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2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 理科數(shù)學(xué) 學(xué)校_____________班級(jí)_______________姓名______________考號(hào)___________ 本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分。考試時(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 （1）已知集合，，則 （A） （B） （C） （D） （2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (A)第一象限　 （B） 第二象限　 （C） 第三象限　 （D） 第四象限 （3）下列命題中正確的是 （A）如果兩條直線都平行于同一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行 （B）過一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直 （C）如果一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線平行于這個(gè)平面 （D）如果兩條直線都垂直于同一平面，那么這兩條直線共面 （4）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖中△ABC是邊長 為2的正三角形，俯視圖的邊界為正六邊形，那么該幾何體的側(cè)(左) 視圖的面積為 （A）　 （B） （C） （D） （5）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若曲線：上所有的點(diǎn)均在第二象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （A） （B） （C） （D） （6）如圖所示，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)，，是該圖象與軸的交點(diǎn)，若，則的值為 （A） （B） （C） （D） （7）對(duì)于函數(shù)，有如下三個(gè)命題： ①是偶函數(shù)； ②在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)； ③在區(qū)間上是增函數(shù)． 其中正確命題的序號(hào)是 （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ （8）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）已知，那么的值為　 ． （10）若非零向量，滿足，則與的夾角為 ． （11）已知函數(shù)那么的值為 ． y x A F O B （12）在等差數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公差等于 ； 其前項(xiàng)和的最大值為 ． （13）如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為， 上頂點(diǎn)為，若，則該橢圓的離心率是 . (14)已知不等式≤，若對(duì)任意且，該不等式恒成立，則實(shí) 數(shù)的取值范圍是 ． 三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題共13分） 已知△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求△的面積． （16）（本小題共13分） 在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，公比為，且， ． （Ⅰ）求與； （Ⅱ）證明：≤． （17）（本小題共14分） 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的 中點(diǎn)，． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）點(diǎn)在線段上，，試確定的值， 使平面； （Ⅲ）若平面，平面平面， 求二面角的大?。? （18）（本小題共13分） 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)； （Ⅱ）若函數(shù)在處取得最大值，求的取值范圍． （19）（本小題共13分） 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△是等腰直角三角形． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由． （20）(本小題共14分) 已知是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意，①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足． （Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說明理由； （Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)?，則對(duì)于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根； （Ⅲ）對(duì)任意，且，求證：對(duì)于定義域中任意的，，，當(dāng)，且時(shí)，. 東城區(qū)2011-xx學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測 高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) （理科） 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分） （1）B （2）A （3）D （4）C （5）D （6）B （7）A （8）C 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分） （9） （10） （11） （12） 57 （13） （14）≥ 注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得3分，第二個(gè)空填對(duì)得2分． 三、解答題（本大題共6小題，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）由已知， 整理得． ………………2分 因?yàn)椋? 所以. 故，解得. ……………4分 由，且，得. 由，即， 解得. ………………7分 （Ⅱ）因?yàn)?，又? 所以，解得. ………………10分 由此得，故△為直角三角形，，． 其面積． ………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）設(shè)的公差為， 因?yàn)樗? 解得 或（舍），． 故 ，． ……………6分 （Ⅱ）因?yàn)椋? 所以． ………9分 故 ． ………11分 因?yàn)椤?，所以≤，于是≤? 所以≤． 即≤． ……………13分 （17）（共14分） 證明：（Ⅰ）連接 ． 因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，? 所以△為正三角形．又為中點(diǎn)， 所以． 因?yàn)?為的中點(diǎn)， 所以． 又， 所以平面． ………………4分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，∥平面． 下面證明： 連接交于，連接． 因?yàn)椤危? 所以． 因?yàn)椤纹矫?，平面，平面平面? 所以∥. 所以． 所以，即． 因?yàn)椋? 所以． 所以， 所以∥. 又平面，平面， 所以∥平面． …………9分 （Ⅲ）因?yàn)椋? 又平面平面，交線為， 所以平面． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直 線為軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由===2， 則有，，． 設(shè)平面的法向量為=， 由， 且，， 可得 令得． 所以=為平面的一個(gè)法向量． 取平面的法向量=， 則， 故二面角的大小為60°． …………14分 （18）（共13分） 證明：（Ⅰ）． 因?yàn)榍?，所以? 所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)． …………6分 （Ⅱ）由題意. 則. …………8分 令，即. ① 由于 ，可設(shè)方程①的兩個(gè)根為，， 由①得， 由于所以，不妨設(shè)， ． 當(dāng)時(shí)，為極小值， 所以在區(qū)間上，在或處取得最大值； 當(dāng)≥時(shí)，由于在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為， 綜上，函數(shù)只能在或處取得最大值． …………10分 又已知在處取得最大值，所以≥， 即≥，解得≤，又因?yàn)椋? 所以（］． ………13分 （19）（共13分） 解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，， 故橢圓方程為． 　　　　 …………5分 （Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心， 設(shè)， 因?yàn)椋?，故? …………7分 于是設(shè)直線的方程為， 由得． 由，得， 且,． ……9分 由題意應(yīng)有，又， 故， 得． 即． 整理得． 解得或． …………12分 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去． 當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線的方程為． …………13分 （20）（共14分） 解：（Ⅰ）因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，， 所以方程有實(shí)數(shù)根0； ②， 所以，滿足條件； 由①②，函數(shù)是集合中的元素. …………5分 （Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，， 則，. 不妨設(shè)，根據(jù)題意存在， 滿足. 因?yàn)?，，且，所? 與已知矛盾.又有實(shí)數(shù)根， 所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. …………10分 （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立； 當(dāng)，不妨設(shè). 因?yàn)?且所以為增函數(shù)，那么. 又因?yàn)?，所以函?shù)為減函數(shù)， 所以. 所以，即. 因?yàn)椋裕? （1） 又因?yàn)?，所以?（2） （1）（2）得即. 所以. 綜上，對(duì)于任意符合條件的,總有成立.……14分