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數(shù)學(xué),專題九 綜合型問題,綜合題，各地中考常常作為壓軸題進(jìn)行考查，這類題目難度大，考查知識(shí)多，解這類習(xí)題的關(guān)鍵就是善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)和代數(shù)的有關(guān)知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達(dá)到解題目的．,近幾年中考試題中的綜合題大多以代數(shù)幾何綜合題的形式出現(xiàn)，其解題關(guān)鍵是借助幾何直觀解題，運(yùn)用方程、函數(shù)的思想解題，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，由形導(dǎo)數(shù)，以數(shù)促形，綜合運(yùn)用代數(shù)和幾何知識(shí)解題．值得注意的是，近年中考幾何綜合計(jì)算的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開放型、運(yùn)動(dòng)型、情境型等，背景鮮活，具有實(shí)用性和創(chuàng)造性，在考查考生計(jì)算能力的同時(shí)，考查考生的閱讀理解能力、動(dòng)手操作能力、抽象思維能力、建模能力，力求引導(dǎo)考生將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中去．,一個(gè)趨勢(shì) 代數(shù)幾何綜合題從內(nèi)容上來說，是把代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，以及解直角三角形的方法、圖形的變換、相似等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，同時(shí)也融入了開放性、探究性等問題，如探究條件、探究結(jié)論、探究存在性等．經(jīng)?？疾榈念}目類型主要有坐標(biāo)系中的幾何問題(簡(jiǎn)稱坐標(biāo)幾何問題)，以及圖形運(yùn)動(dòng)過程中求函數(shù)解析式問題等．,三個(gè)步驟 解綜合題，第一，需要認(rèn)真審題，分析、挖掘題目的隱含條件，翻譯并轉(zhuǎn)化為顯性條件；第二，要善于將復(fù)雜問題分解為基本問題，逐個(gè)擊破；第三，要善于聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，將以上得到的顯性條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕M合，進(jìn)一步得到新的結(jié)論，尤其要注意的是，恰當(dāng)?shù)厥褂梅治鼍C合法及方程與函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)等數(shù)學(xué)思想方法，能更有效地解決問題．,D,D,D,代數(shù)型綜合題,【例1】 (2015·欽州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B(0，8)為端點(diǎn)的射線BG∥x軸，點(diǎn)A是射線BG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合)，在射線AG上取AD＝OB，作線段AD的垂直平分線，垂足為E，且與x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AC⊥OA，交直線EF于點(diǎn)C，連接OC，CD.設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t. (1)用含t的式子表示點(diǎn)E的坐標(biāo)為________________； (2)當(dāng)t為何值時(shí)，∠OCD＝180°？ (3)當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F不重合時(shí)，設(shè)△OCF的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式．,(t＋4，8),解：(1)∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，8)，∴OB＝8.∵AD＝OB，EF垂直平分AD，∴AE＝4.∴BE＝t＋4.∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t＋4，8),【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解方程等知識(shí)點(diǎn)．,[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練] 1．(2015·河北)如圖，已知點(diǎn)O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，拋物線l：y＝－(x－h(huán))2＋1(h為常數(shù))與y軸的交點(diǎn)為C. (1)l經(jīng)過點(diǎn)B，求它的解析式，并寫出此時(shí)l的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)； (2)設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yc，求yc的最大值，此時(shí)l上有兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比較y1與y2的大?。?(3)當(dāng)線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1∶4時(shí)，求h的值．,解：(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)B(2，1)代入y＝－(x－h(huán))2＋1，得1＝－(2－h(huán))2＋1.解得h＝2.則該函數(shù)解析式為y＝－(x－2)2＋1(或y＝－x2＋4x－3)．故拋物線l的對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，1) (2)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，則yC＝－h(huán)2＋1.當(dāng)h＝0時(shí)，yC有最大值1，此時(shí)，拋物線l為：y＝－x2＋1，對(duì)稱軸為y軸，開口方向向下，所以，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x的增大而減小，所以，x1＞x2≥0，y1＜y2,(3)∵線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1∶4，且O(0，0)，A(－5，0)，∴把線段OA被l只分為兩部分的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1，0)，(－4，0)．把x＝－1，y＝0代入y＝－(x－h(huán))2＋1，得0＝－(－1－h(huán))2＋1，解得h1＝0，h2＝－2.但是當(dāng)h＝－2時(shí)，線段OA被拋物線l分為三部分，不合題意，舍去．同樣，把x＝－4，y＝0代入y＝－(x－h(huán))2＋1，得h＝－5或h＝－3(舍去)．綜上所述，h的值是0或－5,幾何型綜合題,【例2】 (2015·樂山)已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點(diǎn)D，且AD＝DC，延長(zhǎng)CB交⊙O于點(diǎn)E. (1)圖①的A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)中，是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長(zhǎng)？