB∥CD,所以AB⊥EF. 因為BF∩EF=F,所以AB⊥平面BEF，AB?平面ABE， 所以平面ABE⊥平面BEF.,(2)連AC交BF于點K,連接AF,四邊 形ABCF為平行四邊形,所以K為AC 的中點,連EK,則EK∥PA,EK⊥平 面ABCD,BD⊥EK,作KH⊥BD于H點, 所以BD⊥平面EKH,連EH,則BD⊥EH,∠EHK即為θ. 在Rt△EHK中， 解得,【規(guī)范解答9】垂直關系的證明與求解 【典例】(14分)(2013·浙江高考改編) 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, AB=BC=2,AD=CD= ,PA= ,∠ABC=120°, G為線段PC上的點. (1)證明:BD⊥平面PAC. (2)若G為PC的中點,求DG的長. (3)若G滿足PC⊥平面BGD,求 的值.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)設點O為AC，BD的交點， 由AB=BC,AD=CD，得BD是線段AC的中垂線. 所以O為AC的中點，BD⊥AC. ……………………2分 又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PA⊥BD. 又AC∩PA=A①， 所以BD⊥平面PAC. ……………………………………4分,(2)連接OG，由(1)可知 OD⊥平面PAC②，因為OG?平面PAC, 所以OD⊥OG, 由題意得 在△ABC中，AC= ……6分 所以 在Rt△OCD中， 在Rt△OGD中， ……………9分,(3)因為PC⊥平面BGD，OG?平面BGD， 所以PC⊥OG， 在Rt△PAC中，得 因為△GOC∽△APC，所以 ③, ………12分 所以 從而 所以 ………………………………………14分,【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓練,能力遷移 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD, AB∥CD,PD=AD,E是PB的中點,F是DC上的點, 且DF= AB,PH為△PAD中AD邊上的高. (1)證明:PH⊥平面ABCD. (2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱錐E-BCF的體積. (3)證明:EF⊥平面PAB.,【解析】(1)AB⊥平面PAD，PH?平面PAD?PH⊥AB， 又PH⊥AD,AD，AB?平面ABCD， AD∩AB=A?PH⊥平面ABCD. (2)E是PB的中點?點E到平面BCF的距離 所以三棱錐E-BCF的體積,(3)取PA的中點為G，連接DG,EG. PD=AD?DG⊥PA， 又AB⊥平面PAD，AB?平面PAB?平面PAD⊥平面PAB， 又平面PAD∩平面PAB=PA， DG?平面PAD?DG⊥平面PAB， 點E,G是棱PB,PA的中點?EG AB， 又DF AB?EG DF?DG∥EF， 得：EF⊥平面PAB.,