文數(shù) 課標(biāo)版,第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程,1.直線的傾斜角 (1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l① 向上方向 之間所成的角叫做直線l的傾斜角,當(dāng)直線l與x軸② 平行或重合 時(shí),規(guī)定它 的傾斜角為0°. (2)范圍:直線l傾斜角的范圍是③ [0,π) .,教材研讀,2.斜率公式 (1)若直線l的傾斜角α≠90°,則斜率k=④ tan α . (2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1≠x2,則l的斜率k=⑤ .,3.兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2,若其斜率分別為k1、k2,則有l(wèi)1∥l2? ⑥ k1=k2 .特別地,當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí),l1與l2 ⑦ 平行 . (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1、l2的斜率都存在,設(shè)為k1、k2,則有l(wèi)1⊥l2?⑧ k1·k2=-1 . 當(dāng)一條直線的斜率為零,另一條直線的斜率不存在時(shí),兩條直線互相 ⑨ 垂直 .,4.直線方程的五種形式,判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”),(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率. (×) (2)直線的斜率越大,其傾斜角就越大. (×) (3)直線的斜率為tan α,則其傾斜角為α. (×) (4)斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等. (√) (5)經(jīng)過定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示. (×) (6) + =1表示所有不經(jīng)過原點(diǎn)的直線. (×) (7)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2- x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. (√) (8)若直線l1∥l2,則其斜率k1=k2. (×) (9)如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于-1. (×) (10)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2,為常數(shù)),若直線l1⊥l2,則A1A2+B1B2=0. (√),1.若直線x=2的傾斜角為α,則α ( ) A.等于0 B.等于 C.等于 D.不存在 答案 C 因?yàn)橹本€x=2垂直于x軸,所以傾斜角α為 .,,2.直線 x-y+a=0的傾斜角為 ( ) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案 B 設(shè)直線的傾斜角為α,則tan α= , ∵α∈[0,π),∴α= .,,3.過點(diǎn)M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為 ( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案 A 由題意知 =1(m≠-2),解得m=1.,,4.如果A·C0,- 0, ∴- 0, ∴直線Ax+By+C=0經(jīng)過第一、二、四象限,故選C.,,5.過兩點(diǎn)A(0,1),B(-2,3)的直線方程為 . 答案 x+y-1=0 解析 由兩點(diǎn)式可得直線方程為 = ,整理得x+y-1=0.,,考點(diǎn)一 直線的傾斜角與斜率 典例1 (1)直線xsin α+y+2=0的傾斜角的范圍是 ( ) A.[0,π) B. ∪ C. D. ∪ (2)直線l過點(diǎn)P(1,0),且與以A(2,1),B(0, )為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則直 線l的斜率的取值范圍為 . 答案 (1)B (2)(-∞,- ]∪[1,+∞) 解析 (1)設(shè)直線的傾斜角為θ,則有tan θ=-sin α,又sin α∈[-1,1],θ∈[0,π), 所以0≤θ≤ 或 ≤θπ. (2)如圖,∵kAP= =1,,考點(diǎn)突破,,kBP= =- , ∴直線l的斜率k∈(-∞,- ]∪[1,+∞).,易錯(cuò)警示 由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由直線斜率的取值范圍 求傾斜角的取值范圍時(shí),常借助正切函數(shù)y=tan x在 和 上的 單調(diào)性求解.應(yīng)注意任何直線都有傾斜角,但不是所有直線都有斜率.當(dāng) 傾斜角為 時(shí),直線斜率不存在.,變式1-1 若將本例(2)中的條件“P(1,0)”改為“P(-1,0)”,則直線l斜 率的取值范圍是什么? 解析 ∵P(-1,0),A(2,1),B(0, ), ∴kAP= = ,kBP= = . 如圖,可知直線l斜率的取值范圍為 .,,變式1-2 若將本例(2)中的條件“P(1,0)”改為“P(0,1)”,則直線l斜率 的取值范圍是什么?傾斜角的取值范圍是什么? 解析 ∵P(0,1),A(2,1),B(0, ), ∴kAP=0,直線BP的斜率不存在. 如圖,可知直線l斜率的取值范圍為[0,+∞),傾斜角的取值范圍為 .,,變式1-3 在本例(2)的條件下,若互換A,P兩點(diǎn)的坐標(biāo),即P(2,1),A(1,0),試 求直線l斜率的取值范圍. 解析 ∵P(2,1),A(1,0),B(0, ), ∴kPA= =1, kPB= = . 如圖所示,直線l的斜率的取值范圍為 .,,考點(diǎn)二 兩條直線的平行與垂直 典例2 已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)當(dāng)l1∥l2時(shí),求a的值; (2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),求a的值. 解析 (1)解法一:當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 當(dāng)a=0時(shí),l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 當(dāng)a≠1且a≠0時(shí),兩直線方程可化為 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 由l1∥l2可得 解得a=-1.,,綜上可知,a=-1. 解法二:由l1∥l2知 即 ? ?a=-1. (2)解法一:當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直,故a=1不符合; 當(dāng)a≠1時(shí),l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 由l1⊥l2得 · =-1?a= . 解法二:∵l1⊥l2, ∴A1A2+B1B2=0,,即a+2(a-1)=0,得a= .,方法技巧 兩直線平行或垂直的判定方法 (1)已知兩直線的斜率存在 ①兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不相等; ②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為-1. (2)已知兩直線的斜率不存在 若兩直線的斜率不存在,當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí),兩直線平行; 否則兩直線重合. (3)已知兩直線的一般方程 設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C 1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.