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2019-2020年高三4月模擬考試 數(shù)學(xué)（文）試題 1.設(shè)全集，,,則集合B= Ａ． B． Ｃ． D． 2．若復(fù)數(shù)實部與虛部相等，則的值等于 Ａ．-1 Ｂ．3 Ｃ．-9 Ｄ．9 3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 Ａ． B． Ｃ． D． 4．函數(shù)的定義域為 A. B. C. D. 5. 設(shè)為偶函數(shù)“的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 6. 右圖給出了一個程序框圖，其作用是輸入的值，輸出相應(yīng)的值．若要使輸入的值與輸出的值相等，則這樣的值有 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 7．若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則實數(shù)a的值為 Ａ．－1或 B．1或3 Ｃ．－2或6 D．0或4 8．某校高一運動隊為了備戰(zhàn)校運動會需要購置一批運動鞋.已知該隊伍有20名同學(xué)，統(tǒng)計表如下表.由于不小心弄臟了表格，有兩個數(shù)據(jù)看不到： 下列說法正確的是( ) A．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是40，眾數(shù)是39. B．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)一定相等. C．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)P滿足39b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M(0,2)是橢圓的一個頂點，△F1MF2是等腰直角三角形． (1)求橢圓的方程； (2)過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝8，證明：直線AB過定點. 22．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，其中常數(shù)． （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）如果函數(shù)在公共定義域D上，滿足，那么就稱 為與的“和諧函數(shù)”．設(shè)，求證：當(dāng)時，在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無窮多個． 參考答案 一；選擇題 1：C 2:A 3:B 4:C 5:A 6:C 7:D 8:C 9:A 10:B 11:C 12：B 二：填空題 13:20 14:2 15: 16： 三：解答題 17．解：……2分 （I） 由已知得，于是， ∴ ……6分 （Ⅱ） 根據(jù)正弦定理知： ......8分 ∵ ……10分 ∴ 或或 而， 所以，因此ABC為等邊三角形.……………12分 18．解：正四面體投擲兩次，基本事件(b，c)共有4×4＝16個． (1)當(dāng)z＝4時，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)．所以P(z＝4)＝＝. (2)①若方程一根為x＝1， 則1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立． ②若方程一根為x＝2， 則4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以 ③若方程一根為x＝3， 則9－3b－c＝0，即3b＋c＝9.所以 ④若方程一根為x＝4， 則16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以 綜合①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3個，方程為“漂亮方程”的概率為P＝. 19.解 （1）證明：連結(jié)，∵四邊形是矩形，為中點， ∴為中點，--------------------------------------------------------------1分 在中，為中點，故--------------------------2分 ∵平面，平面，平面；---3分 （2）依題意知 且 ∴平面 ∵平面，∴，------------------4分 ∵為中點，∴ 結(jié)合，知四邊形是平行四邊形 ∴，----------------------------------------------------6分 而，∴ ∴，即- 又 ∴平面，---------------------------------8分 （3）：過F點作交AB于Q點，由（2）知△PAE為等腰直角三角形， ∴，從而,------------------------------------------9分 ∴， 又由（2）可知平面ABCD，-----------------------------------------10分 ∴,----------------12分 20. 解：（1）設(shè)的公差為，則 數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列…………3 （2） 兩式相減： …………6分 …………8分 …………8 （3）因為當(dāng)且僅當(dāng)時最大 …………12分 即 …………12 21.解 (1)因為b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝2， 故橢圓的方程為＋＝1. (2)證明：①若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，A點坐標(biāo)為(x1，y1)，B點坐標(biāo)為(x2，y2)， 聯(lián)立方程得，消去y，得 (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由題知k1＋k2＝＋＝8， 所以＋＝8， 即2k＋(m－2)＝8. 所以k－＝4，整理得m＝k－2. 故直線AB的方程為y＝kx＋k－2， 即y＝k－2. 所以直線AB過定點. ②若直線AB的斜率不存在，設(shè)直線AB的方程為x＝x0，A(x0，y0)，B(x0，－y0)， 則由題知＋＝8， 得x0＝－.此時直線AB的方程為x＝－，顯然直線AB過點. 綜上可知，直線AB過定點. 22.解：（1） ，常數(shù)） 令，則， ……………………………… 2分 ①當(dāng)時，， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是……… 3分 ②當(dāng)時，， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是………… 4分 ③當(dāng)時，， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是……… 6分 （2）令， 令，則，………………………………………8分 因為，所以，且 從而在區(qū)間上，，即在上單調(diào)遞減 …… 10分 所以……………………………………11分 又，所以，即……… 12分 設(shè)（，則 所以在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無窮多個… 13分