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高中數學 必修2,1.2.1 平面的基本性質（2）,復習回顧：,空間點、直線和平面的位置關系,A?l,A?l,A??,A??,l1∩l2=A,l1∥l2,AB∥?,AB??,l∩?＝P,?∩? =l,?∥?,復習回顧：,公理1：,如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點 都在這個平面內．,用符號語言可表示為,A??,B??,,?,AB??,? l??．,或表示為,A?l,B?l,A??,B??,,公理2：,如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公 共點的集合是經過此公共點的一條直線 .,符號表示：P??，P?? ? ?∩?＝l，P?l .,公理2常用于：,(1)找兩平面的交線；,(2)判定三點共線與三線共點問題,公理1可以理解為根據點與平面的關系確定直線與平面的位置關系，公理2 可以理解為由點與平面的位置關系確定直線與平面的位置關系，如何確定 一個平面呢？,推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．,,,C,?,,,B,,A,,推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．,推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．,公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．,已知：直線l，點A?l(如圖)．,求證：過直線l和點A有且只有一個平面．,所以經過直線l和點A的平面只有一個．,證明：,在直線l上任取兩點B，C．因為點A不在直線l上，根據公理3，,經過不共線三點A，B，C有一個平面?．,因為B ??，C??，所以根據公理1，l??，,即平面?經過直線l和點A．因為B，C直線l上，,所以經過直線l和點A的平面一定經過A，B，C．,根據公理3，經過不共線的三點A，B，C的平面有且只有一個，,l,推論1的另一種證明： 存在性 在直線l上任取兩點A，B． ∵P?l ∴經過A，B，P有一個平面． ∵A?l，B ? l，A ? ?，B ? ?， ∴l(xiāng)??． 故過直線l和點A有一個平面?． 惟一性 假設過直線l和點A還有一個平面?． ∴A ? ?，B ? ?，P ? ?， 又A ? ?，B ? ?，P ? ?， 與過不共線三點確定一個平面矛盾． 故結論成立．,推論2的證明： 在直線l上任取一點A異于點P． ∴直線m和點A確定一個平面?． 又l∩m＝P， ∴P ? l，又A ? l， ∴P ? ?， A ? ?， ∴l(xiāng)??． 故直線l，m確定一個平面．,推論3證明： 存在性 ∵l∥n， ∴經過l，n有一個平面?． 惟一性 假設過直線l，n還有一個平面?． 在直線l上任取一點A． ∵A ? l，l??． ∴ A ? ?，n?? ， 同理A ? ?，n??． 與直線及其外一點確定一個平面矛盾． 故結論成立．,推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．,推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．,推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．,公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．,公理3及其3個推論，是確定平面的重要依據，,也是判定四點共面或三線共面的重要依據．,小結：,例1：已知A ? l，B ? l，C ? l，D?l．求證：直線AD，BD，CD共面．,,?,,,,,l,A,,B,,C,,D,,所以AD，BD，CD在同一平面內，即它們共面．,證明：,因為D?l，所以l與D可以確定平面?(推論1)．,因為A?l，所以A ??，又D??，所以AD??(公理1)．,同理BD??，CD??，,變式：求證：兩兩相交且不同點的三條直線必在同一個平面內．,例2．如圖，若直線l與四邊形ABCD的三條邊 AB，AD，CD分別交于點E，F(xiàn)，G．求證：四邊形ABCD為平面四邊形．,例3．已知a??，b??，a∩b＝A，P ? a，PQ∥b． 求證：PQ??．,,?,,,,P,Q,a,b,A,練習： 1．判斷下列命題是否正確． ①如果一條直線與兩條直線都相交，那么這三條直線確定一個平面. ②經過一點的兩條直線確定一個平面． ③經過一點的三條直線確定一個平面． ④平面和平面交于不共線的三點A，B，C.,2．空間四點A，B，C，D共面但不共線，則下列結論成立的是______． ①四點中必有三點共線． ②四點中必有三點不共線． ③AB，BC，CD，DA四條直線中總有兩條平行． ④直線AB與CD必相交．,3．下列命題中，①有三個公共點的兩個平面重合；②梯形的四個頂點在同一平面內；③三條互相平行的直線必共面；④兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中正確命題個數是___________ ．,4．直線l1∥l2，在l1上取三點，在l2上取兩點，由這五個點能確______個平面．,5．已知a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B，求證：a，b，l三條直線共面．,推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．,推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．,推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．,公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．,公理3及其3個推論，是確定平面的重要依據，,也是判定四點共面或三線共面的重要依據，,小結：,判定四點共面或三線共面的問題，應先確定一個平面，,再判定要證明的元素(四點或三線) 都在所確定的平面內．,作業(yè)：,課本31頁習題1.2（1）第4，5題．,