絕密★啟用前 2019-2020年高二下學期期末聯(lián)考 理科數(shù)學試題 含答案 題號 一 二 三 總分 得分 評卷人 得分 一、選擇題 A．m B．m C．m D．m 4．若，滿足約束條件，則的最大值為（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 5．已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知直線與,給出如下結論： ①不論為何值時,與都互相垂直; ②當變化時, 與分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(-1,0); ③不論為何值時, 與都關于直線對稱; ④當變化時, 與的交點軌跡是以AB為直徑的圓(除去原點). 其中正確的結論有（ ）. A．①③ B．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②③④ 7．奇函數(shù)上為增函數(shù),且,則不等式的解集為( ). A B. C D 8．如圖,是正方形ABCD的內(nèi)接三角形,若,則點C分線段BE所成的比為( ). A. B. C. D. 9．對于函數(shù),下列說法正確的是( ). A.的值域是 B.當且僅當時,取得最小值-1 C.的最小正周期是 D.當且僅當時, 10．已知角α的終邊上一點的坐標為(，－)，則角α的正弦值為( ) A．－　 B. C．－ D. 11．的值為( ) A. B．－ C. D．－ 12．為了得到函數(shù)y＝2sin2x的圖象，可將函數(shù)y＝4sin·cos的圖象( ) A．向右平移個單位 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向左平移個單位  第II卷（非選擇題） 評卷人 得分 二、填空題 13．下列命題： ①中，若,則； ②若A，B，C為的三個內(nèi)角，則的最小值為 ③已知，則數(shù)列中的最小項為； ④若函數(shù)，且，則； ⑤函數(shù)的最小值為. 其中所有正確命題的序號是 14．已知且，，則 15．數(shù)列的首項為,前n項和為 ,若成等差數(shù)列,則 16．若θ角的終邊與的終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是_____． 評卷人 得分 三、解答題 17．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、,已知、、成等比數(shù)列，且. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設,求、的值. 18．已知定點，，動點到定點距離與到定點的距離的比值是. （Ⅰ）求動點的軌跡方程，并說明方程表示的曲線； （Ⅱ）當時，記動點的軌跡為曲線. ①若是圓上任意一點，過作曲線的切線，切點是，求的取值范圍； ②已知，是曲線上不同的兩點，對于定點，有.試問無論，兩點的位置怎樣，直線能恒和一個定圓相切嗎？若能，求出這個定圓的方程；若不能，請說明理由. 19．數(shù)列滿足,且. （1）求 （2）是否存在實數(shù)t,使得,且{}為等差數(shù)列?若存在,求出t的值;若不存在，說明理由. 20．已知某海濱浴場的海浪高達y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作y＝f(t)．下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù). t(時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式； (2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多長時間可供沖浪者進行運動？ 21．設函數(shù)f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為. (1)求ω的值； (2)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值． 22．設定義在上的函數(shù),滿足當時, ,且對任意,有, （1）解不等式 （2）解方程 參考答案 1．D 【解析】 試題分析：依題意，此幾何體為組合體，若上下兩個幾何體均為圓柱，則俯視圖為A 若上邊的幾何體為正四棱柱，下邊幾何體為圓柱，則俯視圖為B； 若俯視圖為D，則正視圖中應有虛線，故該幾何體的俯視圖不可能是D 若上邊的幾何體為底面為等腰直角三角形的直三棱柱，下面的幾何體為正四棱柱時，俯視圖為C； 故選D 考點：三視圖 點評：簡單題，三視圖問題，關鍵是理解三視圖的畫法規(guī)則，應用“長對正，高平齊，寬相等”，確定數(shù)據(jù)。 2．C 【解析】 試題分析：因為，在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列。，， 所以，由，解得，=24，故選C。 考點：等差數(shù)列的求和公式 點評：簡單題，在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列。多掌握些“小結論”，有助于靈活解題。 3．B 【解析】 試題分析：依題意，在三角形ABC中，，角B=45°，角BAC=45°-15°=30°， 所以由正弦定理得，，故選B。 考點：正弦定理的應用 點評：簡單題，利用三角形內(nèi)角關系，確定角創(chuàng)造了應用正弦定理的條件。 4．D 【解析】 試題分析：畫出可行域及直線，平移直線，當直線經(jīng)過點A（3，－3）時，直線的縱截距最小，所以，取得最大值9，選D。 考點：簡單線性規(guī)劃問題 點評：簡單題，簡單線性規(guī)劃問題，解答步驟是“畫，移，解，答”。本題中y的系數(shù)為負數(shù)，應特別注意平移的方向。 5．