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文數(shù) 課標版,第七節(jié) 拋物線,1.拋物線的概念 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離① 相等 的點 的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的② 焦點 .直線l叫做拋物線的 ③ 準線 .,教材研讀,2.拋物線的標準方程和幾何性質(zhì),判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋 物線. (×) (2)拋物線y=4x2的焦點坐標為(2,0). (×) (3)若一拋物線過點P(2,3),其標準方程可設為y2=2px(p0)或x2=2py(p0). (√) (4)拋物線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形. (×) (5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫 做拋物線的通徑,那么拋物線x2=-2ay(a0)的通徑長為2a. (√),1.若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則P的軌跡方程 為 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 答案 C P到F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,因此P到F(0,2) 的距離與它到直線y+2=0的距離相等,故P的軌跡是以F為焦點,y=-2為準 線的拋物線,所以P的軌跡方程為x2=8y.,,2.拋物線y=2x2的焦點坐標是 ( ) A. B. C. D. 答案 C 拋物線的標準方程為x2= y,所以焦點坐標是 .,,3.拋物線的頂點在原點,準線方程為x=-2,則拋物線方程是 ( ) A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x 答案 C 由拋物線的頂點在原點,準線方程為x=-2,知p=4,且開口向右, 故拋物線方程為y2=8x.,,4.若拋物線y=4x2上的一點M到焦點F的距離為1,則點M的縱坐標是 ( ) A. B. C. D.0 答案 B 拋物線的標準方程為x2= y,M到準線的距離等于M到焦點的 距離,又準線方程為y=- , 設M(x,y),則y+ =1,∴y= .,,5.已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標原點O,并且經(jīng)過點M(2,y0). 若點M到該拋物線焦點F的距離為3,則|OM|= . 答案 2 解析 由題意可設拋物線方程為y2=2px(p0). 由|MF|= +2=3得p=2, ∴拋物線方程為y2=4x. ∴點M的坐標為(2,±2 ), ∴|OM|= =2 .,,考點一 拋物線的標準方程及幾何性質(zhì) 典例1 (1)(2015陜西,3,5分)已知拋物線y2=2px(p0)的準線經(jīng)過點(-1,1), 則該拋物線焦點坐標為 ( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) (2)若拋物線的頂點在原點,開口向上,F為焦點,M為準線與y軸的交點,A 為拋物線上一點,且|AM|= ,|AF|=3,則此拋物線的標準方程為 . 答案 (1)B (2)x2=8y或x2=4y 解析 (1)拋物線y2=2px(p0)的準線方程為x=- , 由題設知- =-1,即 =1,,考點突破,,所以焦點坐標為(1,0).故選B. (2)設所求拋物線的標準方程為x2=2py(p0),A(x1,y1),則F ,M , 則 ?p=4或p=2. 故所求拋物線的標準方程為x2=8y或x2=4y.,方法技巧 (1)拋物線的標準方程有四種不同的形式,要掌握焦點到準線的距離,頂 點到準線、焦點的距離,通徑長與標準方程中系數(shù)2p的關(guān)系. (2)求標準方程要先確定形式,必要時要進行分類討論,標準方程有時可 設為y2=mx或x2=my(m≠0). (3)焦點到準線的距離簡稱為焦準距,拋物線y2=2px(p0)上的點常設為 .,1-1 已知直線l過拋物線C的焦點,且與C的對稱軸垂直,l與C交于A,B兩 點,|AB|=12,P為C的準線上一點,則△ABP的面積為 ( ) A.18 B.24 C.36 D.48 答案 C 不妨設拋物線方程為y2=2px(p0). ∵當x= 時,|y|=p,∴p= = =6. 又P到直線AB的距離為p, ∴S△ABP= ×12×6=36.,,1-2 若拋物線的焦點為直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點,求拋物線的標 準方程. 解析 對于直線方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=4,所以拋物線 的焦點坐標為(0,-3)或(4,0). 當焦點坐標為(0,-3)時,設方程為x2=-2py(p0),則 =3,所以p=6,此時拋物 線的標準方程為x2=-12y; 當焦點坐標為(4,0)時,設方程為y2=2px(p0),則 =4, 所以p=8,此時拋物線的標準方程為y2=16x. 所以所求拋物線的標準方程為x2=-12y或y2=16x.,,考點二 拋物線的定義及其應用 典例2 (1)(2016江西贛州模擬)若點A的坐標為(3,2),F是拋物線y2=2x的 焦點,點M在拋物線上移動時,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標為 ( ) A.(0,0) B. C.(1, ) D.(2,2) (2)已知M是拋物線x2=4y上一點,F為其焦點,點A在圓C:(x+1)2+(y-5)2=1 上,則|MA|+|MF|的最小值是 . (3)已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1 和直線l2的距離之和的最小值是 .,答案 (1)D (2)5 (3)2 解析 (1)過M點作準線的垂線,垂足是N,則|MF|+|MA|=|MN|+|MA|, 當A,M,N三點共線時,|MF|+|MA|取得最小值,此時M(2,2). (2)依題意,由點M向拋物線x2=4y的準線l:y=-1引垂線,垂足為M1,則有|MA| +|MF|=|MA|+|MM1|,結(jié)合圖形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圓心C(-1,5) 到y(tǒng)=-1的距離再減去圓C的半徑,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值 是5. (3)易知l2:x=-1是拋物線y2=4x的準線,設拋物線的焦點為F(1,0),則動點P 到l2的距離等于|PF|,則動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦 點F到直線l1:4x-3y+6=0的距離,所以最小值是 =2.,方法指導 與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).