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成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數,第二章,§1 生活中的變量關系,第二章,我們撥打國內長途電話時，要在撥打的號碼前加上區(qū)號，每個區(qū)號對應著一個確定的地區(qū)，每個地區(qū)也對應著一個確定的區(qū)號，如北京的區(qū)號是010,0591是福州的區(qū)號．那么二者之間是一種什么樣的關系呢？這種關系可以用兩個變量來表示．這就是生活中的變量關系.,1.變量間的依賴關系 變量及變量之間的________在生活中隨處可見，初中學習過的函數就描述了________隨________而變化的依賴關系． 2．兩個變量間的函數關系 (1)并非具有依賴關系的兩個變量都有________關系； (2)函數關系是指滿足對于其中一個變量的________，另一個變量都有________的值與之對應．,依賴關系,因變量,自變量,函數,每一個值,唯一確定,1.下列說法不正確的是( ) A．依賴關系不一定是函數關系 B．函數關系是依賴關系 C．如果變量m是變量n的函數，那么變量n也是變量m的函數 D．如果變量m是變量n的函數，那么變量n不一定是變量m的函數,[答案] C [解析] 根據依賴關系與函數關系的區(qū)別可知A，B正確．若變量m是變量n的函數，因為滿足函數關系的自變量n對因變量m可以是多對一，此時若把m換成自變量，n換成因變量，顯然對于m的每一個取值，會有多個n與之對應，所以變量n不是變量m的函數．,2．李明騎車上學，一開始以某一速度前進，途中車子發(fā)生故障，只好停下來修車，車修好后，因怕耽誤上學時間，于是就加快了車速，在下面給出的四個函數示意圖中(s為距離，t為時間)符合以上情況的是( ),,[答案] C [解析] 因為李明騎車上學路上停留了一段時，故該段圖像平行于橫軸，所以只有C符合條件．,3．給出下列關系： ①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關系； ②拋物線上的點的縱坐標與該點的橫坐標之間的關系； ③橘子的產量與氣候之間的關系； ④某同學在6次考試中的數學成績與他的考試號之間的關系． 其中不是函數關系的有________(只填序號) [答案] ①③④,4．下圖是我國2013年某地降雨量的統(tǒng)計情況，圖中橫軸為月份(單位：月)，縱軸為降雨量(單位：cm)． 由圖中曲線可判斷該地2013年的降雨量與時間是否具有函數關系？ [解析] 因為對于2013年的每一個月都有唯一的降雨量與之對應，故可得2013年的降雨量與時間具有函數關系，且自變量是時間，因變量是降雨量．,,一輛汽車由南京駛往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/時，則汽車距上海的路程s(千米)與行駛時間t(時)的關系是s＝300－100t，在這里，常量是________，變量是________． [規(guī)范解答] 判斷常量與變量的關鍵是看它是否發(fā)生了變化，在這里，常量是南京與上海的距離300千米和汽車行駛的平均速度100千米/時，變量是汽車在行駛過程中距上海的路程s和行駛時間t. [答案] 300，－100 s，t,正確理解常量與變量,[規(guī)律總結] 常量與變量必須存在于某一個變量過程中，判斷一個量是常量還是變量，需看它在這個變化過程中的取值情況．常量與變量不是絕對的，而是對于某一個變化過程而言的．,關于x的一次函數y＝kx＋b(k≠0)中，常量是________，變量是________． [答案] k，b x，y [解析] 根據一次函數的概念，可知x是自變量，y是x的函數，而系數k，b是常數，屬于常量.,依賴關系與函數關系的判斷,下列過程中，各變量之間是否存在依賴關系？其中哪些是函數關系？ (1)將保溫瓶中的熱水倒人茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計放入茶杯中，每隔一段時間，觀察溫度計示數的變化，冷卻時間與溫度計示數的關系； (2)商品的銷售額與廣告費之間的關系； (3)家庭的食品支出與電視機價格之間的關系； (4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間的關系．