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2019-2020年高三4月模擬考試 數(shù)學(xué)（理）試題 注意事項(xiàng)： 1．本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘。 2．使用答題紙時(shí)，必須使用0．5毫米的黑龜墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)，作圖時(shí)，可用2B鉛筆．要字跡工整，筆跡清晰，超出答題區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙，試題卷上答題無(wú)效。 3．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。 一、選擇題：本大題共12小題；每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，把正確選項(xiàng)的代號(hào)涂在答題卡上． 1.設(shè)全集，,,則集合B= Ａ． B． Ｃ． D． 2．若復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部相等，則的值等于 Ａ．-1 Ｂ．3 Ｃ．-9 Ｄ．9 3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 Ａ． B． Ｃ． D． 4．設(shè)向量，，且，則等于 Ａ． B． Ｃ． D． 5. 下列推理是歸納推理的是 Ａ．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 Ｃ．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇 6. 右圖給出了一個(gè)程序框圖，其作用是輸入的值，輸出相應(yīng)的值．若要使輸入的值與輸出的值相等，則這樣的值有 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 7．若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)a的值為 Ａ．－1或 B．1或3 Ｃ．－2或6 D．0或4 8．下列四個(gè)判斷： ①； ②已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，），P（X≤6）=0．72，則P（X≤0）=0．28; ③已知的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為20； ④ 其中正確的個(gè)數(shù)有： A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 9.已知A，B，C，D是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，B為軸上的點(diǎn)，C為圖像上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在軸上的投影為，則的值為 Ａ． B． Ｃ． D． 10題 10.已知R上可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為 A． B． C． D． 11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)F，以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A、B，若，則雙曲線的離心率為 Ａ．2 B．3 Ｃ． D． 12．等差數(shù)列前項(xiàng)和為，已知 則 Ａ． B． Ｃ． D． 二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分.請(qǐng)把答案填在答題紙的相應(yīng)位置. 13.若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 14. 指數(shù)函數(shù)在上的最大值與最小值的和為6，則 . 15．如圖，已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角銹蝕，其中米，米. 為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形內(nèi)截取一個(gè)矩形塊，使點(diǎn)在邊上. 則矩形面積的最大值為_(kāi)___ 平方米 . 16.設(shè)點(diǎn)，，如果直線與線段有一個(gè)公共點(diǎn)，那么的最小值為 三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分．解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推理步驟。 17．（本小題滿分12分）已知向量記. 　　（Ⅰ）若，求的值； 　?。á颍┰凇鰽BC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是、、，且滿足，若，試判斷△ABC的形狀. 18.（本小題滿分12分） 春節(jié)期間，某商場(chǎng)決定從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)。 ⑴)試求選出的3種商品中至少有一種是家電的概率； ⑵商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用抽獎(jiǎng)方式進(jìn)行促銷(xiāo)，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高100元，規(guī)定購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)：若中一次獎(jiǎng)，則獲得數(shù)額為元的獎(jiǎng)金；若中兩次獎(jiǎng)，則共獲得數(shù)額為元的獎(jiǎng)金；若中3次獎(jiǎng)，則共獲得數(shù)額為元的獎(jiǎng)金。假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)中獲的概率都是，請(qǐng)問(wèn)：商場(chǎng)將獎(jiǎng)金數(shù)額m最高定為多少元，才能使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利？ 19. （本小題滿分12分）已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點(diǎn)．沿BD將△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD． A B D E C （Ⅰ）求證：平面ABD； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 20. （本小題滿分12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列， （1）判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說(shuō)明理由； （2）如果，試寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）在（2）的條件下，若數(shù)列得前n項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值。若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。 M x y A B O D E 21.（本小題滿分13分）如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長(zhǎng)等于的短軸長(zhǎng)。與軸的交點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，直線分別與相交于點(diǎn)。 （1）求、的方程； （2）求證：。 （3）記的面積分別為， 若，求的取值范圍。 22．（本小題滿分13分） 22.已知函數(shù)，其中常數(shù)． （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）如果函數(shù)在公共定義域D上，滿足，那么就稱 為與的“和諧函數(shù)”．設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無(wú)窮多個(gè)． 答案解析 　　 1.Ｃ 2.Ａ 3. B 4. D 5． C 6. C 7．D 8．A．9．A 10. B 11．C 12．B 13. 14. 2 15． 48 16. . 17．解：……2分 （I） 由已知得，于是， ∴ ……6分 （Ⅱ） 根據(jù)正弦定理知： ......8分 ∵ ……10分 ∴ 或或 而， 所以，因此ABC為等邊三角形.……………12分 18.解：⑴設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品，一共有種不同的選法……1分， 選出的3種商品中，沒(méi)有家電的選法有種……2分 所以，選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為……4分 ⑵設(shè)顧客三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0，，，。（單元：元）……5分 表示顧客在三次抽獎(jiǎng)都沒(méi)有獲獎(jiǎng)，所以……6分 同理，……7分 ……8分 ……9分 顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是 ……10分2 由，解得……11分 A B D E C 所以故m最高定為元，才能使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利……12分。 19.證明：（Ⅰ）平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8， 沿直線BD將△BCD翻折成△ 可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8， 即， 故． ………………2分 ∵平面⊥平面，平面平面=，平面， ∴平面． ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且， 如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系． ………………5分 A B D E C x y z 則，，，． ∵E是線段AD的中點(diǎn)， ∴，． 在平面中，，， 設(shè)平面法向量為， ∴ ，即， 令，得，故． ………………8分 設(shè)直線與平面所成角為，則 ． ………………8分 ∴ 直線與平面所成角的正弦值為． ………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量為， 而平面的法向量為， ∴ ， 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角的余弦值為． ………………12分 20. 解：（1）設(shè)的公差為，則 數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列…………3 （2） 兩式相減： …………6分 …………8分 …………8 （3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大 …………12分 即 …………12 21.（1） （1分） 又，得 （2分） （2）設(shè)直線則 （3分） =0 （5分） （3）設(shè)直線 ，同理可得 （8分） 同理可得 （11分） （13分） 22解：（1） ，常數(shù)） 令，則， ……………………………… 2分 ①當(dāng)時(shí)，， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是……… 3分 ②當(dāng)時(shí)，， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是………… 4分 ③當(dāng)時(shí)，， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是……… 6分 （2）令， 令，則，………………………………………8分 因?yàn)椋?，? 從而在區(qū)間上，，即在上單調(diào)遞減 …… 10分 所以…………………………………… 11分 又，所以，即……… 12分 設(shè)（，則 所以在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無(wú)窮多個(gè)… 13分