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2019-2020年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè) 數(shù)學(xué)（理）試題 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1. 設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A. －4 B. 4 C. －6 D. 6 2. 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，，與垂直，則是（ ） A. 1 B. 2 C. －2 D. －1 4. 若某空間幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. 2 D. 6 5. 設(shè)直線與的方程分別為與，則“”是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 6. 下列命題中（ ） ①三點(diǎn)確定一個(gè)平面； ②若一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則該直線與平面垂直； ③同時(shí)垂直于一條直線的兩條直線平行； ④底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的表面積為12。 正確的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 雙曲線的漸近線與圓相切，則等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 8. 已知集合， 。若存在實(shí)數(shù)，使得成立，稱(chēng)點(diǎn)為“￡”點(diǎn)，則“￡”點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)的個(gè)數(shù)是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 無(wú)數(shù)個(gè) 第Ⅱ卷 二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。 9. 的展開(kāi)式中的系數(shù)是 。（用數(shù)字作答） 10. 在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積是16，則實(shí)數(shù)的值為 。 11. 某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是8，則從集合中所有滿(mǎn)足條件的值為 。 12. 對(duì)于數(shù)列，如果存在最小的一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有成立，則稱(chēng)數(shù)列是周期為的周期數(shù)列。 設(shè)，周期為的數(shù)列前項(xiàng)的和分別記為，則三者的關(guān)系式是 。 13. 已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域均為，且它們?cè)谏系膱D像如圖所示，則不等式的解集是 。 14. 設(shè)函數(shù)，，，，則方程有 個(gè)實(shí)數(shù)根。 三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共80分。解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。 15. 已知函數(shù)。 （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）若是的內(nèi)角的對(duì)邊，，，且是函數(shù)在上的最大值，求：角，角及邊的大小。 16. 如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱底面，且，分別是線段的中點(diǎn)。 （1）求證：平面； （2）求證：平面； （3）求二面角的大小。 17. 有甲、乙等7名選手參加一次講演比賽，采用抽簽的方式隨機(jī)確定每名選手的演出順序（序號(hào)為1，2，…，7）。 （1）甲選手的演出序號(hào)是1的概率； （2）求甲、乙兩名選手的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率； （3）求甲、乙兩名選手之間的演講選手個(gè)數(shù)的分布列與期望。 18. 已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線與直線平行。 （1）求函數(shù)的解析式； （2）求函數(shù)在上的最小值。 19. 橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列。 （1）求證：； （2）設(shè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，求橢圓的方程。 20. 正數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，，常數(shù) （1）求證：是一個(gè)定值； （2）若數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，求該數(shù)列的周期； （3）若數(shù)列是一個(gè)有理數(shù)等差數(shù)列，求。 參考答案 一、選擇題 1-5 BDDCB 6-8 BAA 二、填空題 9. 5 10. 2 11. 0 12. 13. 14. 三、解答題 15. 解：（1）， （2）∵.∴，∴的最大值為3。 ∴，∵為三角形內(nèi)角，∴ 又，得，∵，∴ 由，得，∴ 16. 解法一：（1）證明：∵，分別是線段，的中點(diǎn)，∴。 又∵平面，平面， ∴平面。 （2）解，∵為的中點(diǎn)，且，∴， 又∵底面，底面，∴。 又∵四邊形為正方形，∴。 又∵，∴平面。 又∵平面，∴。 又∵，∴平面。 （3）∵平面，平面，∴平面平面， ∵平面，平面平面=，， ∴平面，∵分別是線段的中點(diǎn)， ∴，∴平面。∵平面，平面， ∴，∴， ∴就是二面角的平面角。 在中，， ∴，所以二面角的大小為。 解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ∴。 （1）證明：∵，， ∴ ∵平面，且平面， ∴平面。 （2）解：，，， ， 。 ∴ 又∵∴平面。 （3） 設(shè)平面的法向量為， 因?yàn)?，? 則取。 又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋? 所以， ∴，所以二面角的大小為。 17. 解：（1）設(shè)表示“甲選手的演出序號(hào)是1”， 所以。所以甲選手的演出序號(hào)是1的概率為。 （2）設(shè)表示“甲、乙兩名選手的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)”， 表示“甲、乙兩名選手的演出序號(hào)都是偶數(shù)”。 所以。 所以甲、乙兩名選手的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率為。 （3）的可能取值為0，1，2，3，4，5， 所以，，， ，，。 所以的分布列為 0 1 2 3 4 5 所以 18. 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)， 所以定義域?yàn)?，? 因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線與直線平行， 所以，即。 所以。所以。 （2）由（Ⅰ），令，得。 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增。 所以①若時(shí)，函數(shù)的最小值是； ②若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值是。 19. 解：（1）由題設(shè)，得， 由橢圓定義，所以，。 設(shè)，，，，代入橢圓的方程，整理得 則 于是有，化簡(jiǎn)，得，故，。 （2）由（1）有，方程可化為 設(shè)中點(diǎn)為，則， 又，于是。 由知為的中垂線，， 由，得，解得， 故，橢圓的方程為。 20. 解：證明：（1） （1） （2） （2）－（1）： ∵ ∴ （2）計(jì)算，∴ 根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)： 當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列，所以時(shí)，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)： 所以當(dāng)且時(shí)，該數(shù)列的周期是2， 當(dāng)時(shí)，該數(shù)列的周期是1， （3）因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)有理數(shù)等差數(shù)列，所以化簡(jiǎn)，是有理數(shù) 設(shè)，是一個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)為，，均是非負(fù)整數(shù) 時(shí)， 時(shí)可以分解成8組，其中只有，符合要求，此時(shí)， 解法二 ， 等差數(shù)列的前幾項(xiàng)： 因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)有理等差數(shù)列 是一個(gè)自然數(shù)， 此時(shí) 如果沒(méi)有理由，猜想：，解答 得2分 得2分