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第八章 平面解析幾何 第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程,【知識梳理】 1.表示直線方向的兩個量 (1)直線的傾斜角: ①定義:,相交,x軸,平行,重合,0°,②范圍:[0,π). (2)直線的斜率: ①定義:若直線的傾斜角θ不是90°,則其斜率k=______; ②計算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)確定的直線不垂直于x軸, 則k=______________.,tanθ,2.兩直線的平行、垂直與其斜率的關系,k1=k2,k1k2=-1,3.直線方程的五種形式,y-y1=k(x-x1),y=kx+b,Ax+By+C=0,(A2+B2≠0),【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: ①根據直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置; ②坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率; ③當直線l1和l2斜率都存在時,若k1=k2,則l1∥l2; ④在平面直角坐標系下,任何直線都有點斜式方程; ⑤任何直線方程都能寫成一般形式. 其中正確的是( ) A.①② B.①⑤ C.②③ D.③④,【解析】選B.①正確.直線的傾斜角僅反映直線相對于x軸的傾斜程度,不能確定直線的位置.②錯誤.當直線的傾斜角為90°時,其斜率不存在.③錯誤.當k1=k2時,兩直線可能平行,也可能重合.④錯誤.當直線與x軸垂直(斜率不存在)時,不能用點斜式方程表示.⑤正確.無論依據哪種形式求解,最后直線方程都能寫成一般形式.,2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,則參數m滿足的條件是( ) A.m≠ B.m≠0 C.m≠0且m≠1 D.m≠1 【解析】選D.由 得m=1, 故當m≠1時,方程表示一條直線.,3.斜率為2的直線經過A(3,5),B(a,7),C(-1,b)三點,則a,b的值分別為 和 . 【解析】由已知條件得 解得a=4; 解得b=-3. 答案:4 -3,4.若圖中直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則k1,k2,k3的大小關系為 .,【解析】由斜率的定義及圖象可知:k10,k30,再由正切函數的單調性知:k3k2,因此k1k3k2. 答案:k1k3k2,5.若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直,則實數m= . 【思路點撥】利用直線與直線垂直的充要條件:A1A2+B1B2=0來列方程求解. 【解析】由1×2-2m=0可得m=1. 答案:1,考點1 直線的傾斜角與斜率 【典例1】(1)直線x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是( ) (2)已知點A(2,-3),B(-3,-2),直線l過點P(1,1)且與線段AB有交點,則直線l的斜率k的取值范圍為 .,【解題視點】(1)先求出斜率,再求傾斜角的范圍. (2)先確定直線PA,PB的斜率,再數形結合求解;或先寫出直線l的方程,再依據A,B兩點在直線l的不同側(或A,B之一在直線l上)求解.,【規(guī)范解答】 (1)選B.因為直線方程為x+(a2+1)y+1=0,所以直線的斜率 故k∈[-1,0),由正切函數圖象知傾斜角 (2)方法一:因為A(2,-3), B(-3,-2),P(1,1), 所以,如圖所示:,因此,直線l的斜率k的取值范圍為k≤-4或 或k不存在.,方法二:當直線l的斜率k不存在時,方程為x=1,此時符合題意; 當直線l的斜率k存在時,依題設知,直線l的方程為y-1=k(x-1),即kx-y+1-k=0, 若直線l與線段AB有交點,則A,B兩點在直線l的異側(或A,B之一在直線l上), 故(2k+4-k)·(-3k+3-k)≤0,,即(k+4)(4k-3)≥0,解得k≤-4或 綜合可知:k≤-4或 或k不存在. 答案:k≤-4或 或k不存在,【互動探究】若本例(2)中的條件“直線l過點P(1,1)且與線段AB有交點”改為“直線l過點P(1,1)且與線段AB沒有交點”,則k的取值范圍如何? 【解析】由本例(2)可知k的取值范圍為,【規(guī)律方法】 1.已知直線方程求直線傾斜角范圍的一般步驟 (1)求出斜率k的取值范圍(若斜率不存在,傾斜角為90°). (2)利用正切函數的單調性,借助圖象或單位圓確定傾斜角的取值范圍.,2.直線的斜率k與傾斜角α之間的關系,【變式訓練】 1.直線l經過A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)兩點,則直線l的傾斜角α的取值范圍是( ) 【解析】選C.