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成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,集 合,第一章,本章歸納總結(jié),第一章,,,,本章主要學習了集合的概念，元素與集合、集合與集合間的關(guān)系，以及子集的性質(zhì)與集合間的運算性質(zhì)等． 1．集合是“某些指定對象的全體” 構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)或點等數(shù)字對象外，還可以是其他對象． 集合的元素具有：①確定性；②互異性；③無序性． 集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖法． 解答集合問題，要明白它所表示的意義，即元素指什么？是什么范圍？緊緊抓住豎線前面的代表元素及它所具有的性質(zhì)．,判斷給定對象能否構(gòu)成集合時，要注意它的“確定性”，在表示一個集合時，注意它的“互異性”，“無序性”． 2．元素與集合，集合與集合間的關(guān)系 元素與集合之間是個體與整體的關(guān)系，不存在大小與相等關(guān)系． 元素與集合間用“∈”或“?”表示． 集合與集合之間有包含關(guān)系，如子集、全集的關(guān)系，相等關(guān)系，真子集關(guān)系． 熟練掌握集合的圖形表示，會借助韋恩圖、數(shù)軸解決集合問題，樹立數(shù)形結(jié)合解題的意識．,3．“交、并、補”都是集合的運算，對于兩個集合而言，交集是指這兩個集合的公共元素組成的集合，并集是指由這兩個集合的全部元素組成的集合(要注意集合元素的互異性)．補集必須相對于指定的全集而言，一個集合的補集是指由不屬于這個集合的全集中的全部其它元素組成的集合． 4．求解含參數(shù)的集合運算問題，先對集合化簡，使問題明朗化，再對參數(shù)進行討論，討論時既不能重復也不能遺漏．,5．在集合運算過程中應力求做到“三化”： (1)意義化：即首先分清集合的類型，是表示數(shù)集、點集，還是某類圖形？是表示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？ (2)具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求出的，也應力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡形式． (3)直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來，從而借助“數(shù)形結(jié)合思想”解決問題．,1.集合中元素的三性 集合中的元素具有確定性，互異性和無序性．判斷所給對象能否構(gòu)成集合時，特別要注意它的“確定性”，在表示一個集合時，要特別注意它的“互異性”，“無序性”． [例1] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}， B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值． [思路分析] 根據(jù)集合中的元素對應相等，分情況討論．,學好集合的關(guān)系是把握“五個三”,[解析] ∵A＝B，須分情況討論． ①若a＋b＝ac，則a＋2b＝ac2， 解得a＋ac2－2ac＝0. a＝0時，集合B中的三個元素均為零，和元素互異性矛盾，故a≠0. ∴c2－2c＋1＝0，即c＝1. 但c＝1時，B中的三個元素又相同，故無解．,2．集合的三種表示方法 集合的常用表示法有列舉法、描述法和Venn圖法．這三種表示方法各有特點，應結(jié)合具體問題適當選用．特別要注意的是，在用描述法表示集合時，一定要弄清代表元素是什么． [例2] 設(shè)集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則下列關(guān)系中不正確的一個是( ) A．A∩C＝? B．B∩C＝? C．B?A D．A∪B＝C,[解析] 集合A是由二次函數(shù)y＝x2的自變量x組成的集合，即A＝R；集合B是由二次函數(shù)y＝x2的因變量y組成的集合，即B＝{y|y≥0}；而集合C是由二次函數(shù)y＝x2圖像上所有點組成的集合，為點集．所以A∪B＝R≠C. [答案] D,3．集合的三類 按照集合中元素個數(shù)的多少，集合可分為有限集、無限集和空集三類．其中，空集是一個特殊的集合，它不含有任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解決集合之間關(guān)系的問題時，它往往易被忽視而導致解題出現(xiàn)失誤． [例3] 設(shè)U＝R，A＝{x|x2－3x－100}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且B?(?UA)，求實數(shù)a的取值范圍．,5．