D 【解析】 試題分析：在等差數(shù)列中，若則。 因為，兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且， 所以，=， 為使為整數(shù)，須n+1為2，3，4，6，12，共5個，故選D。 考點：等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的求和公式。 點評：中檔題，在等差數(shù)列中，若則。本題較為典型。 6．B 【解析】 試題分析：與互相垂直的條件是，a×1+1×(-a)=0，所以，①正確； 由直線系方程，知，②當變化時, 與分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(-1,0)，正確； 當時，由，兩方程消去a， 并整理得，，即，表示以AB為直徑的圓(除去原點)，結合選項可知選B。 考點：直線系方程，圓的方程。 點評：中檔題，本題綜合性較強，較全面考查了兩直線的位置關系，直線系的概念以及圓的方程。 7．C 【解析】 試題分析：因為，奇函數(shù)上為增函數(shù), 所以當 時； 故選C。 考點：函數(shù)的奇偶性、單調性 點評：簡單題，此類問題往往借助于函數(shù)圖像分析。奇函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱。 8．B 【解析】 試題分析：設， 則， ,,, 解得，所以 故選B。 考點：平面向量的應用 點評：簡單題，平面向量在平面幾何中的應用，一般借助于圖形，發(fā)現(xiàn)向量之間的關系，利用向量的線性運算，加以解答。 9．D 【解析】 試題分析：本題給出的函數(shù)可以描述為中取較小的值。 可以先大致畫出題目中的函數(shù)圖象， 如圖：圖中的細線分別是的圖象， 粗線為的圖像。 從圖象中可以判斷D正確。 下邊說明各個選項：A中1包含于值域之內(nèi)，則在至少有一個為1，并且是較小的那個。令這與其取法矛盾，A錯誤。 B中, 這與題面“當且僅當”沖突。B錯誤。 C中，若題面正確，則有 而,所以題面錯誤。 D中，，此時x在第一象限，選D。 考點：三角函數(shù)的圖象和性質 點評：中檔題，正確理解函數(shù)的意義，畫出的圖象，是解題的關鍵。 10．A 【解析】 試題分析：因為，角α的終邊上一點的坐標為(，－)，所以，r=， =－，選A。 考點：三角函數(shù)的定義 點評：簡單題，角終邊上一點P的坐標（x，y）,r=|OP|=，則. 11．C 【解析】 試題分析：=，選C。 考點：兩角和差的正切公式 點評：簡單題，通過“1”的代換，創(chuàng)造應用公式的條件，是常見變形技巧。 12．C 【解析】 試題分析：因為，y＝4sin·cos=，所以，為了得到函數(shù)y＝2sin2x的圖象， 只需將y＝4sin·cos=向右平移個單位，故選C。 考點：二倍角的正弦，三角函數(shù)圖象的變換。 點評：小綜合題，為研究三角函數(shù)的圖象和性質，往往利用三角公式首先化簡。函數(shù)圖象的平移遵循“左加右減，上加下減”。 13．②③ 【解析】 試題分析：①△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理 得0＜sinA＜sinB，又cos2A=1-2sin2A，cos2B=1-2sin2B， 所以cos2A＞cos2B，①錯誤． ②因為A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π 所以=1， 原式等價于 = ， 當且僅當，即α=2β時取等號．所以②正確． ③因為=2+，因為1≤≤3， 所以設t=，則1≤t≤3．因為函數(shù)y=t+-2在區(qū)間（0，4）上單調遞減，所以在[1，3]上單調遞減，因此，當t=3時，函數(shù)有最小值3+-2=，則對應數(shù)列{an}中的最小項為，所以③正確． ④令g（x）=，則函數(shù)g（x）的幾何意義為曲線上點與原點連線斜率的大?。深}意可知，分別看作函數(shù)f（x）=log2（x+1）圖象上的點（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））與原點連線的斜率，由圖象可知，，所以④錯誤． ⑤因為，，問題轉化成點P（x，0）到A（1，2），B（2，3）距離之和的最小值。原式等價為|PA|+|PB|的最小值，找出點A關于x軸的對稱點D（1，-2）． 則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值為|PD|=． 所以，⑤錯誤．故答案為：②③． 考點：正弦定理的應用，均值定理的應用，對號函數(shù)的性質，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質。 點評：難題，本題綜合性較強，難度較大。靈活的對問題實施轉化，是解題的關鍵。 14． 【解析】 試題分析：因為，，， ， 故答案為 考點：和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的同角公式。 點評：中檔題，應用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，變角是常用技巧。如等。 15． 【解析】 試題分析：分別以代入原式，可以得到數(shù)列的一個遞推關系式，進而得到通項公式的結果。所以，所以這是一個以2為公比的等比數(shù)列。把1代入，得，，得到通項公式為. 考點：數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列的通項公式。 點評：中檔題，當給定數(shù)列的關系時，通過“賦值”，進一步確定數(shù)列的特征，是常用的手段之一 16．，，，. 【解析】 試題分析：依題意，=2kπ+，k∈z， ∴，k∈z， 又∈[0，2π]， ∴k=0，=； k=1，α=； k=2，α=； k=3，α=． 故答案為：，，，. 