直線l的斜率k=tanα= 所以,2.直線x·sinα+y+2=0的傾斜角β的取值范圍為 . 【解析】因為直線x·sinα+y+2=0的斜率k=-sinα,所以 -1≤k≤1,當0≤k≤1時,直線傾斜角β的范圍為 當-1≤k0時,直線傾斜角β的范圍為 綜上可知:該直線傾斜角β的范圍是 答案:,【加固訓練】 1.已知直線l的傾斜角α滿足條件sinα+cosα= 則l的斜率 為( ),【解析】選C.由sinα+cosα= 得sinαcosα= 因為0°≤α0,cosα0, 所以90°α180°. 聯立方程組 解得 所以tanα=,2.若直線l與直線y=1,x=7分別交于點P,Q,且線段PQ的中點坐標 為(1,-1),則直線l的斜率為( ) 【解析】選B.依題意,可設P(x,1),Q(7,y),又因為線段PQ的中 點坐標為(1,-1),所以2=x+7,-2=1+y.解得x=-5,y=-3.所以 P(-5,1),Q(7,-3),直線l的斜率為,考點2 兩條直線平行、垂直的關系 【典例2】(1)若直線l1:ax+2y-6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,則a= . (2)(2014·臺州模擬)已知直線l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,則k的值是 .,【解題視點】(1)由兩直線的斜率相等,在y軸上的截距不等即可求解. (2)由兩直線垂直,則兩直線的斜率之積等于-1或一條直線的斜率等于0,另一條直線的斜率不存在,求解;本題還可以利用A1A2+B1B2=0來解決.,【規(guī)范解答】(1)直線l1:ax+2y-6=0的斜率為 在y軸上的截 距為3.又因為直線l1與直線l2平行,所以直線l2:x+(a-1)y+a2- 1=0的斜率存在且等于 在y軸上的截距為-(a+1).由兩直 線平行得, 且3≠-a-1,解得a=2或a=-1. 答案:2或-1,(2)方法一:當5-k=0,即k=5時,l1:2x+1=0;l2:4x-2y+3=0.此時l1 與l2不垂直. 當5-k≠0時,k1= k2=k-3,因為l1⊥l2,所以 ·(k-3)=-1, 解得:k=1或k=4.綜上可知k=1或k=4. 方法二:因為直線l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0與直線l2:2(k-3)x- 2y+3=0互相垂直, 所以(k-3)·2(k-3)+(5-k)·(-2)=0, 解上式得:k=1或k=4. 答案:1或4,【易錯警示】由垂直求參數的易錯點 兩直線垂直時,兩直線斜率的積等于-1或一條直線的斜率等于0,另一條直線的斜率不存在,解題時容易忽視第二種情況.,【規(guī)律方法】兩直線平行、垂直的判定方法 (1)已知兩直線的斜率存在: ①兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等; ②兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于-1. 提醒:當直線斜率不確定時,要注意斜率不存在的情況.,(2)已知兩直線的一般方程: 兩直線方程l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0中系數A1,B1,C1,A2,B2,C2與垂直、平行的關系: A1A2+B1B2=0?l1⊥l2; A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0?l1∥l2.,【變式訓練】 1.直線l1的斜率為2,l1∥l2,直線l2過點(-1,1)且與y軸交于點P,則點P的坐標為( ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3) 【解析】選D.因為l1∥l2,且l1的斜率為2,所以l2的斜率為2,又因為l2過點(-1,1),所以l2的方程為:y-1=2(x+1),即y=2x+3,令x=0得y=3,所以點P的坐標為(0,3).,2.已知直線l的傾斜角為 直線l1經過點A(3,2),B(a,-1),且 l1與l垂直,直線l2:2x+by+1=0與直線l1平行,則a+b等于( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 【解析】選B.依題意得l的斜率為-1,因為l1與l垂直,所以l1的 斜率為1,又因為直線l1經過點A(3,2),B(a,-1),所以kAB= 解得:a=0.由直線l2與直線l1平行,得 b=-2,所 以a+b=-2.,【加固訓練】 已知兩直線l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,試確定m,n的值,使 (1)l1與l2相交于點P(m,-1). (2)l1∥l2. (3)l1⊥l2,且l1在y軸上的截距為-1.,【解析】(1)由題意得 解得 即m=1,n=7時,l1與l2相交于點P(m,-1). (2)因為l1∥l2,所以 解得 或 即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2時,l1∥l2. (3)當且僅當2m+8m=0,即m=0時,l1⊥l2. 