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熱點(diǎn)專題突破系列(一) 函數(shù)的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)1 函數(shù)及其表示 【典例1】(1)(2014·溫州模擬)函數(shù)y= 的定義 域?yàn)? . (2)(2014·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)= 則f(9)+ f(0)= .,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)解析式,構(gòu)建使解析式有意義的不等式 組求解. (2)根據(jù)0,9所在的區(qū)間代入求值. 【規(guī)范解答】(1)根據(jù)已知得 解得,-1x1,所以函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1). 答案:(-1,1) (2)f(9)+f(0)=log39+20=2+1=3. 答案:3,【互動(dòng)探究】若本例題(2)中條件不變,而已知f(a)= , 則a的值如何? 【解析】當(dāng)a0時(shí),f(a)=log3a= ,得a= 當(dāng)a≤0時(shí),f(a)=2a= =2-2,得a=-2, 綜上可知a=-2或 .,【規(guī)律方法】 1.根據(jù)函數(shù)解析式求定義域的關(guān)鍵 根據(jù)解析式構(gòu)建使每個(gè)式子都有意義的不等式(組). 2.求函數(shù)值域的常用方法 (1)圖象法.(2)單調(diào)性法.(3)基本不等式法.,3.確定函數(shù)值的方法 根據(jù)所給對(duì)應(yīng)關(guān)系,代入求值. 4.應(yīng)用函數(shù)值求參數(shù)的值或取值范圍的方法 根據(jù)所給函數(shù)及性質(zhì)構(gòu)建待求參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.,【變式訓(xùn)練】(2014·嘉興模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)任 意x1,x2∈D,當(dāng)x1x2時(shí)都有f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上 為非減函數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上為非減函數(shù),且滿足以下三 個(gè)條件:①f(0)=0;② ③f(1-x)=1-f(x).則 等于( ),【解析】選A.因?yàn)閒(0)=0,f(1-x)=1-f(x), 所以f(1)=1. 又 所以 又f(1-x)=1-f(x),所以 因?yàn)?所以,而 所以 即 所以,【加固訓(xùn)練】(2014·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶 函數(shù),且x≥0時(shí),f(x)= ,函數(shù)f(x)的值域?yàn)榧螦. (1)求f(-1)的值. (2)設(shè)函數(shù)g(x)= 的定義域?yàn)榧螧,若A?B, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù), 所以f(-1)=f(1)= (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù), 所以函數(shù)f(x)的值域A即為x≥0時(shí),f(x)的取值范圍. 當(dāng)x≥0時(shí),0 ≤1, 故函數(shù)f(x)的值域A=(0,1]. 因?yàn)間(x)=,所以定義域B={x|-x2+(a-1)x+a≥0}, 由-x2+(a-1)x+a≥0得 x2-(a-1)x-a≤0, 即(x-a)(x+1)≤0, 因?yàn)锳?B,所以B=[-1,a],且a≥1, 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}.,考點(diǎn)2 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【典例2】(1)(2014·天津模擬)函數(shù)y= ,x∈(-π,0)∪ (0,π)的圖象可能是下列圖象中的( ),(2)(2014·紹興模擬)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=a+ 是奇函數(shù). ①求a的值; ②判斷f(x)的單調(diào)性并證明; ③若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立, 求k的取值范圍.,【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性,及函數(shù)值范圍求解. (2)①由f(x)+f(-x)=0求解或由f(0)=0求解. ②根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明. ③先利用奇偶性將不等式變?yōu)閒(a)f(b)的形式,再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為a與b的大小關(guān)系進(jìn)而求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.y= 是偶函數(shù),故排除A, 又x∈(0,π)時(shí),xsinx,即 1,排除B,D,故選C. (2)①方法一:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽, 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù), 所以f(x)+f(-x)=0,,方法二:由f(x)是R上的奇函數(shù), 所以f(0)=0,故a= 再由f(x)= 通過(guò)驗(yàn)證f(x)+f(-x)=0來(lái)確定a= 的合理性.,②由①知f(x)= 易知f(x)在R上為減函數(shù). 證明:由①知f(x)= 設(shè)x1f(x2), 所以f(x)在R上為減函數(shù).,③因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)-2t2+k, 即對(duì)一切t∈R有3t2-2t-k0, 從而Δ=4+12k0,解得k,【規(guī)律方法】 1.知式選圖的思路 (1)從定義域判斷圖象的左、右位置. (2)從值域判斷圖象的上、下位置. (3)從奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性. (4)從單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì). (5)從周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù). 提醒:當(dāng)選項(xiàng)無(wú)法排除時(shí),代特殊值或從某些量上尋找突破口.,2.圖象的應(yīng)用 根據(jù)函數(shù)的圖象,可研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值),比較函數(shù)值大小及求方程與不等式的解. 