考點：終邊相同的角 點評：簡單題，與角終邊相同的角的集合為。對指定范圍的角，只需指定k的值。 17．（Ⅰ）.（Ⅱ）或. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）、、成等比數(shù)列,， 2分 = 6分 （Ⅱ）,即,而， 所以①， 8分 由余弦定理，2=,，② 10分 由①②解得或 12分 考點：等比中項，平面向量的數(shù)量積，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理、余弦定理的應用。 點評：中檔題，本題綜合性較強，綜合考查等比中項，平面向量的數(shù)量積，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理、余弦定理的應用。思路比較明確，難度不大。 18．（Ⅰ）， 方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓. （Ⅱ）當時，曲線的方程是，曲線表示圓，圓心是，半徑是. ①. ②動直線與定圓相切. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）設動點的坐標為，則由，得， · · D O · E M N x y 整理得: . ， 當時，則方程可化為：，故方程表示的曲線是線段的垂直平分線； 當時，則方程可化為， 即方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓. 5分 （Ⅱ）當時，曲線的方程是， 故曲線表示圓，圓心是，半徑是. ①由，及有： 兩圓內(nèi)含，且圓在圓內(nèi)部.如圖所示，由有: ,故求的取值范圍就是求的取值范圍.而是定點，是圓上的動點，故過作圓的直徑，得，，故，. 9分 ②設點到直線的距離為，， 則由面積相等得到，且圓的半徑. 即于是頂點 到動直線的距離為定值， 即動直線與定圓相切. 考點：圓的方程，圓與圓的位置關系，直線與圓的位置關系。 點評：難題，本題確定軌跡方程，利用了“直接法”，對于參數(shù)的討論，易出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象。本題確定點到直線的距離，轉化成面積計算，不易想到。 19．（1），。 （2），，。 【解析】 試題分析：（1） （2）設存在t滿足條件，則由為等差，設 求的通項公式. 分析：可以直接使用2的結論簡化計算。 解答： 在（2）中，， ，。 考點：數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的通項公式。 點評：中檔題，對于存在性問題，往往需要先假定存在，利用已知條件探求得到假設，從而肯定存在性。本題首先假設出公差d和t，通過構造、變換已知等式，又經(jīng)過對比，得到公差d和t。 20．(1) y＝cost＋1. (2)在規(guī)定時間上午8：00至晚上2：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00. 【解析】 試題分析：(1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12， ∵ω＝＝＝. 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5. 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0. ∴A＝0.5，b＝1，∴振幅為， ∴y＝cost＋1. (2)由題意知，當y>1時才可對沖浪者開放． ∴cost＋1>1，∴cost>0. ∴2kπ－<t<2kπ＋， 即12k－3<t<12k＋3. ∵0≤t≤24，故可令k分別為0、1、2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24. ∴在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00. 考點：函數(shù)模型，三角函數(shù)的圖象和性質。 點評：中檔題，作為一道實際應用問題，首先應“審清題意，明確函數(shù)模型，解答數(shù)學問題”。余弦形函數(shù)的圖像和性質，可類比正弦型函數(shù)的圖象和性質加以研究。本題與不等式解法相結合，注意將數(shù)字轉化成時刻。 21．(1)ω＝.(2) a＝. 【解析】 試題分析：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a ＝sin＋＋a. 依題意得2ω·＋＝，解得ω＝. (2)由(1)知，f(x)＝sin＋＋a. 又當x∈時，x＋∈， 故≤sin≤1， 從而f(x)在上取得最小值＋＋a. 由題設知＋＋a＝，故a＝. 考點：和差倍半的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質。 點評：中檔題，本題較為典型，即首先利用和差倍半的三角函數(shù)公式，將三角函數(shù)式“化一”，進一步研究函數(shù)的圖像和性質。本題（2）給定了自變量的較小范圍，應注意確定的范圍，進一步確定函數(shù)的最值。 22．(1)先證,且單調遞增，；(2) . 【解析】 試題分析：(1)先證,且單調遞增， 因為,時, 所以. 又， 假設存在某個，使， 則與已知矛盾，故 任取且,則,, 所以= = =. 所以時,為增函數(shù). 解得: (2),, ,原方程可化為:, 解得或（舍) 考點：函數(shù)的奇偶性、單調性，抽象函數(shù)、抽象不等式的解法，“賦值法”。 點評：難題，涉及抽象不等式解法問題，往往利用函數(shù)的奇偶性、單調性，將抽象問題轉化成具體不等式組求解，要注意函數(shù)的定義域。抽象函數(shù)問題，往往利用“賦值法”，通過給自變量“賦值”，發(fā)現(xiàn)結論，應用于解題。本題較難，構造結構形式，應用已知條件，是解答本題的一大難點。