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2019-2020年高二4月月考 數(shù)理 含答案 一． 選擇題（每小題5分，共60分） 1.已知向量的夾角為 ( ) A.0° B.45° C.90° D.180° 2．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b與2 a－b互相垂直，則的值是（ ） A． 1 B． C． D． 3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）． A． B． C． D． 4.已知 ( ) A. B.5，2 C. D.-5，-2 5．函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù) 在內(nèi)的圖象如圖所示， 則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn) （　　 ） 　 A．　1個(gè)　　　B．2個(gè)　　　C．3個(gè)　　　　D． 4個(gè) 6．已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是 （ ） A． B． C． D． 7．由拋物線與直線所圍成的圖形的面積是（ ）． A． B． C． D． 8. 已知函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于 （ ） A．　　　B．２　　　C．－２　　D．０ 9．函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)=（ ） A． B． C． D． 10．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（ ） A． B． C． D． 11.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是 ( ) A. B. C. D. 12．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ ） 第II卷 二． 填空題（每小題4分，共16分） 13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________________． 14．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則___________． 15．正四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，則側(cè)棱與底面所成的角為 ． 16． ___________ . 三． 解答題（解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 17．（本小題12分） 已知，求的值. 18.（本小題12分） 已知函數(shù)在處取得極值. (1)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值; (2)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線,求此切線方程. A E D C B A1 F D1 C1 B1 19．（本小題12分） 如右下圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1． （1）求直線EC1與FD1所成的余弦值． （2）求二面角C-DE-C1的正切值； 20．（本小題12分） 用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ 21．（本小題12分） 如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1． Q P D C B A （1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)P、B、D的坐標(biāo)； （2）問當(dāng)實(shí)數(shù)a在什么范圍時(shí)，BC邊上能存在點(diǎn)Q， 使得PQ⊥QD？ （3）當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥QD時(shí)， 求二面角Q-PD-A的大?。? 22.（本小題14分） 已知 （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 （2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。 （3）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)，使，函數(shù)有最小值－3？ 高二月考數(shù)學(xué)（理科）答案 一．選擇題 CDBAA DAADB BD 二．填空 13. 14. 32 15. 16. 5 17.解：由………………………………3分 又即 ………………………………………………6分 由①②有： ………………10分 …………………………………………12分 18．解：（1），依題意， ，即 解得 ┅┅ （3分） ∴，∴ 令，得 若，則 故在上是增函數(shù)； 若，則 故在上是減函數(shù)； 所以是極大值，是極小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分） （2）曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上。 設(shè)切點(diǎn)為，則 由知，切線方程為 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分） 又點(diǎn)在切線上，有 化簡(jiǎn)得 ，解得 所以切點(diǎn)為，切線方程為 ┅┅┅┅┅┅ （12分） 19．（1）如圖，以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz，則有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4， 3，2)． 于是，， ． 設(shè)EC1與FD1所成角為b，則 ． ………4分 （2）設(shè)向量與平面C1DE垂直，則有 ． ∴其中z＞0． 取n0=(-1，-1，2)，則n0是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量． ∵向量=（0，0，2）與平面CDE垂直， ∴n0與所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角． ∵， ………………10分 ∴． ………………………………………………12分 20．解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），則長(zhǎng)為2x(m)， 則高為. ………2分 故長(zhǎng)方體的體積為 ………………4分 從而 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. ……………8分 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜時(shí)，V′（x）＜0， 故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x）的最大值。 ………10分 從而最大體積V＝9×12-6×13（m3），此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m，高為1.5 m. ┅11分 答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m3。 12分 z Q P D C B A y x M N 21．（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP分 別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖所示． ∵PA=AB=1，BC=a， ∴P（0，0，1），B（1，1，0）， D（0，a，0）． …………2分 （2）設(shè)點(diǎn)Q（1，x，0），則 ． 由，得x2-ax+1=0． 顯然當(dāng)該方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，BC邊上才存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0． 因a>0，故a的取值范圍為a≥0． ……………6分 （3）易見，當(dāng)a=2時(shí)，BC上僅有一點(diǎn)滿足題意，此時(shí)x=1，即Q為BC的中點(diǎn)． 取AD的中點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥PD，垂足為N，連結(jié)QM、QN．則M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）． ∵D、N、P三點(diǎn)共線， ∴． 又，且， 故． 于是． 故． ∵， ∴． ∴∠MNQ為所求二面角的平面角． ∵， ∴所求二面角為． …………………………12分 22．（1）當(dāng)a=1時(shí)， 或遞減; 遞增; ……3分 （2） ①當(dāng)遞增; ②當(dāng)遞增; ③當(dāng)或遞增; ④當(dāng)遞增; ⑤當(dāng)或遞增; …………8分 （3）因由②分兩類（依據(jù)：?jiǎn)握{(diào)性，極小值點(diǎn)是否在區(qū)間[-1,0]上是分類“契機(jī)”： ①當(dāng) 遞增，，解得 ②當(dāng)由單調(diào)性知：，化簡(jiǎn)得：，解得 不合要求； 綜上，為所求。 ………………………………14分