3.確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法 (1)定義法.(2)圖象法.(3)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)法. 4.確定函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法.(2)圖象觀察法. 5.求函數(shù)最值的常用方法 (1)圖象法.(2)單調(diào)性法.(3)基本不等式法.(4)換元法.,【變式訓(xùn)練】(2014·舟山模擬)已知函數(shù)f(x)= (x-1),當(dāng)x=a時(shí)，f(x)取得最小值，則在直角坐標(biāo)系中，函數(shù) g(x)= 的大致圖象為( ),【解析】選B.y=x-4+ =x+1+ -5, 因?yàn)閤＞-1, 所以x+10, 0, 所以由基本不等式得 y=x+1+ -5≥ 當(dāng)且僅當(dāng)x+1= ,即(x+1)2=9, 即x+1=3,x=2時(shí)取等號(hào),,所以a=2，所以g(x)= 又 所以選B.,【加固訓(xùn)練】(2014·蘇州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上以3 為周期的奇函數(shù),若f(1)1,f(2)= ,則a的取值范圍 是 . 【解析】因?yàn)閒(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x), 所以 =f(2)=f(-1)=-f(1)-1, 即 +10, 0,解得-1a . 答案:,考點(diǎn)3 函數(shù)與方程及其實(shí)際應(yīng)用 【典例3】(1)(2014·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)= -sinx, 則f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2014·寧波模擬)我國(guó)加入WTO時(shí),根據(jù)達(dá)成的協(xié)議,若干年 內(nèi)某產(chǎn)品市場(chǎng)供應(yīng)量p與關(guān)稅的關(guān)系近似滿足p(x)= (其中t為關(guān)稅的稅率,且t∈ ,x為市場(chǎng)價(jià)格,b,k為正常數(shù)), 當(dāng)t= 時(shí)的市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖所示.,①根據(jù)圖象,求b,k的值; ②記市場(chǎng)需求量為a,它近似滿足a(x)= ,當(dāng)p=a時(shí)的市場(chǎng)價(jià) 格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格,當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格控制在不低于9元時(shí),求 關(guān)稅稅率的最小值.,【解題視點(diǎn)】(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)= 與g(x)=sinx在[0,2π] 上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解. (2)①由已知構(gòu)建b,k的方程組求解. ②將p(x)表示為x的函數(shù),再求其最值.,【規(guī)范解答】(1)選B.由 -sinx=0? =sinx,在同一坐標(biāo) 系中作出h(x)= ,g(x)=sinx在[0,2π]上的圖象,可以看出 交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.,(2)①由題圖知，t= 時(shí)， 有 解得 ②當(dāng)p=a時(shí)，得 解得t=,令m= 因?yàn)閤≥9,所以m∈ 所以t= (17m2-m-2), 所以對(duì)稱軸為 且開(kāi)口向下, 所以m= 時(shí)，t取得最小值 此時(shí)x=9,所以稅率t的最小值為,【規(guī)律方法】 1.確定與應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法 (1)解方程法——構(gòu)建可解的方程求解. (2)數(shù)形結(jié)合法——轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題求解.,2.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的兩大類型及解法. (1)利用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題,先由已知確定待定系數(shù),再用此解決實(shí)際問(wèn)題. (2)自建模型解決實(shí)際問(wèn)題,根據(jù)已知條件,選擇恰當(dāng)?shù)牧繛樽兞?注意限制其范圍),并將相關(guān)量均用該變量表示,抓住題設(shè)中等量關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求解.,【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)= 若關(guān)于x的方程 f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .,【解析】方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則y=f(x)與y=k有兩個(gè)不同交點(diǎn).作出y=f(x)的圖象,可知k∈(0,1). 答案:(0,1),【加固訓(xùn)練】(2014·溫州模擬)從今年的中秋、國(guó)慶假期開(kāi)始 實(shí)施免收小型客車高速通行費(fèi)后,10月3日溫州有一個(gè)群名為 “天狼星”的自駕游車隊(duì),組織車友前往重慶游玩.該車隊(duì)是由 31輛車身長(zhǎng)都約為5m(以5m計(jì)算)的同一車型組成的,行駛中經(jīng) 過(guò)一個(gè)長(zhǎng)為2725m的隧道(通過(guò)該隧道的車速不能超過(guò)25m/s). 勻速通過(guò)該隧道時(shí),設(shè)車隊(duì)的速度為xm/s.根據(jù)安全和車流的需 要,當(dāng)0x≤12時(shí),相鄰兩車之間保持20m的距離;當(dāng)12x≤25時(shí), 相鄰兩車之間保持 的距離.自第1輛車頭進(jìn)入隧道 至第31輛車尾離開(kāi)隧道所用的時(shí)間為y(s).,(1)將y表示為x的函數(shù). (2)求該車隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間y的最小值及此時(shí)車隊(duì)的速度.,【解析】(1)當(dāng)0x≤12時(shí)， 當(dāng)12x≤25時(shí)， 所以,(2)當(dāng)0250,所以當(dāng)x=24m/s時(shí),ymin=250s, 即該車隊(duì)通過(guò)隧道時(shí)間y的最小值為250s,此時(shí)該車隊(duì)的速度 為24m/s.,