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2019-2020年高三尖子生綜合素質(zhì)展示 理科數(shù)學(xué)試題 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 1．計算 得 ( ) A． B. C. D. 2.某程序的框圖如圖所示，則運行該程序后輸出的的值是 ( ) A． B． C． D． 3．直線，都是函數(shù)的對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則( ) A． B．， C . ， D．， 4．函數(shù)在坐標(biāo)原點附近的圖象可能是 5. 等差數(shù)列的前項的和為，若，則（ ） A. 9 B.12 C.15 D.18 6．已知函數(shù) 則“”是“在上單調(diào)遞減”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 7. 直線與圓相交于不同的A,B兩點（其中是實數(shù)）， 且(O是坐標(biāo)原點)，則點P與點距離的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 8．對于任意，表示不超過的最大整數(shù)，如. 定義上的函 數(shù)，若，則中所有元素的和為（ ） A．55 B. 58 C.63 D.65 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上. 9．已知為雙曲線C: 的左、右焦點，點P在C上，若則= . 10.設(shè)函數(shù)在內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且有以下數(shù)據(jù)： 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 2 1 3 1 4 2 2 4 1 3 則曲線在點處的切線方程是 ；函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值是 ． 11．已知在上的最大值為2，則最小值為 . 12．設(shè)，則的值是 ； 的值是 . 13. 已知M、N是所圍成的區(qū)域內(nèi)的不同兩點，則的最大值是 . 14．已知下列四個命題： ① 函數(shù)滿足：對任意，有； ② 函數(shù),均是奇函數(shù)； ③ 若函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱圖形，且滿足，那么； ④ 設(shè)是關(guān)于的方程的兩根，則. 其中正確命題的序號是 . 三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. 15．（本小題滿分13分） 已知角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函數(shù)， 求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 16．（本小題滿分13分） 現(xiàn)有10000元資金可用于廣告宣傳或產(chǎn)品開發(fā)．當(dāng)投入廣告宣傳和產(chǎn)品開發(fā)的資金分別為和時，得到的回報是．求投到產(chǎn)品開發(fā)的資金應(yīng)為多少時可以得到最大的回報. 17．（本小題滿分13分） 設(shè)數(shù)列的前項和為，已知， （ （Ⅰ）求的表達式； （Ⅱ）若數(shù)列的前項和為，問：滿足的最小正整數(shù)是多少？ 18．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)， （Ⅰ）若時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）令，是否存在實數(shù)，當(dāng)（是自然對數(shù)的底）時，函數(shù) 的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由． 19．（本小題滿分13分） 已知的頂點A、B在橢圓 （Ⅰ）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點O時，求AB的長及的面積； （Ⅱ）當(dāng)，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程. 20．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，如果存在給定的實數(shù)對（），使得恒成立，則稱為“S-函數(shù)”. （Ⅰ）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”； （Ⅱ）若是一個“S-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對； （Ⅲ）若定義域為的函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，當(dāng)時，的值域為，求當(dāng)時函數(shù)的值域. 順義區(qū)xx屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示 數(shù)學(xué)試題參考答案（理科） 一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分。 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 選項 B A C A B C D B 8．解答： ，， ，，， ，， 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上，有兩空的題目，第一空3分，第二空2分。 9. 17 10. ，12 11. 0 12. ； 13. 14. ①②④ 三、解答題: 本大題共4小題,共30分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程. 15．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）因為角終邊經(jīng)過點，所以 ，， ------------3分 ---------6分 (2) ，--------8分 ----10分 ，------------------12分 故：函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是 ---------------------------13分 16. （本小題滿分13分） 解：由于，所以． ------------------------4分 考慮，由得， -----------------------------8分 由于當(dāng)時，；當(dāng)時，，---------10分 所以是的極大值點，從而也是的極大值點．---------------12分 故當(dāng)投到產(chǎn)品開發(fā)的資金為元時，得到的回報最大. ----------------13分 17．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）當(dāng)時， ……2分 數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列 ∴ ……6分 （Ⅱ）數(shù)列的前項和為 ……10分 滿足的最小正整數(shù)是12. ……13分 18．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）當(dāng)時， ………1分 所以，又 ………2分 所以曲線在點處的切線方程為；………3分 （Ⅱ）因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以： 在上恒成立， ………4分 令 ，有 得 ………6分 得 ； ………7分 （Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)，使（）有最小值3， ①當(dāng)時，，所以： 在上單調(diào)遞減，，（舍去）， ②當(dāng)時，在上恒成立 所以在上單調(diào)遞減，，（舍去） ………10分 ③當(dāng)時，令， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ，，滿足條件． ………12分 綜上，存在實數(shù)，使得當(dāng)時有最小值3． ………14分 19．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）因為且AB通過原點（0，0），所以AB所在直線的方程為 由得A、B兩點坐標(biāo)分別是A（1，1），B（-1，-1）。 ………2分 又的距離。 ………5分 （Ⅱ）設(shè)AB所在直線的方程為 由 因為A，B兩點在橢圓上，所以 即 ………7分 設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為，則 且 ………8分 ………9分 又的距離， 即 邊最長。（顯然） ………12分 所以，AB所在直線的方程為 ………13分 20．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)，使得 (a+x)(a-x)=b. 即x2=a2-b時，對x?R恒成立.而x2=a2-b最多有兩個解，矛盾， 因此不是“S-函數(shù)”.……………………………………………………2分 若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a,b使得， 即存在常數(shù)對（a, 32a）滿足. 因此是“S-函數(shù)”………………………………………………………4分 （Ⅱ）是一個“S-函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對（a, b）滿足: 則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立. 當(dāng)a=時，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常數(shù) ……………5分 因此，, 則有. 即恒成立. ………………………7分 即, 當(dāng),時，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1. 因此滿足是一個“S-函數(shù)”的常數(shù)（a, b）=.…9分 (Ⅲ) 函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和， 于是 即, ，.……………………10分 ……11分 因此, ……………………………………13分 綜上可知當(dāng)時函數(shù)的值域為.……………14分 說明：其它正確解法按相應(yīng)步驟給分.