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1、第 18講 三角形與全等三角形 浙江專用 1 三角形的邊、角關系 三角形的任意兩邊之和 ____第三邊；三角形的內(nèi)角和等于 ____三角 形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的 ____三角形具有穩(wěn)定性 2 三角形的分類 按角可分為 _______________和 _____________， 按邊可分為 __________________和 _______________ 大于 180 直角三角形 斜三角形 不等邊三角形 等腰三角形 和 3 三角形的主要線段 定義 圖形 性質 角 平 分 線 一個角的頂點和這個 角的平分線與對邊的 交點之間的線段叫做 三

2、角形的角平分線 1 2 中 線 連接三角形的一個頂 點和它對邊中點的線 段叫做三角形的中線 BD DC 高 三角形的一個頂點和 它對邊所在直線的垂 線段叫做三角形的高 AD BC 即 A DB ADC 90 中 位 線 連接三角形兩邊中點 的線段 ， 叫做三角形 的中位線 DE BC 且 DE 1 2 BC 4.全等三角形的性質和判定 (1)性質：全等三角形對應邊相等 ， 對應角相等注意：全等三角形對應 邊上的高、中線相等；對應角的平分線相等；全等三角形的周長、面積 也相等 (2)判定： ________________對應相等的兩

3、個三角形全等 (SAS)； _________________對應相等的兩個三角形全等 (ASA)； _________________________對應相等的兩個三角形全等 (AAS)； ___________對應相等的兩個三角形全等 (SSS)； _______________________對應相等的兩個直角三角形全等 (HL) 兩邊和夾角 兩角和夾邊 兩角和其中一角的對邊 三邊 斜邊和一條直角邊 1 判斷三條線段能否構成三角形時 ， 要注意不能只考察任意兩邊之和 大于第三邊就下結論 ， 應該按照較小兩邊的和是否大于最大邊來判斷 2 三角形的中位線與中線

4、的區(qū)別：三角形的中線是連結頂點與對邊中 點的線段 ， 而中位線是連結三角形兩邊中點的線段 3 三角形內(nèi)外角性質的運用技巧 進行三角形角度計算時 ， 常常利用方程求解 4 構造三角形中位線 有關中點問題 ， 常作輔助線構造三角形中位線 ， 利用三角形中位線解決 問題 5 證明三角形全等的三種基本思路 (1)有兩邊對應相等時 ， 找夾角相等或第三邊對應相等； (2)有一邊和一角對應相等時 ， 找另一角相等或夾等角的另一邊相等； (3)有兩個角對應相等時 ， 找一對邊對應相等 另外 ， 在尋求全等條件時 ， 要善于挖掘圖形中公共邊 、 公共角 、 對頂角 等隱含條件 1

5、 (2016西寧 )下列每組數(shù)分別是三根木棒的長度 ， 能用它們擺成三角 形的是 ( ) A 3 cm， 4 cm， 8 cm B 8 cm， 7 cm， 15 cm C 5 cm， 5 cm， 11 cm D 13 cm， 12 cm， 20 cm 2 (2016金華 )如圖 ， 已知 ABC BAD， 添加下列條件還不能判定 ABC BAD的是 ( ) A AC BD B CAB DBA C C D D BC AD D A 3 (2016麗水 )如圖 ， 在 ABC中 ， A 63 ， 直線 MN BC， 且分別與 AB， AC相交于點 D， E， 若

6、 AEN 133 ， 則 B的度 數(shù)為 ___________ 70 4 (2016金華 )如圖 ， 已知 AB CD， BC DE， 若 A 20 ， C 120 ， 則 AED的度數(shù)是 _______ 80 三角形的三邊關系 【例 1 】 ( 1 ) ( 2 0 1 6 長沙 ) 若一個三角形的兩邊長分別為 3 和 7 ， 則第三邊 長可能是 ( ) A 6 B 3 C 2 D 11 ( 2 ) ( 2 0 1 5 巴中 ) 若 a ， b ， c 為三角形的三邊 ， 且 a ， b 滿足 a 2 9 (b 2) 2 0 ， 則第三邊 c 的取

7、值范圍是 __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ A 1 c 5 【 點評 】 三角形三邊關系性質的實質是 “ 兩點之間 ， 線段最短 ” 根據(jù)三角形的三邊關系 ， 已知三角形的兩邊 a， b， 可確定三角形第三 邊長 c的取值范圍是 |a b| c a b. 對應訓練 1 ( 1 ) ( 2 0 1 6 鹽城 ) 若 a ， b ， c 為 A B C 的三邊長 ， 且滿足 |a 4| b 2 0 ， 則 c 的值可以為 ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 ( 2 ) 若一個三角形三邊長分別為 2 ， 3 ， x ，