又因為- =-1,所以n=8. 即m=0,n=8時l1⊥l2,且l1在y軸上的截距為-1.,考點3 直線的方程 【考情】直線方程常與直線垂直、平行、距離等知識交匯考查, 考查直線方程的求法以及直線與它們的位置關系等. 【典例3】(1)(2014·寧波模擬)已知直線l過點(-1,2)且與直 線 垂直,則直線l的方程是( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0,高頻考點 通 關,(2)(2014·舟山模擬)直線l經過點P(3,2),且與x,y軸的正半軸交于A(a,0),B(0,b)兩點,當△AOB的面積最小(O為坐標原點)時,求直線l的方程.,【解題視點】(1)由兩直線垂直可設出所求直線方程,再由直線過點(-1,2)即可確定直線方程. (2)可設直線方程的截距式,由過點P(3,2)求出關于a,b的等式,利用基本不等式求解;也可以用a表示b,由面積解析式結合基本不等式求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.設與直線 垂直的直線l的方程 為3x+2y+m=0.把點(-1,2)代入可得-3+4+m=0. 所以m=-1,故所求的直線方程為3x+2y-1=0. (2)方法一:設直線方程為 點P(3,2)代入得 得ab≥24. 從而 當且僅當 時等號成立,這時 則所求直線方程為2x+3y-12=0.,方法二:由題意設直線方程為 把點P(3,2)代入得 解得 則 當且僅當 即a=6時等號成立,這時b=4, 從而所求直線方程為 即2x+3y-12=0.,【通關錦囊】,【特別提醒】求直線方程時,要注意直線的斜率不存在的情況或斜率為零的情況.,【通關題組】 1.(2014·溫州模擬)過點(1,0)且與直線x-2y-2=0垂直的直線方程是( ) A.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 C.x-2y-1=0 D.2x+y-1=0 【解析】選A.因為所求直線與直線x-2y-2=0垂直,所以可設所求直線為2x+y+c=0,又因為直線過點(1,0),所以2×1+0+c=0, c=-2.因此,所求直線為2x+y-2=0.,2.(2014·嘉興模擬)已知A(-1,1),B(3,1),C(1,3),則△ABC的邊BC上的高所在直線方程為( ) A.x+y=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y=0 【解析】選B.因為B(3,1),C(1,3), 所以 故BC邊上的高所在直線的斜率k=1,又高線經過點A,所以其直線方程為x-y+2=0.,3.(2014·杭州模擬)在同一直角坐標系中,表示直線y=ax與y=x+a正確的是( ),【解析】選C.直線y=ax的斜率與直線y=x+a在y軸上的截距同號,且y=x+a斜率為1,故選C.,4.(2014·臺州模擬)直線ax+by+c=0同時要經過第一、二、四象限,則a,b,c應滿足( ) A.ab0,bc0,bc0 C.ab0 D.ab0,bc0,【解析】選A.直線方程變形為 如圖,因為直線同時要經過第一、二、四象限, 所以 所以,5.(2014·長沙模擬)已知A(3,0),B(0,4),直線AB上一動點 P(x,y),則xy的最大值是 . 【解析】直線AB的方程為 則 所以 答案:3,【加固訓練】 1.(2013·蘭州模擬)已知點A(1,-2),B(m,2),且線段AB的垂直 平分線的方程是x+2y-2=0,則實數m的值是( ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 【解析】選C.由已知AB的垂直平分線方程為x+2y-2=0,所以 kAB=2,即 得m=3.,2.(2013·銀川模擬)經過點P(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為( ) A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0 C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0,【解析】選B.設直線的方程為 則有 所以 當且僅當 即a=3,b=6時取“=”. 所以直線方程為2x+y-6=0.,3.(2013·煙臺模擬)直線Ax+By-1=0在y軸上的截距是-1,而且 它的傾斜角是直線 的傾斜角的2倍,則( ) A. B=1 B. B=-1 C. B=-1 D. B=1 【解析】選B.將直線Ax+By-1=0化成斜截式 因為 所以B=-1,故排除A,D;設 的傾斜角為α,則 所以α=60°.又所求直線的傾斜角是直線 的傾斜角的2倍,故傾斜角為120°,解得 排除C.,4.