集合的三種運算 集合的運算有交(∩)、并(∪)、補(?UA)，要正確理解并會進行這三種運算．設(shè)全集為U，已知集合A、B，則A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，?UA＝{x|x∈U且x?A}． [例5] 已知全集U＝{x|－4≤x≤4，x∈Z}，A＝{－1，a2＋1，a2－3}，B＝{a－3，a－1，a＋1}，且A∩B＝{－2}，求?U(A∪B)． [分析] 要求?U(A∪B)，應先求出A∪B，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求參數(shù)a的值．觀察集合A，B中元素的特點，若A∩B＝{－2}，則只能a2－3＝－2成立．,[解析] ∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A. 又∵a2＋10，∴a2－3＝－2，解得a＝±1. 當a＝1時，A＝{－1,2，－2}，B＝{－2,0,2}， 則A∩B＝{－2,2}與A∩B＝{－2}矛盾．∴a≠1. 當a＝－1時，A＝{－1,2，－2}，B＝{－4，－2,0}， 則A∩B＝{－2}符合題意． 此時A∪B＝{－4，－2，－1,0,2}． 又∵U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}， ∴?U(A∪B)＝{－3,1,3,4}.,數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學知識的精髓，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁．在日常學習中，要注意數(shù)學思想方法在解題中的運用，要增強運用數(shù)學思想方法解決問題的意識，這樣能在求解過程中迅速找到解題思路或簡化解題過程．,集合中蘊涵的數(shù)學思想方法,1．數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合．通過對圖形的認識，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問題化難為易，化抽象為具體．通過“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問題．集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法． (1)數(shù)軸法 對初學者來說，在進行集合的交集、并集、補集運算時，往往由于運算力差或考慮不全面而極易出錯．此時，數(shù)軸分析法是個好幫手，它能將復雜問題直觀化．在具體應用時，要注意端點是實心還是空心，以免增解或漏解．,[例6] 已知集合A＝{x|－1x3}，B＝{x|x－m2}． (1)若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若AB，求實數(shù)m的取值范圍．,(2)Venn圖法 Venn圖是集合語言中的圖像語言，它易引起清晰的視覺形象，能直觀地表達概念，問題的本質(zhì)以及相互之間的關(guān)系．加強這方面的學習和訓練，對鞏固數(shù)學知識，夯實基礎(chǔ)，提高能力具有重要意義． [例7] 已知I為全集，集合M，N?I，若M∩N＝N，則( ) A．?IM??IN B．M??IN C．?IM??IN D．M??IN,[解析] 根據(jù)條件畫出Venn圖，由補集的定義及集合間的關(guān)系可迅速作出選擇． [答案] C,,2．分類討論思想 分類討論思想是數(shù)學思想中比較重要的一種思想，利用分類討論思想解決分類討論問題，已成為高考考查學生知識和能力的熱點問題．首先，分類討論問題一般都覆蓋較多知識點，有利于對知識面的考查；其次，解分類討論問題需要有一定的分析能力，一定的分類思想和技巧，運用分類討論思想解決問題的關(guān)鍵是分類標準要明確，做到“不重不漏”．,3．轉(zhuǎn)化與化歸思想 在解決一些集合問題時，如果一種集合的表達形式不好入手，那么就將其轉(zhuǎn)化為另一種形式，使問題明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A?B”等都是同一含義．另外，集合中數(shù)學語言的常見形式主要有三種，即文字語言、符號語言、圖形語言，通過合理的相互轉(zhuǎn)化，往往能簡捷迅速地得到解題思路．,[例9] 某校高一(5)班有50人，其中參加航模小組的有25人，參加電腦小組的有32人，求既參加航模小組又參加電腦小組的人數(shù)的最大值與最小值． [解析] 設(shè)U＝{高一(5)班學生}，A＝{參加航模小組的學生}，B＝{參加電腦小組的學生}． 設(shè)既參加航模小組又參加電腦小組的學生有x人．如圖所示，從圖中可得至少參加一組的有(25－x)＋x＋(32－x)＝57－x.,4．