8、則 x 的值可以為 __ __ ( 只需填 一個整數(shù) ) A 4 三角形的內(nèi)角、外角的性質 【 例 2】 (1)如圖 ， 把一塊含有 30 角 ( A 30 )的直角三角板 ABC 的直角頂點放在矩形 CDEF的一個頂點 C處 ， 矩形的另一個頂點 F與三 角板斜邊相交于點 F， 如果 1 40 ， 那么 AFE ( ) A 50 B 40 C 20 D 10 D (2)一個零件的形狀如圖所示 ， 按規(guī)定 A 90 ， B和 C分別是 32 和 21 ， 檢驗工人量得 BDC 148 ， 就斷定這個零件不合格 ， 請說明理由 解：延長 BD交 AC

9、于 E(圖略 ) DEC是 ABE的外角 ， DEC A B 90 32 122 .同理 BDC C DEC 21 122 143 148 ， 這個零件不合格 【 點評 】 有關求三角形角的度數(shù)的問題 ， 首先要明確所求的角和 哪些三角形有密切聯(lián)系 ， 若沒有直接聯(lián)系 ， 可添加輔助線構建 “ 橋 梁 ” 對應訓練 2 (1)(2016樂山 )如圖 ， CE是 ABC的外角 ACD的平分線 ， 若 B 35 ， ACE 60 ， 則 A ( ) A 35 B 95 C 85 D 75 C (2)(2016大慶 )如圖 ， 在 ABC中 ，

10、 A 40 ， D點是 ABC和 ACB角平分線的交點 ， 則 BDC _________ 110 全等三角形的判定 【 例 3】 (1)(2016永州 )如圖 ， 點 D， E分別在線段 AB， AC上 ， CD與 BE 相交于 O點 ， 已知 AB AC， 現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定 ABE ACD( ) A B C B AD AE C BD CE D BE CD D (2)(2016泉州 )如圖 ， ABC， CDE均為等腰直角三角形 ， ACB DCE 90 ， 點 E在 AB上 求證： CDA CEB. 證明： A B C ， C DE

11、 均為等腰直角三角形 ， A C B DC E 90 ， CE CD ， BC AC ， AC B AC E DC E AC E ， E C B DC A ， 在 C D A 與 C EB 中 ， BC AC ， ECB D C A ， EC DC ， C D A C EB ( S AS ) 【 點評 】 判定兩個三角形全等的一般方法有： SSS， SAS， ASA ， AAS， HL.注意： AAA， SSA不能判定兩個三角形全等 ， 判定兩 個三角形全等時 ， 必須有邊的參與 ， 若有兩邊一角對應相等時 ， 角 必須是兩邊

12、的夾角 對應訓練 3 (1)(2016濟寧 )如圖 ， ABC中 ， AD BC， CE AB， 垂足分別 為 D， E， AD， CE交于點 H， 請你添加一個適當?shù)臈l件： _____________________________________， 使 AEH CEB. AH CB等 (只要符合要求即可 ) (3 ， 4 ) 或 ( 9625 ， 7225 ) 或 ( 2125 ， 2825 ) (2)(2016丹東 )如圖 ， 在平面直角坐標系中 ， A， B兩點分別在 x軸、 y軸上 ， OA 3， OB 4， 連結 AB.點 P在平面內(nèi) ， 若以點 P， A， B為 頂

13、點的三角形與 AOB全等 (點 P與點 O不重合 )， 則點 P的坐標為 _____________________________________________ 點撥：如圖所示 ， OA 3 ， OB 4 ， P 1 ( 3 ， 4 ) ； 連結 OP 2 交 AB 于點 D ， 由題可知 A OB AP 2 B ， OB P 2 B ， OA P 2 A ， AB 垂直平分 OP 2 ， 過 P 2 作 PG x 軸于點 G. S AOB 1 2 OA OB 1 2 OD A B ， OD 12 5 ， OP 2 2 OD 24 5 ， 易知

14、 A OB P 2 GO ， OG OB P 2 G AO OP 2 BA 24 5 5 ， OG 96 25 ， P 2 G 72 25 ， 故 P 2 坐標為 ( 96 25 ， 72 25 ) 過 P 3 作 P 3 H x 軸于 H ， 易知四邊形 AP 2 BP 3 為矩形 ， P 2 AP 3 90 ， P 2 AG P 3 AH 90 . 又 AP 2 G P 2 AG 90 ， AP 2 G P 3 AH ， 又 P 3 HA P 2 GA 90 ， P 3 AH AP 2 G ， P 3 H AG A