,[思路分析] 兩個變量中的一個變量發(fā)生變化時，如果另一個變量也發(fā)生變化，則它們具有依賴關系；如果另一個變量發(fā)生變化且取值唯一，則它們具有函數關系． [規(guī)范解答] (1)冷卻時間與溫度計示數具有依賴關系，根據函數的定義知，二者之間存在函數關系，且冷卻時間是自變量，溫度計示數是因變量．反之不行． (2)商品的銷售額與廣告費這兩個變量在現實生活中存在依賴關系，但商品的銷售額還受其他因素的影響，比如產品的質量、價格、售后服務等，所以商品的銷售額與廣告費之間是不確定性關系，即不是函數關系．,(3)家庭的食品支出與電視機價格之間沒有依賴關系，更不具有函數關系． (4)高速公路上行駛的汽車所走的路程與時間這兩個變量存在依賴關系，且對于每一個時間的值，路程是唯一確定的，因此它們之間存在函數關系，且時間是自變量，路程是因變量．反之也是． 綜上可知，(1)(4)中的變量間具有依賴關系，且是函數關系；(2)中變量間存在依賴關系，但不是函數關系；(3)中兩個變量不存在依賴關系，也不具有函數關系．,[規(guī)律總結] 1.判斷兩個變量之間是否具有依賴關系，只需分析當其中一個變量變化時，另一個變量是否也發(fā)生變化即可，如果發(fā)生變化，則它們具有依賴關系，如果不發(fā)生變化，則它們不具有依賴關系． 2．判斷兩個具有依賴關系的變量是否具有函數關系時，可分以下兩個步驟： (1)確定因變量和自變量． (2)判斷對于自變量的每一個確定值，因變量是否有唯一確定的值與之對應．若滿足，則是函數關系，否則不是函數關系．,下列變量之間的關系是函數關系的是( ) A．光照時間與果樹畝產量 B．臺風的級數與交通事故的次數 C．水稻的產量與施肥量 D．正方形的面積與邊長 [答案] D,通過圖像反映兩變量之間的關系,如圖所示為某市一天24小時內的氣溫變化圖．,,(1)上午8時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？ (2)大約在什么時刻，氣溫為0℃？ (3)大約在什么時刻，氣溫在0℃以上？兩個變量有什么特點，它們具有怎樣的對應關系？ [思路分析] 此題是一個通過圖像來反映兩個變量之間關系的問題，所以回答問題時應充分利用圖像所反映出的關系．,[規(guī)范解答] (1)上午8時氣溫約是0℃，全天最高氣溫大約是9℃，全天最低氣溫大約是－2℃. (2)大約在0時、8時和22時，氣溫為0℃. (3)在8時到22時之間，氣溫在0℃以上，變量0≤t≤24，變量－2≤T≤9，由于圖像是連續(xù)的，可知它們之間具有隨著時間的增加，氣溫先降再升再降的變化趨勢． [規(guī)律總結] 用圖像反映兩變量間的關系是一種常用的表示兩變量關系的方法．在解此類題時要能從圖中找到兩個變量，并能判斷它們之間的相互依賴關系是如何變化的．,一天，亮亮發(fā)燒了，早晨燒得很厲害，吃過藥后，感覺好多了，中午時亮亮的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜亮亮才感覺身上不那么燙了．下面各圖基本上反映出亮亮這一天(0～24時)體溫的變化情況的是( ),,[答案] C,下面的變量與變量之間是否具有依賴關系？是否具有函數關系？ ①一天中溫度與時間的關系； ②汽車在行駛過程中的耗油量與時間的關系； ③油菜在生長期內株高與施肥量的關系； ④人的身高與體重之間的關系； ⑤一枚炮彈發(fā)射后，飛行高度與時間的關系．,[錯解] ①②③④⑤中變量與變量之間都具有依賴關系，其中②④是函數關系． [辨析] 變量與變量之間的依賴關系在生活中隨處可見，但并不是所有的依賴關系都是函數關系，只有對其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應時，它們才具有函數關系．因此，判斷兩個變量是否存在函數關系的關鍵是確定變量與變量間的這種唯一的確定關系．,[正解] ①②③④⑤中變量與變量之間都具有依賴關系．其中①②⑤中兩個變量之間的依賴關系都具有一個共同的特點，即任給一個時間的值，該時的溫度、汽車的耗油量、炮彈飛行的高度就唯一確定，也就是說，對于一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應，所以它們之間的關系是確定性關系，即是函數關系．其中①中的自變量是時間，因變量是溫度，反之不行，②中的自變量是時間，因變量是耗油量，反之也是，⑤中的自變量是時間，因變量是飛行高度，反之不行．而③④中兩個變量盡管具有依賴關系，但油菜生長期內的株高除與施肥量有關外，還與灌水、光照等因素有關，人的身高越高，其體重不一定越重，所以它們之間的關系不具有確定性，不是函數關系．,