補集思想 對于比較復雜，難于從正面入手的數(shù)學問題，在解題時，可調(diào)整思路，從問題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系，這樣往往能化難為易，從而將問題解決，這就是補集思想，補集思想具有轉(zhuǎn)換研究對象的功能，是轉(zhuǎn)化思想的又一體現(xiàn)．集合中的補集運算常常與方程、不等式等相聯(lián)系，特別是否定性的條件，如a?A，可轉(zhuǎn)化為a∈?RA，有時求解將會十分方便，省去一些復雜的討論．,[例10] 若三個方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個方程有實數(shù)解，試求實數(shù)a的取值范圍．,集合中的創(chuàng)新題主要是指題目中引入了新概念、新術(shù)語、新符號或定義新的運算的問題，處理這類問題的關(guān)鍵是要準確地理解相關(guān)“新內(nèi)容”的含義，依據(jù)其含義尋找解題的切入點． [例11] 設(shè)M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集為M－P＝{x|x∈M，且x?P}，則M－(M－P)等于( ) A．P B．M∩P C．M∪P D．M,集合中的創(chuàng)新題,[解析] 本題是差集問題，可以從所給的定義入手轉(zhuǎn)化為集合的交、并運算式進行推理，也可直接從M－(M－P)的意義上去考慮． 當M∩P≠?時，由Venn圖知，M－P為圖形中的陰影部分，則M－(M－P)顯然為M∩P. 當M∩P＝?時，M－P＝M，則M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M且x?M}＝?. [答案] B,,一、選擇題 1．(2015·山東高考)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，則A∩B＝( ) A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4) [答案] C [解析] 因為B＝{x|1＜x＜3}，所以A∩B＝(2,3)，故選C.,2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，則(?UA)∩B＝( ) A．{0} B．{2} C．{0,1,2} D．? [答案] A [解析] ∵?UA＝{0,1}，∴(?UA)∩B＝{0}，故選A.,3．設(shè)P＝{x|x4}，Q＝{x|－2x2}，則( ) A．P?Q B．Q?P C．P??RQ D．Q??RP [答案] D [解析] ∵Q＝{x|－2x2}， 而?RP＝{x|x≤4}， ∴Q??RP.,4．如果A＝{x|x－1}，那么正確的結(jié)論是( ) A．0?A B．{0}A C．{0}∈A D．?∈A [答案] B [解析] 由于0－1，所以{0}A.而選項A，C，D對于元素與集合、集合與集合的關(guān)系使用符號不對，故都是錯誤的．,5．集合A＝{1,2,3,4}，BA，且1∈(A∩B)，4?(A∩B)，則滿足上述條件的集合B的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 [答案] C [解析] 由1∈(A∩B)，且4?(A∩B)，得1∈B， 但4?B，又BA， ∴集合B中至少含有一個元素1，至多含有3個元素1,2,3，故集合B可以為{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．,二、填空題 6．已知集合A＝{x∈R||x－1|2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中所有元素的和等于________． [答案] 3 [解析] 用列舉法將A∩Z中的元素列舉出來相加即可． A＝{x∈R||x－1|2}＝{x∈R|－1x3} ∴A∩Z＝{0,1,2}． ∴A∩Z的元素的和為3.,7．設(shè)集合A＝{x∈Z|x≤－3}，B＝{x∈Z|x≤2}，全集U＝Z，則(?UA)∩B＝________. [答案] {－2，－1,0,1,2} [解析] ∵U＝Z，A＝{x∈Z|x≤－3}， B＝{x∈Z|x≤2}， ∴?UA＝{x∈Z|x－3}， ∴(?UA)∩B＝{x∈Z|－3x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}．,8．已知集合A＝{1,5}，B＝{x|ax－5＝0}，且A∪B＝A，則由a的取值組成的集合為________． [答案] {0,1,5} [解析] ∵A∪B＝A，∴B?A. 當B＝?時，a＝0；當B＝{1}時，a＝5； 當B＝{5}時，a＝1， ∴由a的取值組成的集合為{0,1,5}．,三、解答題 9．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}． (1)若B?A，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若x∈N，求集合A的子集的個數(shù)．,