(2013·貴陽模擬)已知射線l:y=4x(x1)和點M(6,4),在射線l上求一點N,使直線MN與l及x軸圍成的三角形面積S最小.,【解析】設N(x0,4x0)(x01),則直線MN的方程為(4x0-4)(x-6) -(x0-6)(y-4)=0.令y=0得 所以S= ≥ 當且僅當 即x0=2時取 等號,所以當N為(2,8)時,三角形面積S最小.,【易錯誤區(qū)17】由直線位置關系求參數問題的易錯點 【典例】(2013·遼寧高考)已知點O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB為直角三角形,則必有( ),【解析】選C.由題意,點O(0,0),A(0,b),B(a,a3)不能共線, 故a≠0.從而點B(a,a3)不在坐標軸上. 當點A(0,b)為直角頂點時①，OA⊥AB，此時b=a3； 當點B(a,a3)為直角頂點時①，OB⊥AB， 此時 由O(0,0)，A(0,b)，B(a,a3)得 =(a,a3), =(a,a3－b), =a2+a3(a3－b)=0，化簡得 綜上可知，b=a3或b=a3+ ②，故(b－a3)(b－a3－ )=0.,【誤區(qū)警示】 1.①處未考慮A,B哪個為直角頂點,只選擇其一,未進行分類討論,則會造成漏解. 2.②處對以上的討論分不清是“或”,還是“且”,易造成誤選.,【規(guī)避策略】 1.對于三角形為直角三角形的問題,若直角不確定,應分情況依次討論,最后求其并集即可. 2.在分類討論求解,最后寫出所有情況時,一定要依具體問題寫出最后結果,注意是并集還是交集.,【類題試解】已知直線l1:3x+2ay-5=0,l2:(3a-1)x-ay-2=0,則 使l1∥l2的a的值為 . 【解析】當直線斜率均不存在,即a=0時,有l(wèi)1:3x-5=0, l2:-x-2=0,符合l1∥l2; 當直線斜率存在時,因為l1∥l2,所以 解得: 綜上可知:使l1∥l2的a的值為0或 答案:0或,【創(chuàng)新體驗】以直線為載體的創(chuàng)新問題 【典例】(2013·四川高考)設P1,P2,…,Pn為平面α內的n個點,在平面α內的所有點中,若點P到點P1,P2,…,Pn的距離之和最小,則稱點P為點P1,P2,…,Pn的一個“中位點”.例如,線段AB上的任意點都是端點A,B的中位點.現有下列命題:,①若三個點A,B,C共線,C在線AB上,則C是A,B,C的中位點; ②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點; ③若四個點A,B,C,D共線,則它們的中位點存在且唯一; ④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點. 其中的真命題是 .(寫出所有真命題的序號),【審題視點】,【解析】根據“中位點”的定義可知:①若A,B,C三個點共線,C在線AB上,則C是A,B,C的中位點,正確.②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點,錯誤.應該是直角三角形斜邊上的高線的垂足.③若四個點A,B,C,D共線,則它們的中位點存在但是并不唯一,故錯誤.④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點,正確. 答案:①④,【創(chuàng)新點撥】 1.高考考情:以直線為背景的新定義問題,是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點,考查頻次較高. 2.命題形式:常見的有新概念、新法則、新運算等.,【備考指導】 1.準確轉化:解決新定義問題時,一定要讀懂新定義的本質含義,緊扣題目所給定義轉化成題目要求的形式,切忌同已有概念或定義相混淆. 2.方法選取:對于新定義問題,可結合特例法、篩選法等方法,并注意運用與直線有關知識求解,要注重培養(yǎng)學生領悟新信息的能力.,【新題快遞】 在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數,就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是 (寫出所有正確命題的編號). ①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經過任何整點; ②如果k與b都是無理數,則直線y=kx+b不經過任何整點; ③直線l經過無窮多個整點,當且僅當l經過兩個不同的整點; ④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數; ⑤存在恰經過一個整點的直線.,【思路點撥】考查數形結合，空間想象能力，特例的取得與一 般性的檢驗.根據命題的特點選擇合適的情形. 【解析】①例如y= ；②如y= 過整點(1，0)； ③正確，可以驗證；④如y= 不經過無窮多個整點；⑤如 直線y= x，只經過整點(0，0). 答案：①③⑤,