綜合仿真練(四)(理獨) 1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] 已知矩陣A＝，X＝，且AX＝ ，其中x，y∈R. (1)求x，y的值； (2)若B＝，求(AB)－1. 解：(1)AX＝ ＝ . 因為AX＝，所以 解得x＝3，y＝0. (2)由(1)知A＝ ，又B＝ ， 所以AB＝＝ . 設(AB)－1＝ ，則＝， 即＝. 所以解得a＝，b＝－，c＝0，d＝， 即 (AB)－1＝ . B．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ－4cos θ＝0，已知直線l與曲線C相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解：因為曲線C的極坐標方程為ρsin2θ－4cos θ＝0， 所以ρ2sin2θ＝4ρcos θ， 即曲線C的直角坐標方程為y2＝4x. 將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝4x，得2＝4， 即t2＋8t＝0，解得t1＝0，t2＝－8. 所以AB＝|t1－t2|＝8. C．[選修4－5：不等式選講] (2019南師附中等四校聯(lián)考)(基本不等式)已知x>0，求證：x3＋y2＋3≥3x＋2y. 證明：因為x>0，所以x3＋2＝x3＋1＋1≥3＝3x， 當且僅當x3＝1，即x＝1時取“＝”． 因為y2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以y2＋1≥2y， 當且僅當y＝1時取“＝”． 所以(x3＋2)＋(y2＋1)≥3x＋2y， 即x3＋y2＋3≥3x＋2y， 當且僅當x＝y(tǒng)＝1時取“＝”． 2．(2019南京三模)平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p>0)及點M(2,0)，動直線l過點M交拋物線于A，B兩點，當l垂直于x軸時，AB＝4. (1)求p的值； (2)如圖，若l與x軸不垂直，設線段AB的中點為C，直線l1經過點C且垂直于y軸，直線l2經過點M且垂直于直線l，記l1，l2相交于點P，求證：點P在定直線上． 解：(1)因為直線l過M(2,0)，且當l垂直于x軸時，AB＝4， 所以拋物線經過點(2,2)， 將(2,2)代入拋物線方程，得4＝2p2，解得p＝1. (2)證明：由(1)知，拋物線的方程為y2＝2x.易知直線l的斜率存在， 設直線l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 聯(lián)立，得消去x，得ky2－2y－4k＝0， 則Δ＝4＋16k2>0，y1,2＝， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－4. 因為C為AB的中點，所以yC＝＝， 則直線l1的方程為y＝. 因為直線l2過點M且與l垂直， 則l2的方程為y＝－(x－2)(k≠0)， 聯(lián)立，得 解得即P， 所以點P在定直線x＝1上． 3．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，設Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù)． (1)寫出f(6)的值； (2)當n≥6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明． 解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)滿足： 若a＝1，則b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，則b＝1,2,4,6； 若a＝3，則b＝1,3,6. 所以f(6)＝13. (2)當n≥6時， f(n)＝(t∈N*)． 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝6時，f(6)＝6＋2＋＋＝13，結論成立． ②假設n＝k(k≥6)時結論成立，那么n＝k＋1時，Sk＋1在Sk的基礎上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中產生，分以下情形討論： a．若k＋1＝6t，則k＝6(t－1)＋5，此時有 f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3 ＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立； b．若k＋1＝6t＋1，則k＝6t，此時有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1 ＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立； c．若k＋1＝6t＋2，則k＝6t＋1，此時有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2 ＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立； d．若k＋1＝6t＋3，則k＝6t＋2，此時有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2 ＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立； e．若k＋1＝6t＋4，則k＝6t＋3，此時有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2 ＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立； f．若k＋1＝6t＋5，則k＝6t＋4，此時有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1 ＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立． 綜上所述，結論對滿足n≥6的自然數(shù)n均成立． 4