該方法可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論.,2-1 若直線l1:mx-y-2=0與直線l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,則實(shí)數(shù)m的值為 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 C ∵直線l1:mx-y-2=0與直線l2:(2-m)x-y+1=0互相平行, ∴ 解得m=1.故選C.,,2-2 已知直線l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1⊥l2,則a= ( ) A.2或 B. 或-1 C. D.-1 答案 B 因?yàn)橹本€l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,l1⊥l2, 所以2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0, 解得a= 或a=-1.故選B.,,考點(diǎn)三 求直線方程 典例3 (1)求過點(diǎn)A(1,3),斜率是直線y=-4x的斜率的 的直線方程; (2)求經(jīng)過點(diǎn)A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方 程; (3)求過A(2,1),B(m,3)兩點(diǎn)的直線l的方程. 解析 (1)設(shè)所求直線的斜率為k,依題意k=-4× =- .又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1, 3),因此所求直線方程為y-3=- (x-1),即4x+3y-13=0. (2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直線方程為 + =1(a≠0),將(-5,2)代入所 設(shè)方程, 解得a=- ,,,所以直線方程為x+2y+1=0; 當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直線方程為y=kx, 則-5k=2,解得k=- ,所以直線方程為y=- x,即2x+5y=0. 故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0. (3)①當(dāng)m=2時(shí),直線l的方程為x=2; ②當(dāng)m≠2時(shí),直線l的方程為 = , 即2x-(m-2)y+m-6=0. 將m=2代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2, 所以直線l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0.,易錯(cuò)警示 (1)在求直線方程時(shí),應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?并注意各種形式的適用條件. (2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采 用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應(yīng)判斷截距是否 為零).,3-1 根據(jù)所給條件求直線的方程: (1)直線過點(diǎn)(-4,0),傾斜角的正弦值為 ; (2)直線過點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12; (3)直線過點(diǎn)(5,10),且原點(diǎn)到該直線的距離為5. 解析 (1)由題設(shè)知,該直線的斜率存在,故可采用點(diǎn)斜式. 設(shè)傾斜角為α,則sin α= (0απ). 從而cos α=± ,則斜率k=tan α=± . 故所求直線方程為y=± (x+4), 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.,,(2)由題設(shè)知截距不為0,設(shè)直線方程為 + =1, 又直線過點(diǎn)(-3,4),所以 + =1,解得a=-4或a=9. 故所求直線方程為4x-y+16=0或x+3y-9=0. (3)當(dāng)斜率不存在時(shí),所求直線方程為x-5=0. 當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則所求直線方程為y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k= 0. ∴ =5,解得k= . ∴所求直線方程為3x-4y+25=0. 綜上,所求直線方程為x-5=0或3x-4y+25=0.,考點(diǎn)四 直線方程的綜合問題 典例4 過點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x,y軸正半軸于A,B兩點(diǎn). (1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí),求直線l的方程; (2)當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時(shí),求直線l的方程. 解析 設(shè)直線l: + =1(a0,b0), 因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4,1), 所以 + =1. (1) + =1≥2 = , 所以ab≥16,當(dāng)且僅當(dāng)a=8,b=2時(shí)等號(hào)成立, 所以當(dāng)a=8,b=2時(shí),△AOB的面積最小,此時(shí)直線l的方程為 + =1,,,即x+4y-8=0. (2)因?yàn)?+ =1,a0,b0, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)· =5+ + ≥9, 當(dāng)且僅當(dāng)a=6,b=3時(shí)等號(hào)成立, 所以當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時(shí),直線l的方程為x+2y-6=0.,1.給定條件求直線方程的思路 (1)考慮問題的特殊情況,如斜率不存在的情況,截距等于零的情況. (2)在一般情況下準(zhǔn)確選定直線方程的形式,用待定系數(shù)法求出直線方 程. (3)重視直線方程一般形式的應(yīng)用,因?yàn)樗哂袕V泛的適用性.,方法技巧,2.與直線有關(guān)的最值問題的解題思路 (1)借助直線方程,用y表示x(或用x表示y). (2)將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù). (3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值.,4-1 已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)證明:直線l過定點(diǎn); (2)若直線不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍; (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S(O為坐 標(biāo)原點(diǎn)),求S的最小值,并求此時(shí)直線l的方程. 解析 (1)證明:直線l的方程可化為k(x+2)+(1-y)=0, 令 解得 ∴無論k取何值,直線l必經(jīng)過定點(diǎn)(-2,1). (2)直線方程可化為y=kx+1+2k,當(dāng)k≠0時(shí),要使直線不經(jīng)過第四象限,則 必須有 解得k0;,,