高中數(shù)學(xué)解析幾何 第一部分:直線 1、 直線的傾斜角與斜率 1. 傾斜角α (1)定義：直線l向上的方向與x軸正向所成的角叫做直線的傾斜角。 (2)范圍： 2.斜率：直線傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率. （1）.傾斜角為的直線沒有斜率。 （2）.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率（直線垂直于軸時，其斜率不存在)，這就決定了我們在研究直線的有關(guān)問題時，應(yīng)考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會產(chǎn)生漏解。 （3）設(shè)經(jīng)過和兩點的直線的斜率為， 則當(dāng)時，；當(dāng)時，；斜率不存在； 二、直線的方程 1.點斜式：已知直線上一點P（x0,y0）及直線的斜率k（傾斜角α）求直線的方程用點斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：當(dāng)直線斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為； 2.斜截式：若已知直線在軸上的截距（直線與y軸焦點的縱坐標(biāo)）為，斜率為，則直線方程：；特別地，斜率存在且經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線方程為： 注意：正確理解“截距”這一概念，它具有方向性，有正負(fù)之分，與“距離”有區(qū)別。 3.兩點式：若已知直線經(jīng)過和兩點，且（則直線的方程：； 注意：①不能表示與軸和軸垂直的直線； ②當(dāng)兩點式方程寫成如下形式時，方程可以適應(yīng)在于任何一條直線。 4截距式：若已知直線在軸，軸上的截距分別是，（）則直線方程：； 注意：1）.截距式方程表不能表示經(jīng)過原點的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。 2）.橫截距與縱截距相等的直線方程可設(shè)為x+y=a;橫截距與縱截距互為相反數(shù)的直線方程可設(shè)為x-y=a 5一般式：任何一條直線方程均可寫成一般式：；（不同時為零）；反之，任何一個二元一次方程都表示一條直線。 注意：①直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數(shù)是否為0才能確定。 ②指出此時直線的方向向量：，， （單位向量）；直線的法向量：；（與直線垂直的向量） 6(選修4-4)參數(shù)式（參數(shù)）其中方向向量為， 單位向量； ；； 點對應(yīng)的參數(shù)為，則； （為參數(shù)）其中方向向量為， 的幾何意義為；斜率為；傾斜角為。 3、 兩條直線的位置關(guān)系 位置關(guān)系 平行 ，且 (A1B2-A2B1=0) 重合 ，且 相交 垂直 設(shè)兩直線的方程分別為：或；當(dāng)或時它們相交，交點坐標(biāo)為方程組或解； 注意：①對于平行和重合，即它們的方向向量（法向量）平行；如： 對于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如 ②若兩直線的斜率都不存在，則兩直線 平行 ；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為 0 ，則兩直線垂直。 ③對于來說，無論直線的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來更方便． ④斜率相等時，兩直線平行(或重合)；但兩直線平行(或重合)時，斜率不一定相等，因為斜率有可能不存在。 四、兩直線的交角 （1）到的角：把直線依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)的角；它是有向角，其范圍是； 注意：①到的角與到的角是不一樣的；②旋轉(zhuǎn)的方向是逆時針方向；③繞“定點”是指兩直線的交點。 （2）直線與的夾角：是指由與相交所成的四個角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范圍是； （3）設(shè)兩直線方程分別為： 或 ①若為到的角，或； ②若為和的夾角，則或； ③當(dāng)或時，； 注意：①上述與有關(guān)的公式中，其前提是兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當(dāng)有一條直線斜率不存在時，用數(shù)形結(jié)合法處理。 ②直線到的角與和的夾角：或； 5、 點到直線的距離公式： 1.點到直線的距離為：； 2.兩平行線，的距離為：； 六、直線系： （1）設(shè)直線，，經(jīng)過的交點的直線方程為（除去）； 如：①，即也就是過與的交點除去 的直線方程。 ②直線恒過一個定點 。 注意：推廣到過曲線與的交點的方程為：； （2）與平行的直線為； （3）與垂直的直線為； 七、對稱問題： （1）中心對稱： ①點關(guān)于點的對稱： 該點是兩個對稱點的中點，用中點坐標(biāo)公式求解，點關(guān)于的對稱點 ②直線關(guān)于點的對稱： Ⅰ、在已知直線上取兩點，利用中點公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點的坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程； Ⅱ、求出一個對稱點，在利用由點斜式得出直線方程； Ⅲ、利用點到直線的距離相等。求出直線方程。 如：求與已知直線關(guān)于點對稱的直線的方程。 （2）軸對稱： ①點關(guān)于直線對稱： Ⅰ、點與對稱點的中點在已知直線上，點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。 Ⅱ、求出過該點與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點，在利用中點坐標(biāo)公式求解。 如：求點關(guān)于直線對稱的坐標(biāo)。 ②直線關(guān)于直線對稱：（設(shè)關(guān)于對稱） Ⅰ、若相交，則到的角等于到的角；若，則，且與的距離相等。 Ⅱ、求出上兩個點關(guān)于的對稱點，在由兩點式求出直線的方程。 Ⅲ、設(shè)為所求直線直線上的任意一點，則關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)適合的方程。 如：求直線關(guān)于對稱的直線的方程。 八、簡單的線性規(guī)劃： （1）設(shè)點和直線， ①若點在直線上，則；②若點在直線的上方，則； ③若點在直線的下方，則； （2）二元一次不等式表示平面區(qū)域： 對于任意的二元一次不等式， ①當(dāng)時，則表示直線上方的區(qū)域； 表示直線下方的區(qū)域； ②當(dāng)時，則表示直線下方的區(qū)域； 表示直線上方的區(qū)域； 注意：通常情況下將原點代入直線中，根據(jù)或來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。 （3）線性規(guī)劃： 求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。 滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。 注意：①當(dāng)時，將直線向上平移，則的值越來越大； 直線向下平移，則的值越來越??； ②當(dāng)時，將直線向上平移，則的值越來越小； 直線向下平移，則的值越來越大； x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2) 如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則為 ； 第二部分：圓與方程 2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心，半徑 特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為的圓的方程是：. 2.2點與圓的位置關(guān)系： 1. 設(shè)點到圓心的距離為d，圓半徑為r： (1)點在圓上 d=r；(2)點在圓外 d＞r；(3)點在圓內(nèi) d＜r． 2.給定點及圓. ①在圓內(nèi) ②在圓上 ③在圓外 2.3 圓的一般方程： . 當(dāng)時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑. 當(dāng)時，方程表示一個點. 當(dāng)時，方程無圖形（稱虛圓）. 注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且. 圓的直徑系方程：已知AB是圓的直徑 2.4 直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有三種，d是圓心到直線的距離，( (1)；(2)；（3）。 2.5 兩圓的位置關(guān)系 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。 （1）；（2）； （3）；（4）； （5）； 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 2.6 圓的切線方程： 1. 直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r；（2）圓心與切點的連線與直線垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)） 2. 圓的斜率為的切線方程是過圓上一點的切線方程為：. 一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為. 若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程. 2.7圓的弦長問題：1.半弦、半徑r、弦心距d構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理： 2.弦長公式（設(shè)而不求）： 第三部分:橢圓 一．橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓，即點集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}； 這里兩個定點F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距2c。 （時為線段，無軌跡）。 2．標(biāo)準(zhǔn)方程： ①焦點在x軸上：（a＞b＞0）； 焦點F（c，0） ②焦點在y軸上：（a＞b＞0）； 焦點F（0, c） 注意：①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，并且橢圓的焦點總在長軸上； ②一般形式表示：或者 二．橢圓的簡單幾何性質(zhì)： 1.范圍 （1）橢圓（a＞b＞0） 橫坐標(biāo)-a≤x≤a ,縱坐標(biāo)-b≤x≤b （2）橢圓（a＞b＞0） 橫坐標(biāo)-b≤x≤b,縱坐標(biāo)-a≤x≤a 2.對稱性 橢圓關(guān)于x軸y軸都是對稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點 （1）橢圓的頂點：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）線段A1A2，B1B2 分別叫做橢圓的長軸長等于2a，短軸長等于2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 4．離心率 （1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比，即稱為橢圓的離心率， 記作e（）， e越接近于0 （e越?。瑱E圓就越接近于圓; e越接近于1 （e越大），橢圓越扁； 注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。 （2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個定點（焦點）和一定直線（準(zhǔn)線）的距離的比為常數(shù)e，（0＜e＜1）的點的軌跡為橢圓。（） ①焦點在x軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程： ②焦點在y軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程： 小結(jié)一：基本元素 （1）基本量：a、b、c、e、（共四個量）， 特征三角形 （2）基本點：頂點、焦點、中心（共七個點） （3）基本線：對稱軸（共兩條線） 5．橢圓的的內(nèi)外部 （1）點在橢圓的內(nèi)部. （2）點在橢圓的外部. 6.幾何性質(zhì) （1） 焦半徑（橢圓上的點與焦點之間的線段）： （2）通徑（過焦點且垂直于長軸的弦） （3）焦點三角形（橢圓上的任意一點與兩焦點夠成的三角形）：其中 7直線與橢圓的位置關(guān)系： (1) 判斷方法:聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號判斷位置關(guān)系： 聯(lián)立消y得： 聯(lián)立消x得： (2) 弦中點問題:斜率為k的直線l與橢圓交于兩點是AB的中點，則： (3) 弦長公式： 第四部分：雙曲線 雙曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點在軸） 標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點在軸） 定義 第一定義：平面內(nèi)與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。 P P 第二定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時，動點的軌跡是雙曲線。定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。 P P P P 范圍 ， ， 對稱軸 軸 ，軸；實軸長為,虛軸長為 對稱中心 原點 焦點坐標(biāo) 焦點在實軸上，；焦距： 頂點坐標(biāo) （,0） (,0) (0, ,) (0，) 離心率 1) 重要結(jié)論 （1） 焦半徑（雙曲線上的點與焦點之間的線段）： （2）通徑（過焦點且垂直于實軸的弦） （3）焦點三角形（雙曲線上的任意一點與兩焦點夠成的三角形）： 準(zhǔn)線方程 準(zhǔn)線垂直于實軸且在兩頂點的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離： 漸近線 方程 共漸近線的雙曲線系方程 （） （） 直線和雙曲線的位置 （1）判斷方法:聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號判斷位置關(guān)系： 聯(lián)立消y得： 聯(lián)立消x得： (4) 弦中點問題:斜率為k的直線l與雙曲線交于兩點是AB的中點，則： 弦長公式： 補(bǔ)充知識點： 等軸雙曲線的主要性質(zhì)有： （1）半實軸長=半虛軸長； （2）其標(biāo)準(zhǔn)方程為其中C≠0； （3）離心率； （4）漸近線：兩條漸近線 y=x 互相垂直； （5）等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項； （6）等軸雙曲線上任意一點P處的切線夾在兩條漸近線之間的線段，必被P所平分； 7）等軸雙曲線上任意一點處的切線與兩條漸近線圍成三角形面積恒為常數(shù) 第五部分：拋物線知識點總結(jié) 圖象 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 定義 平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點M到直線的距離} 范圍 對稱性 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱 焦點 (,0) (,0) (0,) (0,) 焦點在對稱軸上 頂點 離心率 =1 準(zhǔn)線 方程 準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的距離相等。 頂點到準(zhǔn)線的距離 焦點到準(zhǔn)線的距離 焦半徑 焦點弦 長 焦點弦的幾條性質(zhì)(以焦點在x軸正半軸為例) o x F y M N 以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切,以MN為直徑的圓與AB相切與點F，即 若的傾斜角為，則 參數(shù) 方程 1. 直線與拋物線的位置關(guān)系 直線，拋物線，，消y得： （1）當(dāng)k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點； （2）當(dāng)k≠0時， Δ＞0，直線與拋物線相交，兩個不同交點； Δ=0， 直線與拋物線相切，一個切點； Δ＜0，直線與拋物線相離，無公共點。 （3） 若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定） 2. 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法 直線： 拋物線， 1　 聯(lián)立方程法： 設(shè)交點坐標(biāo)為,，則有,以及，還可進(jìn)一步求出， 在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦長 或 b. 中點, ， 2　 點差法： 設(shè)交點坐標(biāo)為，，代入拋物線方程，得 將兩式相減，可得 a. 在涉及斜率問題時， b. 在涉及中點軌跡問題時，設(shè)線段的中點為，， 即， 同理，對于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點，點是弦的中點，則有 （注意能用這個公式的條件：1）直線與拋物線有兩個不同的交點，2）直線的斜率存在，且不等于零）