由于拋 物線的定義在運用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度. “看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問 題的重要途徑.,2-1 (2014課標Ⅰ,10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一 點,|AF|= x0,則x0= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 A 由y2=x得2p=1,即p= ,因此焦點F ,準線方程為l:x=- ,設 點A到準線的距離為d,由拋物線的定義可知d=|AF|,從而x0+ = x0,解得x0 =1,故選A.,,2-2 已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點 P到該拋物線準線的距離之和的最小值為( ) A. B.3 C. D. 答案 A 易知拋物線y2=2x的焦點為F ,由拋物線的定義知點P到 焦點F的距離等于它到準線的距離,因此要求點P到點(0,2)的距離與點P 到拋物線的準線的距離之和的最小值,可以轉(zhuǎn)化為求點P到點(0,2)的距 離與點P到焦點F的距離之和的最小值,結(jié)合圖形不難得出相應的最小 值就等于焦點F到點(0,2)的距離.因此所求的最小值等于 = ,選A.,,2-3 (2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別 為a,b(a0)經(jīng)過C,F兩點,則 = . 答案 1+ 解析 由題意知|OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,,,故C ,F , 又拋物線y2=2px(p0)經(jīng)過C、F兩點, ∴ ∴ ∴ -2· -1=0, 又 1, ∴ =1+ .,考點三 焦點弦問題 典例3 已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點,斜率為2 的直線交拋物線 于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)兩點,且|AB|=9. (1)求該拋物線的方程; (2)O為坐標原點,C為拋物線上一點,若 = +λ ,求λ的值.,,(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可簡化為x2-5x+4=0,又x1x2, 從而x1=1,x2=4,y1=-2 ,y2=4 , 從而A(1,-2 ),B(4,4 ). 設 =(x3,y3)=(1,-2 )+λ(4,4 )=(4λ+1,4 λ-2 ), 又 =8x3, 即[2 (2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.,方法指導 求拋物線焦點弦的三種方法: ①定義法:|AB|=x1+x2+p; ②傾斜角法:|AB|= (θ為AB的傾斜角); ③斜率法:|AB|= ×2p(k為AB的斜率).,3-1 設拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B 兩點,點C在拋物線的準線上,且BC∥x軸.證明:直線AC經(jīng)過原點O. 證明 設AB:x=my+ ,代入y2=2px,,得y2-2pmy-p2=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得yAyB=-p2,即yB=- . ∵BC∥x軸,且C在準線x=- 上,∴C , 則kOC= = = = =kOA, ∴直線AC經(jīng)過原點O.,考點四 直線與拋物線的位置關(guān)系 典例4 已知拋物線y2=2px(p0),過點C(-2,0)的直線l交拋物線于A、B兩 點,坐標原點為O, · =12. (1)求拋物線的方程; (2)當以|AB|為直徑的圓與y軸相切時,求直線l的方程. 解析 (1)顯然直線l的斜率存在. 設l:x=my-2,代入y2=2px中,,得y2-2pmy+4p=0. (*) 設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=4p, 則x1x2= =4. 因為 · =12,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12, 解得p=2,故拋物線的方程為y2=4x. (2)由(1)可得y1+y2=4m,y1y2=8,設AB的中點為M,,,則|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4, ① 又|AB|= |y1-y2|= , ②,由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2, 解得m2=3,即m=± , 所以直線l的方程為x+ y+2=0或x- y+2=0.,方法指導 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似, 一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2)有關(guān)直線與拋物線相交的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦 點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=|xA|+|xB|+p或|AB|=|yA|+|yB|+p, 若不過焦點,則必須用一般弦長公式. (3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù) 的關(guān)系采用“設而不求”“整體代入”等解法. [提醒]涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.,4-1 已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A,B兩點. (1)若 =2 ,求直線AB的斜率; (2)設點M在線段AB上運動,原點O關(guān)于點M的對稱點為C,求四邊形 OACB面積的最小值. 解析 (1)依題意知F(1,0),設直線AB的方程為x=my+1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得y2-4my-4=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),,,所以y1+y2=4m,y1y2=-4, ① 因為 =2 , 所以y1=-2y2. ② 聯(lián)立①和②,消去y1,y2,得m=± . 所以直線AB的斜率是±2 . (2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱,得M是線段OC的中點, 從而點O與點C到直線AB的距離相等,所以四邊形OACB的面積等于2S△ AOB.,因為2S△AOB=2× ·|OF|·|y1-y2|= =4 ,所以當m=0時,四 邊形OACB的面積最小,最小值為4.,