請(qǐng)說明理由； (2)如圖②，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. ①若CF＝CD時(shí)，求sin∠CAB的值； ②若CF＝aCD(a＞0)時(shí)，試猜想sin∠CAB的值．(用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果),解：(1)AE＝CE.理由：連接AE，DE，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90，∴∠ADE＝∠ABE＝90°.∵AD＝DC，∴AE＝CE,【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，利用∠CAB＝∠CED及AE＝EC是解決(2)，(3)兩小題的關(guān)鍵．,[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練] 2．(2014·紹興)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行x軸，交y軸于點(diǎn)A，第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上，連接OB，動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APQ＝90°，PQ交x軸于點(diǎn)C. (1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，1)，求PA的長(zhǎng)． (2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，求PA∶PC的值． (3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上時(shí)，點(diǎn)D是直線OB與直線CA的交點(diǎn)，點(diǎn)E是直線CP與y軸的交點(diǎn)，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA∶PC的值．,解：(1)∵點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，1)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，1)．∴PA的長(zhǎng)為2.,(2)過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖①所示．∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，∴OA＝AB.∵∠OAB＝90°，∴∠AOB＝∠ABO＝45°.∵∠AOC＝90°，∴∠POC＝45°.∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，∴PM＝PN，∠ANP＝∠CMP＝90°.∴∠NPM＝90°.∵∠APC＝90°.∴∠APN＝90°－∠APM＝∠CPM.在△ANP和△CMP中，∵∠APN＝∠CPM，PN＝PM，∠ANP＝∠CMP， ∴△ANP≌△CMP.∴PA＝PC.∴PA∶PC的值為1∶1.,代數(shù)和幾何型綜合題,(3)設(shè)拋物線與y軸交于Q點(diǎn)，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)E在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以A，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．,【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，確定QH＝AD＝1是解題的關(guān)鍵．,[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練] 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－4，0)，點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連接CP與y軸交于點(diǎn)D，連接BD.過P，D，B三點(diǎn)作⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交⊙Q于點(diǎn)F，連接EF，BF.,(1)求直線AB的函數(shù)解析式； (2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB(不包括A，B兩點(diǎn))上時(shí)． ①求證：∠BDE＝∠ADP； ②設(shè)DE＝x，DF＝y(tǒng).請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式； (3)請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2∶1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．,解：(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx＋4，代入(4，0)得：4k＋4＝0，解得：k＝－1，則直線AB的函數(shù)解析式為y＝－x＋4；,試題 如下圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(n，0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n＜0)，以AO為一邊作矩形AOBC，使OB＝2AO，點(diǎn)C在第二象限，將矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE，過點(diǎn)A的直線y＝kx＋m(k≠0)交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)B＝FA，拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)E，F(xiàn)，G且和直線AF交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M. (1)求k的值； (2)點(diǎn)A的位置改變時(shí)，△AMH的面積和矩形 AOBC的面積比是否改變？說明你的理由．,剖析 在第(1)問中運(yùn)用方程思想找出m與n的關(guān)系，再代入A點(diǎn)坐標(biāo)，算出k值的思路是對(duì)的，但由于混淆坐標(biāo)與距離的概念，將B點(diǎn)坐標(biāo)確定為(0，2n)，沒有考慮到A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，n＜0，B點(diǎn)在y軸的正半軸上，故B點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為(0，－2n)，此錯(cuò)誤導(dǎo)致后面求k值出錯(cuò)． 第(2)問中根據(jù)A點(diǎn)位置改變使△AMH和矩形AOBC的面積改變，判斷面積比改變也考慮不深入，此問可根據(jù)題中所給條件，先將△AMH和矩形AOBC的面積用含變量n的代數(shù)式表示出來(顯然圖形的面積與點(diǎn)A的位置即n的大小有關(guān))，再求出兩個(gè)圖形面積的比值，若比值為常數(shù)，則面積比不隨點(diǎn)A的位置的改變而改變；若比值為與n有關(guān)的式子，則面積比要隨A點(diǎn)位置的改變而改變．,