15、H P 2 G AP 3 P 2 A 4 3 ， P 3 H 28 25 ， AH 96 25 ， OH 96 25 3 21 25 ， 則 P 3 ( 21 25 ， 28 25 ) 綜 上所述 ， P 點坐標為 ( 3 ， 4 ) 或 ( 96 25 ， 72 25 ) 或 ( 21 25 ， 28 25 ) 全等三角形的判定和性質的綜合運用 【 例 4】 (2016常德 )已知四邊形 ABCD中 ， AB AD， AB AD， 連結 AC， 過點 A作 AE AC， 且使 AE AC， 連結 BE， 過 A作 AH CD于 H， 交 BE于 F. (1)如圖

16、 ， 當 E在 CD的延長線上時 ， 求證： ABC ADE； BF EF； (2)如圖 ， 當 E不在 CD的延長線上時 ， BF EF還成立嗎 ？ 請證明你的 結論 證明： ( 1 ) 如圖 ， AB AD ， AE AC ， B AD 90 ， C A E 90 ， 1 2 ， 在 A B C 和 ADE 中 ， AB AD ， 1 2 ， AC AE ， A B C A DE ( S AS ) ； 如圖 ， A B C ADE ， A E C 3 ， 在 Rt AC E 中 ， AC E

17、A EC 90 ， B C E 90 ， AH CD ， AE AC ， CH HE ， A HE B C E 90 ， BC FH ， BF FE CH H E 1 ， BF EF ； ( 2 ) 結論仍然成立 ， 理由是：如圖 所示 ， 過 E 作 MN AH ， 分別交 BA ， CD 的延長線于 M ， N ， C A E 90 ， B A D 90 ， 1 2 90 ， 1 C A D 90 ， 2 C A D ， MN AH ， 3 H A E ， A C H C A H 90

18、 ， C A H H A E 90 ， AC H H A E ， 3 AC H ， 在 M A E 和 D A C 中 ， 2 C AD ， AE AC ， 3 A C H ， M A E D AC ( AS A ) ， AM AD ， AB AD ， AB AM ， AF ME ， BF EF AB AM 1 ， BF EF . 【 點評 】 本題的關鍵是能正確找出全等三角形；在幾何圖形中證明線 段相等的一般思路是： 證明相等線段所在的三角形全等； 利用相等 線段的比值為 1證相等 對應訓練 4

19、 (2016長春 )感知：如圖 ， AD平分 BAC， B C 180 ， B 90 ， 易知： DB DC. 探究：如圖 ， AD平分 BAC， ABD ACD 180 ， ABD 90 ， 求證： DB DC. 應用：如圖 ， 四邊形 ABDC中 ， B 45 ， C 135 ， DB DC a， 則 AB AC ____ (用含 a的代數(shù)式表示 ) 2a 探究： 證明：如圖 ， 作 DE AB 于 E ， DF AC 于 F ， DA 平分 B A C ， DE AB ， DF AC ， DE DF ， B A C D 180 ， A

20、C D FC D 180 ， B F C D ， 在 DF C 和 DEB 中 ， F DEB ， FC D B ， DF DE ， DFC DEB ( AAS ) ， DC DB . 應用： 解；如圖 ， 連結 AD ， 作 DE AB 于 E ， DF AC 于 F ， B AC D 180 ， AC D FC D 180 ， B FC D ， 在 DF C 和 DEB 中 ， F DEB ， FC D B ， DC DB ， DF C DEB ( AAS ) ， D

21、F DE ， CF BE ， 在 Rt ADF 和 Rt ADE 中 ， AD AD ， DE DF ， ADF A DE ( HL ) ， AF AE ， AB AC ( AE B E) ( A F C F) 2 B E ， 在 Rt DEB 中 ， B 45 ， EDB 45 ， 又 BD a ， BE 2 2 a ， AB AC 2 a. 故答案為 2 a. 18.留心 “ 邊邊角 ” 試題 如圖 ， 已知 D是 ABC的邊 BC上的一點 ， E是 AD上的一點 ， EB EC， 1 2.求證： BAE

22、CAE. 錯解 證明：在 AEB和 AEC中 ， AE AE， EB EC， 1 2， AEB AEC(SSA)， BAE CAE. 剖析 先看一個事實 ， 如圖 ， 將等腰 ABC的底邊 BC延長線上的任一點 和頂點 A相連 ， 所得的 DAB和 DAC無疑是不全等的 ， 由此可知 ， 有 兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形 (簡稱 “ 邊邊角 ” )不一定全 等 因此 ， 在判定三角形全等時 ， 一定要留心 “ 邊邊角 ” ， 別上當喲 正解 證明： EB EC， 3 4.又 1 2， 1 3 2 4， 即 ABC ACB， AB AC.在 AEB和 AEC中 ， EB EC， 1 2， AB AC， AEB AEC(SAS)， BAE CAE.